En matemáticas , en particular en geometría algebraica , un espacio de módulos es un espacio geométrico (normalmente un esquema o una pila algebraica ) cuyos puntos representan objetos algebrogeométricos de algún tipo fijo, o clases de isomorfismo de dichos objetos. Estos espacios surgen con frecuencia como soluciones a problemas de clasificación: si se puede demostrar que a una colección de objetos interesantes (por ejemplo, las suaves curvas algebraicas de un género fijo ) se le puede dar la estructura de un espacio geométrico, entonces se pueden parametrizar tales objetos introduciendo coordenadas en el espacio resultante. En este contexto, el término "módulo" se utiliza como sinónimo de "parámetro"; Los espacios de módulos se entendieron primero como espacios de parámetros y no como espacios de objetos. Una variante de los espacios de módulos son los módulos formales . Bernhard Riemann utilizó por primera vez el término "módulos" en 1857. [1]
Los espacios de módulo son espacios de soluciones de problemas de clasificación geométrica. Es decir, los puntos de un espacio de módulos corresponden a soluciones de problemas geométricos. Aquí se identifican diferentes soluciones si son isomorfas (es decir, geométricamente iguales). Se puede considerar que los espacios de módulo proporcionan un espacio universal de parámetros para el problema. Por ejemplo, considere el problema de encontrar todos los círculos en el plano euclidiano hasta la congruencia. Cualquier círculo puede describirse de forma única dando tres puntos, pero muchos conjuntos diferentes de tres puntos dan el mismo círculo: la correspondencia es de muchos a uno. Sin embargo, los círculos se parametrizan únicamente al dar su centro y radio: se trata de dos parámetros reales y un parámetro real positivo. Como sólo nos interesan los círculos "hasta la congruencia", identificamos círculos que tienen diferentes centros pero el mismo radio, por lo que el radio por sí solo es suficiente para parametrizar el conjunto de interés. El espacio de módulos son, por tanto, los números reales positivos .
Los espacios de módulo a menudo también contienen estructuras geométricas y topológicas naturales. En el ejemplo de los círculos, por ejemplo, el espacio de módulos no es sólo un conjunto abstracto, sino que el valor absoluto de la diferencia de los radios define una métrica para determinar cuándo dos círculos están "cerca". La estructura geométrica de los espacios de módulos nos indica localmente cuándo dos soluciones de un problema de clasificación geométrica son "cercanas", pero generalmente los espacios de módulos también tienen una estructura global complicada.
Por ejemplo, considere cómo describir la colección de líneas en R 2 que cruzan el origen. Queremos asignar a cada línea L de esta familia una cantidad que pueda identificarla de manera única: un módulo. Un ejemplo de tal cantidad es el ángulo positivo θ( L ) con 0 ≤ θ < π radianes. El conjunto de rectas L así parametrizado se conoce como P 1 ( R ) y se denomina recta proyectiva real .
También podemos describir el conjunto de líneas en R 2 que intersectan el origen mediante una construcción topológica. A saber: considere el círculo unitario S 1 ⊂ R 2 y observe que cada punto s ∈ S 1 da una línea L ( s ) en la colección (que une el origen y s ). Sin embargo, este mapa es de dos a uno, por lo que queremos identificar s ~ − s para obtener P 1 ( R ) ≅ S 1 /~ donde la topología en este espacio es la topología del cociente inducida por el mapa de cociente S 1 → P1 ( R ) .
Así, cuando consideramos P 1 ( R ) como un espacio de módulos de líneas que intersectan el origen en R 2 , capturamos las formas en que los miembros (líneas en este caso) de la familia pueden modular variando continuamente 0 ≤ θ < π.
El espacio proyectivo real P n es un espacio de módulos que parametriza el espacio de líneas en R n +1 que pasan por el origen. De manera similar, el espacio proyectivo complejo es el espacio de todas las rectas complejas en C n +1 que pasan por el origen.
De manera más general, el Grassmanniano G ( k , V ) de un espacio vectorial V sobre un campo F es el espacio de módulos de todos los subespacios lineales k -dimensionales de V .
Siempre que hay una incrustación de un esquema en el espacio proyectivo universal , [2] [3] la incrustación viene dada por un conjunto de líneas y secciones que no desaparecen al mismo tiempo. Esto significa, dado un punto
hay un punto asociado
dado por las composiciones
Entonces, dos paquetes de líneas con secciones son equivalentes
si hay un isomorfismo tal que . Esto significa el funtor de módulos asociado.
envía un esquema al conjunto
Se puede demostrar que esto es cierto ejecutando una serie de tautologías: cualquier incrustación proyectiva proporciona el haz de secciones generado globalmente . Por el contrario, dado un amplio paquete de líneas generado globalmente por secciones, se obtiene una incrustación como la anterior.
