Métrica de Kähler-Einstein

Tipo de métrica en geometría riemanniana

En geometría diferencial , una métrica de Kähler-Einstein en una variedad compleja es una métrica de Riemann que es a la vez una métrica de Kähler y una métrica de Einstein . Se dice que una variedad es Kähler-Einstein si admite una métrica de Kähler-Einstein. El caso especial más importante de estos son las variedades Calabi-Yau , que son Kähler y Ricci-planas .

El problema más importante para esta área es la existencia de métricas de Kähler-Einstein para variedades compactas de Kähler. Este problema se puede dividir en tres casos dependiendo del signo de la primera clase de Chern de la variedad de Kähler:

• Cuando la primera clase de Chern es negativa, siempre hay una métrica de Kähler-Einstein, como demostraron de forma independiente Thierry Aubin y Shing-Tung Yau .
• Cuando la primera clase de Chern es cero, siempre hay una métrica de Kähler-Einstein, como demostró Yau en la conjetura de Calabi . Eso lleva al nombre de variedades Calabi-Yau. Fue galardonado con la Medalla Fields en parte por este trabajo.
• El tercer caso, el caso positivo o Fano, siguió siendo un problema abierto y conocido durante muchos años. En este caso, existe una obstrucción no trivial a la existencia. En 2012, Xiuxiong Chen , Simon Donaldson y Song Sun demostraron que en este caso la existencia equivale a un criterio álgebro-geométrico llamado K-estabilidad . Su prueba apareció en una serie de artículos en el Journal of the American Mathematical Society. ^{[1] [2] [3]} Gang Tian produjo una prueba de forma independiente al mismo tiempo. ^[4]

Cuando la primera clase de Chern no es definida, o tenemos una dimensión de Kodaira intermedia, encontrar la métrica canónica permanece como un problema abierto, lo que se denomina conjetura de algebrización mediante un programa de modelo mínimo analítico.

Definición

variedades de Einstein

Supongamos que es una variedad de Riemann . En física, las ecuaciones de campo de Einstein son un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales sobre el tensor métrico que describen cómo debe curvarse la variedad debido a la existencia de masa o energía, una cantidad encapsulada por el tensor tensión-energía . En un vacío donde no hay masa ni energía, es decir , las ecuaciones de campo de Einstein se simplifican. Es decir, la curvatura de Ricci es un tensor simétrico, como lo es la métrica misma, y ​​las ecuaciones se reducen a ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle T=0}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (2,0)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}={\frac {1}{2}}R_{g}g}$

¿ Dónde está la curvatura escalar de ? Es decir, la curvatura de Ricci se vuelve proporcional a la métrica. Una variedad de Riemann que satisface la ecuación anterior se llama variedad de Einstein . ${\displaystyle R_{g}}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (X,g)}$

Toda variedad de Riemann bidimensional es Einstein. Se puede demostrar utilizando las identidades de Bianchi que, en cualquier dimensión mayor, la curvatura escalar de cualquier variedad de Einstein conectada debe ser constante. Por esta razón, la condición de Einstein a menudo se da como

${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}=\lambda g}$

para un numero real ${\displaystyle \lambda .}$

Colectores Kähler

Cuando la variedad de Riemann es también una variedad compleja , es decir, viene con una estructura casi compleja integrable , es posible pedir una compatibilidad entre la estructura métrica y la estructura compleja . Hay muchas formas equivalentes de formular esta condición de compatibilidad, y una interpretación sucinta es preguntar que es ortogonal con respecto a , de modo que para todos los campos vectoriales , y que se conserva mediante el transporte paralelo de la conexión Levi-Civita , capturada por el condición . Esta tripleta se llama variedad de Kähler . ${\displaystyle (X,g)}$ ${\displaystyle J:TX\to TX}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g(Ju,Jv)=g(u,v)}$ ${\displaystyle u,v\in \Gamma (TM)}$ ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \nabla }$ ${\displaystyle \nabla J=0}$ ${\displaystyle (X,g,J)}$

