esquema de cotización

En geometría algebraica , el esquema Quot es un esquema que parametriza gavillas en un esquema proyectivo . Más específicamente, si X es un esquema proyectivo sobre un esquema noetheriano S y si F es un haz coherente sobre X , entonces hay un esquema cuyo conjunto de T puntos es el conjunto de clases de isomorfismo de los cocientes de que son planos sobre T . La noción fue introducida por Alexander Grothendieck . ^[1] ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)}$ ${\displaystyle \operatorname {Quot} _{F}(X)(T)=\operatorname {Mor} _{S}(T,\operatorname {Quot} _{F}(X))}$ ${\displaystyle F\times _{S}T}$

Normalmente se utiliza para construir otro esquema que parametriza objetos geométricos que son de interés, como un esquema de Hilbert . (De hecho, tomar F como la estructura de haz da un esquema de Hilbert.) ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

Definición

Para un esquema de tipo finito sobre un esquema base noetheriano y una gavilla coherente , existe un funtor ^{[2] [3]} ${\displaystyle X\to S}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}\in {\text{Coh}}(X)}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}:(Sch/S)^{op}\to {\text{Sets}}}$

enviando a ${\displaystyle T\to S}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q):{\begin{matrix}{\mathcal {F}}\in {\text{QCoh}}(X_{T})\\{\mathcal {F}}\ {\text{finitely presented over}}\ X_{T}\\{\text{Supp}}({\mathcal {F}}){\text{ is proper over }}T\\{\mathcal {F}}{\text{ is flat over }}T\\q:{\mathcal {E}}_{T}\to {\mathcal {F}}{\text{ surjective}}\end{matrix}}\right\}/\sim }$

donde y bajo la proyección . Existe una relación de equivalencia dada por si existe un isomorfismo que conmuta con las dos proyecciones ; eso es, ${\displaystyle X_{T}=X\times _{S}T}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}=pr_{X}^{*}{\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle pr_{X}:X_{T}\to X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {F}},q)\sim ({\mathcal {F}}',q')}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}\to {\mathcal {F}}''}$ ${\displaystyle q,q'}$

${\displaystyle {\begin{matrix}{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q}}&{\mathcal {F}}\\\downarrow {}&&\downarrow \\{\mathcal {E}}_{T}&{\xrightarrow {q'}}&{\mathcal {F}}'\end{matrix}}}$

es un diagrama conmutativo para . Alternativamente, existe una condición equivalente de tenencia . Esto se llama functor quot que tiene una estratificación natural en una unión disjunta de subfunctores, cada uno de los cuales está representado por un esquema proyectivo llamado esquema quot asociado a un polinomio de Hilbert . ${\displaystyle {\mathcal {E}}_{T}{\xrightarrow {id}}{\mathcal {E}}_{T}}$ ${\displaystyle {\text{ker}}(q)={\text{ker}}(q')}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \Phi }$

polinomio de Hilbert

Para un haz de líneas relativamente muy amplio ^[4] y cualquier punto cerrado existe una función que envía ${\displaystyle {\mathcal {L}}\in {\text{Pic}}(X)}$ ${\displaystyle s\in S}$ ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }$

${\displaystyle m\mapsto \chi ({\mathcal {F}}_{s}(m))=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{\text{dim}}_{\kappa (s)}H^{i}(X,{\mathcal {F}}_{s}\otimes {\mathcal {L}}_{s}^{\otimes m})}$

que es un polinomio para . Esto se llama polinomio de Hilbert y proporciona una estratificación natural del "functor". Nuevamente, para fijo hay una unión disjunta de subfunctores ${\displaystyle m>>0}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}=\coprod _{\Phi \in \mathbb {Q} [t]}{\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$

dónde

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}(T)=\left\{({\mathcal {F}},q)\in {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}(T):\Phi _{\mathcal {F}}=\Phi \right\}}$

El polinomio de Hilbert es el polinomio de Hilbert para puntos cerrados . Tenga en cuenta que el polinomio de Hilbert es independiente de la elección de un paquete de líneas muy amplio . ${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{t}}$ ${\displaystyle t\in T}$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Teorema de existencia de Grothendieck