La variedad Chow Chow (d, P 3 ) es una variedad algebraica proyectiva que parametriza curvas de grado d en P 3 . Está construido de la siguiente manera. Sea C una curva de grado d en P 3 , luego considere todas las líneas en P 3 que intersecan la curva C . Este es un divisor de grado d D C en G (2, 4), el Grassmanniano de líneas en P 3 . Cuando C varía, asociando C a D C , obtenemos un espacio paramétrico de curvas de grado d como subconjunto del espacio de divisores de grado d del Grassmanniano: Chow (d, P 3 ).
El esquema de Hilbert Hilb ( X ) es un esquema de módulos. Cada punto cerrado de Hilb ( X ) corresponde a un subesquema cerrado de un esquema fijo X , y cada subesquema cerrado está representado por dicho punto. Un ejemplo simple de un esquema de Hilbert es el esquema de Hilbert que parametriza hipersuperficies de grado del espacio proyectivo . Esto está dado por el paquete proyectivo.
con familia universal dada por
donde está el esquema proyectivo asociado para el polinomio homogéneo de grado .
Hay varias nociones relacionadas de cosas que podríamos llamar espacios de módulos. Cada una de estas definiciones formaliza una noción diferente de lo que significa que los puntos del espacio M representen objetos geométricos.
Este es el concepto estándar. Heurísticamente, si tenemos un espacio M para el cual cada punto m ∊ M corresponde a un objeto algebrogeométrico U m , entonces podemos ensamblar estos objetos en una familia tautológica U sobre M . (Por ejemplo, el Grassmanniano G ( k , V ) lleva un paquete de rango k cuya fibra en cualquier punto [ L ] ∊ G ( k , V ) es simplemente el subespacio lineal L ⊂ V .) M se llama espacio base del familia U. Decimos que tal familia es universal si cualquier familia de objetos álgebro-geométricos T sobre cualquier espacio base B es el retroceso de U a lo largo de un mapa único B → M. Un espacio de módulos finos es un espacio M que es la base de una familia universal.
Más precisamente, supongamos que tenemos un funtor F de esquemas a conjuntos, que asigna a un esquema B el conjunto de todas las familias adecuadas de objetos con base B. Un espacio M es un espacio de módulos finos para el funtor F si M representa F , es decir, hay un isomorfismo natural τ : F → Hom (−, M ), donde Hom (−, M ) es el funtor de puntos. Esto implica que M lleva una familia universal; esta familia es la familia en M correspondiente al mapa de identidad 1 M ∊ Hom ( M , M ).
Los espacios de módulos finos son deseables, pero no siempre existen y frecuentemente son difíciles de construir, por lo que los matemáticos a veces usan una noción más débil, la idea de un espacio de módulos gruesos. Un espacio M es un espacio de módulos gruesos para el funtor F si existe una transformación natural τ : F → Hom (−, M ) y τ es universal entre tales transformaciones naturales. Más concretamente, M es un espacio de módulos gruesos para F si cualquier familia T sobre una base B da lugar a un mapa φ T : B → M y dos objetos cualesquiera V y W (considerados como familias sobre un punto) corresponden al mismo punto de M si y sólo si V y W son isomorfos. Por tanto, M es un espacio que tiene un punto para cada objeto que podría aparecer en una familia, y cuya geometría refleja las formas en que los objetos pueden variar en las familias. Tenga en cuenta, sin embargo, que un espacio de módulos aproximados no necesariamente contiene ninguna familia de objetos apropiados, y mucho menos uno universal.
En otras palabras, un espacio de módulos finos incluye tanto un espacio base M como una familia universal U → M , mientras que un espacio de módulos gruesos solo tiene el espacio base M.
Con frecuencia ocurre que objetos geométricos interesantes vienen equipados con muchos automorfismos naturales . Esto en particular hace imposible la existencia de un espacio de módulos finos (intuitivamente, la idea es que si L es algún objeto geométrico, la familia trivial L × [0,1] puede convertirse en una familia retorcida en el círculo S 1 identificando L × {0} con L × {1} a través de un automorfismo no trivial. Ahora, si existiera un espacio de módulos finos X , el mapa S 1 → X no debería ser constante, pero tendría que ser constante en cualquier conjunto abierto adecuado por trivialidad) , a veces todavía se puede obtener un espacio de módulos aproximado. Sin embargo, este enfoque no es ideal, ya que no se garantiza que tales espacios existan, con frecuencia son singulares cuando existen y omiten detalles sobre algunas familias no triviales de objetos que clasifican.
Un enfoque más sofisticado es enriquecer la clasificación recordando los isomorfismos. Más precisamente, en cualquier base B se puede considerar la categoría de familias en B con solo isomorfismos entre familias tomados como morfismos. Luego se considera la categoría fibrosa que asigna a cualquier espacio B el grupoide de familias sobre B . El uso de estas categorías fibras en grupoides para describir un problema de módulos se remonta a Grothendieck (1960/61). En general, no pueden representarse mediante esquemas o incluso espacios algebraicos , pero en muchos casos tienen una estructura natural de pila algebraica .