Métricas de Kähler-Einstein

Una variedad de Kähler-Einstein es aquella que combina las propiedades anteriores de ser Kähler y admitir una métrica de Einstein. La combinación de estas propiedades implica una simplificación de la ecuación de Einstein en términos de estructura compleja. Es decir, en una variedad de Kähler se puede definir la forma de Ricci , una forma real , mediante la expresión ${\displaystyle (1,1)}$

${\displaystyle \rho (u,v)=\operatorname {Ric} _{g}(Ju,v),}$

¿ Dónde están los campos vectoriales tangentes a ? ${\displaystyle u,v}$ ${\displaystyle X}$

La estructura casi compleja obliga a ser antisimétrica, y la condición de compatibilidad combinada con la identidad de Bianchi implica que es una forma diferencial cerrada . Asociada a la métrica de Riemann está la forma de Kähler definida por una expresión similar . Por lo tanto, las ecuaciones de Einstein para se pueden reescribir como ${\displaystyle J}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \nabla J=0}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \omega (u,v)=g(Ju,v)}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle \rho =\lambda \omega ,}$

la ecuación de Kähler-Einstein.

Dado que se trata de una igualdad de formas diferenciales cerradas, implica una igualdad de las clases de cohomología de De Rham asociadas y . La primera clase es la primera clase Chern de . Por lo tanto, una condición necesaria para la existencia de una solución a la ecuación de Kähler-Einstein es que , para algunos . Esta es una condición topológica necesaria en la variedad Kähler . ${\displaystyle [\rho ]}$ ${\displaystyle [\omega ]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle (X,g,J)}$

Tenga en cuenta que, dado que la curvatura de Ricci es invariante bajo escala , si hay una métrica tal que , siempre se puede normalizar a una nueva métrica con , es decir . Por tanto, la ecuación de Kähler-Einstein a menudo se escribe ${\displaystyle \operatorname {Ric} _{g}}$ ${\displaystyle g\mapsto \lambda ^{-1}g}$ ${\displaystyle \lambda \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \lambda =-1,0,1}$

${\displaystyle \rho =-\omega ,\quad \rho =0,\quad \rho =\omega }$

dependiendo del signo de la constante topológica . ${\displaystyle \lambda }$

Transformación a una ecuación compleja de Monge-Amperio

La situación de las variedades compactas de Kähler es especial, porque la ecuación de Kähler-Einstein se puede reformular como una ecuación compleja de Monge-Amperio para un potencial de Kähler suave en . ^[5] Según el supuesto topológico de la variedad de Kähler, siempre podemos suponer que existe alguna métrica de Kähler . La forma de Ricci está dada en coordenadas locales por la fórmula ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \omega _{0}\in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log \omega _{0}^{n}.}$

Por supuesto , y están en la misma clase de cohomología , por lo que el lema de la teoría de Hodge implica que existe una función suave tal que . ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \rho _{0}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle F\in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}F=\rho _{0}}$

Cualquier otra métrica está relacionada mediante un potencial de Kähler tal que . Entonces se deduce que si es la forma de Ricci con respecto a , entonces ${\displaystyle \omega \in c_{1}(X)}$ ${\displaystyle \omega _{0}}$ ${\displaystyle \varphi \in C^{\infty }(X)}$ ${\displaystyle \omega =\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \rho -\rho _{0}=-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.}$

Por lo tanto, para hacer necesitamos encontrar tal que ${\displaystyle \rho =\lambda \omega }$ ${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \lambda i\partial {\bar {\partial }}\varphi =i\partial {\bar {\partial }}F-i\partial {\bar {\partial }}\log {\frac {\omega ^{n}}{\omega _{0}^{n}}}.}$

Esto ciertamente será cierto si se prueba la misma ecuación después de eliminar las derivadas y, de hecho, esta es una ecuación equivalente por el lema hasta cambiar por la adición de una función constante. En particular, después de eliminar y exponenciar, la ecuación se transforma en ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \partial {\bar {\partial }}}$

${\displaystyle (\omega _{0}+i\partial {\bar {\partial }}\varphi )^{n}=e^{F-\lambda \varphi }\omega _{0}^{n}.}$

