Forma de Legendre

Conjunto canónico de tres integrales elípticas

En matemáticas , las formas de Legendre de las integrales elípticas son un conjunto canónico de tres integrales elípticas a las que se pueden reducir todas las demás. Legendre eligió el nombre de integrales elípticas porque ^[1] la segunda clase da la longitud del arco de una elipse de semieje mayor unitario y excentricidad (la elipse se define paramétricamente por , ). ${\displaystyle \scriptstyle {k}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {x={\sqrt {1-k^{2}}}\cos(t)}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {y=\sin(t)}}$

En la actualidad, las formas de Legendre han sido suplantadas en gran medida por un conjunto canónico alternativo, las formas simétricas de Carlson . En el artículo principal sobre integrales elípticas se ofrece un tratamiento más detallado de las formas de Legendre .

Definición

La integral elíptica incompleta del primer tipo se define como,

${\displaystyle F(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}dt,}$

el segundo tipo como

${\displaystyle E(\phi ,k)=\int _{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}\,dt,}$

y el tercer tipo como

${\displaystyle \Pi (\phi ,n,k)=\int _{0}^{\phi }{\frac {1}{(1-n\sin ^{2}(t)){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}(t)}}}}\,dt.}$

El argumento n del tercer tipo de integral se conoce como la característica , que en diferentes convenciones de notación puede aparecer como el primer, segundo o tercer argumento de Π y además a veces se define con el signo opuesto. El orden de argumentos que se muestra arriba es el de Gradshteyn y Ryzhik ^[2] así como el de Numerical Recipes . ^[3] La elección del signo es la de Abramowitz y Stegun ^[4] así como la de Gradshteyn y Ryzhik , ^[2] pero corresponde al de Numerical Recipes . ^[3] ${\displaystyle \scriptstyle {\Pi (\phi ,-n,k)}}$

Las integrales elípticas completas respectivas se obtienen fijando la amplitud , , el límite superior de las integrales, en . ${\displaystyle \scriptstyle {\phi }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\pi /2}}$

La forma de Legendre de una curva elíptica está dada por

${\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}$

Evaluación numérica

El método clásico de evaluación es mediante transformaciones de Landen . La transformación de Landen descendente disminuye el módulo hacia cero, mientras que aumenta la amplitud . Por el contrario, la transformación ascendente aumenta el módulo hacia la unidad, mientras que disminuye la amplitud. En cualquier límite de aproximación a cero o a uno, la integral se evalúa fácilmente. ${\displaystyle \scriptstyle {k}}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\phi }}$ ${\displaystyle \scriptstyle {k}}$

La mayoría de los autores modernos recomiendan la evaluación en términos de las formas simétricas de Carlson , para las que existen algoritmos eficientes, robustos y relativamente simples. Este enfoque ha sido adoptado por Boost C++ Libraries , GNU Scientific Library y Numerical Recipes . ^[3]

Referencias

1. Gratton-Guinness, Ivor (1997). La historia de Fontana de las ciencias matemáticas . Fontana Press. pág. 308. ISBN 0-00-686179-2.
2. Градштейн, И. С. ; Рыжик, И. M. (1971). "8.1: Funciones especiales: integrales y funciones elípticas". En Геронимус, Ю. B. ; Цейтлин, М. Ю́. (eds.). Tablitsy integralov, summ, rjadov i proizvedenii Tablas integradas, sumadas, рядов y произведений[ Tablas de integrales, sumas, series y productos ] (en ruso) (5.ª ed.). Moscú: Nauka . LCCN  78876185.
3. William H. Press; Saul A. Teukolsky; William T. Vetterling; Brian P. Flannery (1992). "Cap. 6.11 Funciones especiales: integrales elípticas y funciones jacobianas". Recetas numéricas en C (2.ª ed.). Cambridge University Press. págs. 261–271. ISBN 0-521-43108-5.
4. Milne-Thomson, Louis Melville (1983) [junio de 1964]. "Capítulo 17: Integrales elípticas". En Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann (eds.). Manual de funciones matemáticas con fórmulas, gráficos y tablas matemáticas . Serie de matemáticas aplicadas. Vol. 55 (novena reimpresión con correcciones adicionales de la décima impresión original con correcciones (diciembre de 1972); primera ed.). Washington DC; Nueva York: Departamento de Comercio de los Estados Unidos, Oficina Nacional de Normas; Dover Publications. págs. 589, 589–628. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036. MR  0167642. LCCN  65-12253.

Véase también

• Forma simétrica de Carlson