Es un teorema de Grothendieck que todos los functores son representables mediante esquemas proyectivos sobre . ${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi ,{\mathcal {L}}}}$ ${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{\Phi }}$ ${\displaystyle S}$

Ejemplos

Grassmanniano

El Grassmanniano de planos en un espacio vectorial dimensional tiene un cociente universal ${\displaystyle G(n,k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus k}\to {\mathcal {U}}}$

¿Dónde está el plano representado por ? Como es localmente libre y en cada punto representa un plano, tiene el polinomio de Hilbert constante . Esto muestra representa el funtor quot ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{x}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle x\in G(n,k)}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Phi (\lambda )=k}$ ${\displaystyle G(n,k)}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{G(n,k)}^{\oplus (n)}/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )/{\text{Spec}}(\mathbb {Z} )}^{k,{\mathcal {O}}_{G(n,k)}}}$

Espacio proyectivo

Como caso especial, podemos construir el espacio del proyecto como el esquema quot ${\displaystyle \mathbb {P} ({\mathcal {E}})}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {E}}/X/S}^{1,{\mathcal {O}}_{X}}}$

por una gavilla en un esquema . ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$

Esquema Hilbert

El esquema de Hilbert es un ejemplo especial del esquema de quot. Observe que se puede dar un subesquema como una proyección. ${\displaystyle Z\subset X}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

y una familia plana de tales proyecciones parametrizadas por un esquema puede estar dada por ${\displaystyle T\in Sch/S}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X_{T}}\to {\mathcal {F}}}$

Dado que hay un polinomio de Hilbert asociado a , denotado , existe un isomorfismo de esquemas ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle \Phi _{Z}}$

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}_{X}/X/S}^{\Phi _{Z}}\cong {\text{Hilb}}_{X/S}^{\Phi _{Z}}}$

Ejemplo de parametrización

Si y para un campo algebraicamente cerrado, entonces una sección distinta de cero tiene un lugar geométrico de fuga con polinomio de Hilbert ${\displaystyle X=\mathbb {P} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle S={\text{Spec}}(k)}$ ${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(d))}$ ${\displaystyle Z=Z(s)}$

${\displaystyle \Phi _{Z}(\lambda )={\binom {n+\lambda }{n}}-{\binom {n-d+\lambda }{n}}}$

Entonces, hay una sobreyección.

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

con núcleo . Dado que era una sección arbitraria distinta de cero, y el lugar de fuga de for da el mismo lugar de fuga, el esquema proporciona una parametrización natural de todas esas secciones. Hay una gavilla tal que para cualquiera , hay un subesquema asociado y una sobreyección . Esta construcción representa el "functor". ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle a\cdot s}$ ${\displaystyle a\in k^{*}}$ ${\displaystyle Q=\mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(d)))}$ ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$ ${\displaystyle X\times Q}$ ${\displaystyle [s]\in Q}$ ${\displaystyle Z\subset X}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{n}/{\text{Spec}}(k)}^{\Phi _{Z}}}$

Cuádricas en el plano proyectivo.

Si y , el polinomio de Hilbert es ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{2}}$ ${\displaystyle s\in \Gamma ({\mathcal {O}}(2))}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Phi _{Z}(\lambda )&={\binom {2+\lambda }{2}}-{\binom {2-2+\lambda }{2}}\\&={\frac {(\lambda +2)(\lambda +1)}{2}}-{\frac {\lambda (\lambda -1)}{2}}\\&={\frac {\lambda ^{2}+3\lambda +2}{2}}-{\frac {\lambda ^{2}-\lambda }{2}}\\&={\frac {2\lambda +2}{2}}\\&=\lambda +1\end{aligned}}}$

y

${\displaystyle {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}\cong \mathbb {P} (\Gamma ({\mathcal {O}}(2)))\cong \mathbb {P} ^{5}}$

El cociente universal está dado por ${\displaystyle \mathbb {P} ^{5}\times \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {U}}}$

donde la fibra sobre un punto da el morfismo proyectivo ${\displaystyle [Z]\in {\text{Quot}}_{{\mathcal {O}}/\mathbb {P} ^{2}/{\text{Spec}}(k)}^{\lambda +1}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}}$