Las pilas algebraicas y su uso para analizar problemas de módulos aparecieron en Deligne-Mumford (1969) como una herramienta para demostrar la irreductibilidad del espacio de módulos (grueso) de curvas de un género determinado. El lenguaje de las pilas algebraicas proporciona esencialmente una forma sistemática de ver la categoría de fibra que constituye el problema de módulos como un "espacio", y la pila de módulos de muchos problemas de módulos se comporta mejor (por ejemplo, es suave) que el correspondiente espacio de módulos gruesos.
La pila de módulos clasifica familias de curvas proyectivas suaves de género g , junto con sus isomorfismos. Cuando g > 1, esta pila se puede compactar agregando nuevos puntos "límite" que correspondan a curvas nodales estables (junto con sus isomorfismos). Una curva es estable si tiene sólo un grupo finito de automorfismos. La pila resultante se denota . Ambas pilas de módulos llevan familias universales de curvas. También se pueden definir espacios de módulos gruesos que representen clases de isomorfismo de curvas suaves o estables. Estos espacios de módulos gruesos en realidad se estudiaron antes de que se inventara la noción de pila de módulos. De hecho, la idea de una pila de módulos fue inventada por Deligne y Mumford en un intento de demostrar la proyectividad de los espacios de módulos gruesos. En los últimos años, se ha hecho evidente que la pila de curvas es en realidad el objeto más fundamental.
Las dos pilas anteriores tienen una dimensión de 3 g −3; por lo tanto, una curva nodal estable se puede especificar completamente eligiendo los valores de 3 g −3 parámetros, cuando g > 1. En géneros inferiores, se debe tener en cuenta la presencia de familias suaves de automorfismos, restando su número. Existe exactamente una curva compleja de género cero, la esfera de Riemann, y su grupo de isomorfismos es PGL(2). Por lo tanto, la dimensión de es
Asimismo, en el género 1, hay un espacio unidimensional de curvas, pero cada curva tiene un grupo unidimensional de automorfismos. Por lo tanto, la pila tiene dimensión 0. Los espacios de módulos gruesos tienen dimensión 3 g −3 como pilas cuando g > 1 porque las curvas con género g > 1 tienen solo un grupo finito como automorfismo, es decir, tenue (un grupo de automorfismos) = 0. Finalmente, en el género cero, el espacio de módulos gruesos tiene dimensión cero, y en el género uno, tiene dimensión uno.
También se puede enriquecer el problema considerando la pila de módulos de curvas nodales de género g con n puntos marcados. Se dice que estas curvas marcadas son estables si el subgrupo de automorfismos de curvas que fijan los puntos marcados es finito. Las pilas de módulos resultantes de curvas suaves (o estables) de género g con n puntos marcados se denotan (o ) y tienen dimensión 3 g − 3 + n .
Un caso de particular interés es la pila de módulos de curvas de género 1 con un punto marcado. Esta es la pila de curvas elípticas , y es el hogar natural de las formas modulares tan estudiadas , que son secciones meromórficas de haces en esta pila.
En dimensiones superiores, los módulos de variedades algebraicas son más difíciles de construir y estudiar. Por ejemplo, el análogo de dimensiones superiores del espacio de módulos de curvas elípticas discutido anteriormente es el espacio de módulos de variedades abelianas, como la variedad modular de Siegel . Éste es el problema que subyace a la teoría de las formas modulares de Siegel . Véase también variedad Shimura .
Utilizando técnicas que surgen del programa modelo mínimo, János Kollár y Nicholas Shepherd-Barron construyeron espacios de módulos de variedades de tipo general , ahora conocidos como espacios de módulos KSB. [4]
Utilizando técnicas que surgen de la geometría diferencial y la geometría biracional simultáneamente, la construcción de espacios de módulos de variedades de Fano se ha logrado restringiendo a una clase especial de variedades K-estables . En este contexto se utilizan importantes resultados sobre la delimitación de las variedades Fano probados por Caucher Birkar , por lo que recibió la medalla Fields 2018 .
La construcción de espacios de módulos de variedades Calabi-Yau es un problema abierto importante, y sólo se entienden casos especiales como espacios de módulos de superficies K3 o variedades abelianas . [5]
Otro problema importante de módulos es comprender la geometría de (varias subpilas de) la pila de módulos Vect n ( X ) de paquetes de vectores de rango n en una variedad algebraica fija X . [6] Esta pila ha sido más estudiada cuando X es unidimensional, y especialmente cuando n es igual a uno. En este caso, el espacio de módulos gruesos es el esquema de Picard , que al igual que el espacio de módulos de las curvas, se estudió antes de que se inventaran las pilas. Cuando los paquetes tienen rango 1 y grado cero, el estudio del espacio de módulos gruesos es el estudio de la variedad jacobiana .