Esta ecuación diferencial parcial es similar a una ecuación real de Monge-Ampere , y se conoce como ecuación compleja de Monge-Ampere, y posteriormente puede estudiarse utilizando herramientas del análisis convexo . Su comportamiento es muy sensible al signo de la constante topológica . Las soluciones de esta ecuación aparecen como puntos críticos del funcional de energía K introducido por Toshiki Mabuchi en el espacio de potenciales de Kähler en la clase . ${\displaystyle \lambda =-1,0,1}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$

Existencia

El problema de existencia de las métricas de Kähler-Einstein se puede dividir en tres casos distintos, dependiendo del signo de la constante topológica . Dado que la forma de Kähler es siempre una forma diferencial positiva , el signo de depende de si la clase de cohomología es positiva, negativa o cero. En geometría algebraica esto se entiende en términos del paquete canónico de : si y solo si el paquete canónico es un paquete de líneas amplio , y si y solo si es amplio. Si es un paquete de líneas trivial, entonces . Cuando la variedad de Kähler es compacta , el problema de la existencia queda completamente resuelto. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$

El caso c 1 (X)

Cuando la variedad de Kähler satisface el supuesto topológico , el paquete canónico es amplio y, por tanto, debe ser negativo. Si se satisface el supuesto topológico necesario, es decir, existe una métrica de Kähler tal que , Aubin y Yau demostraron que siempre existe una métrica de Kähler-Einstein. ^{[6] [7]} La ​​existencia de una métrica de Kähler que satisface el supuesto topológico es una consecuencia de la prueba de Yau de la conjetura de Calabi . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle c_{1}(X)=\lambda [\omega ]}$

Teorema (Aubin, Yau): Una variedad compacta de Kähler siempre admite una métrica de Kähler-Einstein. ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$

El caso c 1 (X)=0

Cuando el paquete canónico es trivial, de modo que , se dice que la variedad es Calabi-Yau . Estas variedades son de especial importancia en física, donde deberían aparecer como fondo de cuerdas en la teoría de supercuerdas en 10 dimensiones. Matemáticamente, esto corresponde al caso en el que , es decir, cuando la variedad de Riemann es plana de Ricci . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$ ${\displaystyle \lambda =0}$ ${\displaystyle (X,g)}$

La existencia de una métrica de Kähler-Einstein fue probada en este caso por Yau, utilizando un método de continuidad similar al caso en el que . ^[8] El supuesto topológico introduce nuevas dificultades en el método de continuidad. En parte debido a su prueba de existencia y la prueba relacionada de la conjetura de Calabi , Yau recibió la medalla Fields . ${\displaystyle c_{1}(X)<0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)=0}$

Teorema (Yau): Una variedad de Kähler compacta con paquete canónico trivial, una variedad de Calabi-Yau, siempre admite una métrica de Kähler-Einstein y, en particular, admite una métrica plana de Ricci.

El caso c 1 (X)>0

Cuando el paquete anticanónico es amplio, o equivalentemente , se dice que la variedad es Fano. A diferencia de lo que ocurre en este caso, no siempre existe una métrica de Kähler-Einstein. Akito Futaki observó que existen posibles obstáculos a la existencia de una solución dada por los campos vectoriales holomorfos de , y es una condición necesaria que el invariante de Futaki de estos campos vectoriales no sea negativo. ^[9] De hecho, mucho antes Matsushima y Lichnerowicz habían observado que otra condición necesaria es que el álgebra de Lie de los campos vectoriales holomorfos debe ser reductivo . ^{[10] [11]} ${\displaystyle K_{X}^{-1}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)>0}$ ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle H^{0}(X,TX)}$

Yau conjeturó en 1993, en analogía con el problema similar de la existencia de métricas de Hermite-Einstein en haces de vectores holomorfos , que la obstrucción a la existencia de una métrica de Kähler-Einstein debería ser equivalente a una cierta condición de estabilidad álgebro-geométrica similar a estabilidad de pendiente de haces de vectores. ^[12] En 1997, Tian Gang propuso una posible condición de estabilidad, que llegó a conocerse como K-estabilidad . ^[13]