Por ejemplo, si representa los coeficientes de ${\displaystyle [Z]=[a_{0}:a_{1}:a_{2}:a_{3}:a_{4}:a_{5}]}$

${\displaystyle f=a_{0}x^{2}+a_{1}xy+a_{2}xz+a_{3}y^{2}+a_{4}yz+a_{5}z^{2}}$

entonces el cociente universal da la secuencia corta exacta ${\displaystyle [Z]}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-2){\xrightarrow {f}}{\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}_{Z}\to 0}$

Haces de vectores semiestables en una curva

Los haces de vectores semiestables en una curva de género pueden describirse de manera equivalente como haces localmente libres de rango finito. Estas gavillas de rango y grado libres localmente tienen las propiedades ^[5] ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle d}$

1. ${\displaystyle H^{1}(C,{\mathcal {F}})=0}$
2. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$es generado por secciones globales

para . Esto implica que hay una sobreyección. ${\displaystyle d>n(2g-1)}$

${\displaystyle H^{0}(C,{\mathcal {F}})\otimes {\mathcal {O}}_{C}\cong {\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}\to {\mathcal {F}}}$

Entonces, el esquema quot parametriza todas esas sobrejecciones. Usando el teorema de Grothendieck-Riemann-Roch la dimensión es igual a ${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }}$ ${\displaystyle N}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}})=d+n(1-g)}$

Para un conjunto de líneas fijas de grado hay una torsión , cambiando el grado en , por lo que ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}(m)={\mathcal {F}}\otimes {\mathcal {L}}^{\otimes m}}$ ${\displaystyle nm}$

${\displaystyle \chi ({\mathcal {F}}(m))=mn+d+n(1-g)}$^[5]

dando el polinomio de Hilbert

${\displaystyle \Phi _{\mathcal {F}}(\lambda )=n\lambda +d+n(1-g)}$

Entonces, el lugar geométrico de los haces de vectores semiestables está contenido en

${\displaystyle {\mathcal {Quot}}_{{\mathcal {O}}_{C}^{\oplus N}/{\mathcal {C}}/\mathbb {Z} }^{\Phi _{\mathcal {F}},{\mathcal {L}}}}$

que se puede utilizar para construir el espacio de módulos de haces de vectores semiestables utilizando un cociente GIT . ^[5] ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{C}(n,d)}$

Ver también

• polinomio de Hilbert
• Morfismo plano
• Esquema Hilbert
• espacio de módulos
• cociente git

Referencias

1. Grothendieck, Alejandro. Técnicas de construcción y teorías de existencia en geometría algébrique IV: les schémas de Hilbert. Séminaire Bourbaki: años 1960/61, exposiciones 205-222, Séminaire Bourbaki, núm. 6 (1961), Charla núm. 221, pág. 249-276
2. Nitsure, Nitin (2005). "Construcción de esquemas de Hilbert y Quot". Geometría algebraica fundamental: explicación del FGA de Grothendieck . Encuestas y monografías matemáticas. vol. 123. Sociedad Matemática Estadounidense. págs. 105-137. arXiv : matemáticas/0504590 . ISBN 978-0-8218-4245-4.
3. Altman, Allen B.; Kleiman, Steven L. (1980). "Compactando el esquema Picard". Avances en Matemáticas . 35 (1): 50-112. doi : 10.1016/0001-8708(80)90043-2 . ISSN  0001-8708.
4. El significado de una base para las secciones globales define una incrustación para ${\displaystyle s_{i}}$ ${\displaystyle \Gamma (X,{\mathcal {L}})}$ ${\displaystyle \mathbb {s} :X\to \mathbb {P} _{S}^{N}}$ ${\displaystyle N={\text{dim}}(\Gamma (X,{\mathcal {L}}))}$
5. Hoskins, Victoria. "Problemas de módulos y teoría de la invariante geométrica" ​​(PDF) . págs. 68, 74–85. Archivado (PDF) desde el original el 1 de marzo de 2020.

Otras lecturas

• Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica.
• https://amathew.wordpress.com/2012/06/02/the-stack-of-coherent-sheaves/