En aplicaciones a la física , se ha descubierto que el número de módulos de haces de vectores y el problema estrechamente relacionado del número de módulos de haces G principales son significativos en la teoría de calibre . [ cita necesaria ]
Geodésicas simples y volúmenes de Weil-Petersson de espacios de módulos de superficies de Riemann bordeadas.
La formulación moderna de problemas de módulos y la definición de espacios de módulos en términos de los functores de módulos (o más generalmente las categorías formadas en grupoides ), y los espacios (casi) que los representan, se remonta a Grothendieck (1960/61), en el que describió el marco general, los enfoques y los principales problemas utilizando como ejemplo los espacios de Teichmüller en geometría analítica compleja. Las charlas, en particular, describen el método general de construcción de espacios de módulos endureciendo primero el problema de módulos bajo consideración.
Más precisamente, la existencia de automorfismos no triviales de los objetos que se clasifican hace imposible tener un espacio de módulos fino. Sin embargo, a menudo es posible considerar un problema de módulos modificados de clasificar los objetos originales junto con datos adicionales, elegidos de tal manera que la identidad sea el único automorfismo respetando también los datos adicionales. Con una elección adecuada de los datos rigidizadores, el problema de módulos modificados tendrá un espacio de módulos (fino) T , a menudo descrito como un subesquema de un esquema de Hilbert o de un esquema de Quot adecuado . Además, los datos rigidizadores se eligen de modo que correspondan a un paquete principal con un grupo de estructura algebraica G . Así, uno puede retroceder del problema rígido al original tomando el cociente por la acción de G , y el problema de construir el espacio de módulos se convierte en el de encontrar un esquema (o espacio más general) que sea (en un sentido adecuadamente fuerte) el cociente T / G de T por la acción de G. El último problema, en general, no admite solución; sin embargo, se aborda mediante la innovadora teoría del invariante geométrico (GIT), desarrollada por David Mumford en 1965, que muestra que, en condiciones adecuadas, el cociente realmente existe.
Para ver cómo podría funcionar esto, considere el problema de parametrizar curvas suaves del género g > 2. Una curva suave junto con un sistema lineal completo de grado d > 2 g es equivalente a un subesquema unidimensional cerrado del espacio proyectivo P d −g . En consecuencia, el espacio de módulos de curvas suaves y sistemas lineales (que satisfacen ciertos criterios) puede incluirse en el esquema de Hilbert de un espacio proyectivo de dimensiones suficientemente altas. Este locus H en el esquema de Hilbert tiene una acción de PGL( n ) que mezcla los elementos del sistema lineal; en consecuencia, el espacio de módulos de curvas suaves se recupera como el cociente de H por el grupo lineal general proyectivo.
Otro enfoque general se asocia principalmente con Michael Artin . Aquí la idea es comenzar con un objeto del tipo a clasificar y estudiar su teoría de deformación . Esto significa construir primero deformaciones infinitesimales y luego apelar a teoremas de prorrepresentabilidad para unirlas en un objeto sobre una base formal . A continuación, una apelación al teorema de existencia formal de Grothendieck proporciona un objeto del tipo deseado sobre una base que es un anillo local completo. Este objeto se puede aproximar mediante el teorema de aproximación de Artin mediante un objeto definido sobre un anillo generado finitamente. Se puede considerar entonces que el espectro de este último anillo proporciona una especie de gráfico de coordenadas en el espacio de módulos deseado. Pegando suficientes de estos gráficos, podemos cubrir el espacio, pero el mapa de nuestra unión de espectros al espacio de módulos será, en general, de muchos a uno. Por tanto, definimos una relación de equivalencia sobre el primero; Básicamente, dos puntos son equivalentes si los objetos sobre cada uno son isomorfos. Esto da un esquema y una relación de equivalencia, que es suficiente para definir un espacio algebraico (en realidad, una pila algebraica si tenemos cuidado), si no siempre un esquema.
El término espacio de módulos se utiliza a veces en física para referirse específicamente al espacio de módulos de valores esperados de vacío de un conjunto de campos escalares , o al espacio de módulos de posibles fondos de cuerdas .
Los espacios de módulos también aparecen en física en la teoría de campos topológicos , donde se pueden utilizar integrales de trayectoria de Feynman para calcular los números de intersección de varios espacios de módulos algebraicos.
![{\displaystyle [s_{0}:\cdots :s_{n}]\circ x=[s_{0}(x):\cdots :s_{n}(x)]\in \mathbf {P} _ \mathbb {Z} }^{n}(R)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/535c341301f13e07188231a9c8e0099428d55438)