La conjetura de Yau fue resuelta en 2012 por Chen – Donaldson – Sun utilizando técnicas muy diferentes del método clásico de continuidad del caso , ^{[1] [2] [3]} y al mismo tiempo por Tian. ^{[4] [14]} Chen–Donaldson–Sun han cuestionado la prueba de Tian, ​​alegando que contiene imprecisiones matemáticas y material que debería atribuirse a ellos. ^[a] Tian ha cuestionado estas afirmaciones. ^{[b] El} premio Veblen 2019 fue otorgado a Chen–Donaldson–Sun por su prueba. ^[15] Donaldson recibió el Premio Breakthrough Prize en Matemáticas 2015 en parte por su contribución a la prueba, ^[16] y el Premio New Horizons Breakthrough 2021 fue otorgado a Sun en parte por su contribución. ^[17] ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

Teorema: Una variedad de Fano compacta admite una métrica de Kähler-Einstein si y sólo si el par es K-poliestable. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (X,K_{X}^{-1})}$

Más tarde, Datar-Székelyhidi proporcionó una prueba basada en el método de continuidad que resolvió el caso , y ahora se conocen varias otras pruebas. ^{[18] [19]} Consulte la conjetura de Yau-Tian-Donaldson para obtener más detalles. ${\displaystyle c_{1}(X)\leq 0}$

El flujo de Kähler-Ricci y el programa modelo mínimo

Un programa central en geometría biracional es el programa de modelo mínimo , que busca generar modelos de variedades algebraicas dentro de cada clase de biracionalidad, que son en algún sentido mínimos , generalmente porque minimizan ciertas medidas de complejidad (como el género aritmético en el caso de curvas). En dimensiones superiores, se busca un modelo mínimo que tenga nef paquete canónico . Una forma de construir modelos mínimos es contraer ciertas curvas dentro de una variedad algebraica que tengan una autointersección negativa. Estas curvas deben considerarse geométricamente como subvariedades en las que se concentra una curvatura negativa. ${\displaystyle C\subset X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En este sentido, el programa del modelo mínimo puede verse como una analogía del flujo de Ricci en geometría diferencial, donde las regiones donde se concentra la curvatura se expanden o contraen para reducir la variedad de Riemann original a una con curvatura uniforme (precisamente, a una nueva variedad de Riemann que tiene curvatura de Ricci uniforme, es decir una variedad de Einstein). En el caso de 3 variedades, Grigori Perelman utilizó esto para demostrar la conjetura de Poincaré .

En el contexto de las variedades de Kähler, Cao anotó por primera vez el flujo de Kähler-Ricci . ^[20] Aquí se fija una métrica de Kähler con la forma de Ricci y se estudia el flujo geométrico para una familia de métricas de Kähler parametrizadas por : ${\displaystyle g_{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle \rho _{i{\bar {j}}}}$ ${\displaystyle {\tilde {g}}_{ij}(t)}$ ${\displaystyle t\in [0,\infty )}$

${\displaystyle {\frac {\partial {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}}{\partial t}}=-{\tilde {\rho }}_{i{\bar {j}}}+\rho _{i{\bar {j}}},\quad {\tilde {g}}_{i{\bar {j}}}(0)=g_{i{\bar {j}}}.}$

Cuando una variedad proyectiva es de tipo general , el modelo mínimo admite una mayor simplificación a un modelo canónico , con haz canónico amplio. En entornos donde solo hay singularidades leves ( orbifold ) en este modelo canónico, es posible preguntar si el flujo de Kähler-Ricci converge a una métrica de Kähler-Einstein (posiblemente levemente singular) , que debería existir con la existencia de Yau y Aubin. resultado para . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X'}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle c_{1}(X'')<0}$

^{Cascini y La Nave [21]} y casi al mismo tiempo Tian-Zhang demostraron un resultado preciso en este sentido . ^[22]

Teorema: El flujo de Kähler-Ricci en una variedad proyectiva de tipo general existe para todos los tiempos, y después de como máximo un número finito de formaciones de singularidades, si el modelo canónico tiene, en el peor de los casos, singularidades orbifold, entonces el flujo de Kähler-Ricci converge a la métrica de Kähler-Einstein en , hasta una función acotada que se aleja suavemente de una subvariedad analítica de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$ ${\displaystyle X}$

En el caso de que la variedad sea de dimensión dos, también lo es una superficie de tipo general, se obtiene convergencia a la métrica de Kähler-Einstein en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X''}$

Más tarde, Jian Song y Tian estudiaron el caso en el que la variedad proyectiva tiene singularidades log-terminales. ^[23] ${\displaystyle X}$

Flujo de Kähler-Ricci y existencia de métricas de Kähler-Einstein

Es posible dar una prueba alternativa del teorema de Chen-Donaldson-Sun sobre la existencia de métricas de Kähler-Einstein en una variedad de Fano suave utilizando el flujo de Kähler-Ricci, y esto fue llevado a cabo en 2018 por Chen-Sun-Wang. ^[24] Es decir, si la variedad de Fano es K-polistable, entonces el flujo de Kähler-Ricci existe para siempre y converge a una métrica de Kähler-Einstein en la variedad de Fano.

Generalizaciones y nociones alternativas.

Métricas de Kähler de curvatura escalar constante

Cuando el paquete canónico no es trivial, amplio o antiamplio, no es posible pedir una métrica de Kähler-Einstein, ya que la clase no puede contener una métrica de Kähler y, por lo tanto, la condición topológica necesaria nunca puede satisfacerse. Esto se desprende del teorema de incrustación de Kodaira . ${\displaystyle K_{X}}$ ${\displaystyle c_{1}(X)}$

Una generalización natural de la ecuación de Kähler-Einstein al escenario más general de una variedad de Kähler compacta y arbitraria es preguntar que la métrica de Kähler tiene una curvatura escalar constante (se dice que la métrica es cscK ). La curvatura escalar es la traza total del tensor de curvatura de Riemann , una función suave sobre la variedad , y en el caso de Kähler la condición de que la curvatura escalar sea constante admite una transformación en una ecuación similar a la compleja ecuación de Monge-Ampere de Kähler. –Escenario de Einstein. Muchas técnicas del caso Kähler-Einstein continúan con el escenario cscK, aunque con dificultad adicional, y se conjetura que una condición de estabilidad algebro-geométrica similar debería implicar la existencia de soluciones a la ecuación en este escenario más general. ${\displaystyle (X,g)}$

Cuando la variedad compacta de Kähler satisface los supuestos topológicos necesarios para que la condición de Kähler-Einstein tenga sentido, la ecuación de Kähler de curvatura escalar constante se reduce a la ecuación de Kähler-Einstein.

Métricas de Hermite-Einstein

En lugar de preguntar que la curvatura de Ricci de la conexión de Levi-Civita en el haz tangente de una variedad de Kähler es proporcional a la métrica misma, se puede hacer esta pregunta para la curvatura de una conexión de Chern asociada a una métrica hermitiana en cualquier haz de vectores holomorfos. terminado (tenga en cuenta que la conexión de Levi-Civita en el paquete tangente holomorfo es precisamente la conexión de Chern de la métrica hermitiana procedente de la estructura de Kähler). La ecuación resultante se llama ecuación de Hermite-Einstein, y es de especial importancia en la teoría de calibre , donde aparece como un caso especial de las ecuaciones de Yang-Mills , que provienen de la teoría cuántica de campos , en contraste con las ecuaciones regulares de Einstein que provienen de de la relatividad general . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

En el caso en que el paquete de vectores holomorfos sea nuevamente el paquete tangente holomorfo y la métrica hermitiana sea la métrica de Kähler, la ecuación de Hermite-Einstein se reduce a la ecuación de Kähler-Einstein. Sin embargo, en general, la geometría de la variedad de Kähler suele ser fija y solo se permite variar la métrica del paquete, y esto hace que la ecuación de Hermite-Einstein sea más fácil de estudiar que la ecuación de Kähler-Einstein en general. En particular, la correspondencia Kobayashi-Hitchin proporciona una caracterización algebro-geométrica completa de la existencia de soluciones .

Referencias

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Notas

1. Xiuxiong Chen, Simon Donaldson, Song Sun. "Sobre algunos desarrollos recientes en la geometría de Kähler".
2. Pandilla Tian. "Respuesta a CDS" y "Más comentarios sobre CDS", corrección de errores: K-Stability y Kähler‐Einstein Metrics