Ecuación de Monge-Ampere

Ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden de tipo especial

En matemáticas , una ecuación (real) de Monge-Ampère es una ecuación diferencial parcial no lineal de segundo orden de tipo especial. Una ecuación de segundo orden para la función desconocida u de dos variables x , y es de tipo Monge-Ampère si es lineal en el determinante de la matriz hessiana de u y en las derivadas parciales de segundo orden de u . Las variables independientes ( x , y ) varían en un dominio dado D de R ² . El término también se aplica a ecuaciones análogas con n variables independientes. Los resultados más completos hasta el momento se han obtenido cuando la ecuación es elíptica .

Las ecuaciones de Monge-Ampère surgen con frecuencia en geometría diferencial , por ejemplo, en los problemas de Weyl y Minkowski en geometría diferencial de superficies . Fueron estudiados por primera vez por Gaspard Monge en 1784 ^[1] y más tarde por André-Marie Ampère en 1820. ^[2] Sergei Bernstein , Aleksei Pogorelov , Charles Fefferman y Louis obtuvieron resultados importantes en la teoría de las ecuaciones de Monge-Ampère. Nirenberg . Más recientemente, Alessio Figalli y Luis Caffarelli fueron reconocidos por su trabajo sobre la regularidad de la ecuación Monge-Ampère; el primero ganó la Medalla Fields en 2018 y el segundo el Premio Abel en 2023. ^{[3] [4]}

Descripción

Dadas dos variables independientes x e y , y una variable dependiente u , la ecuación general de Monge-Ampère tiene la forma

${\displaystyle L[u]=A\,{\text{det}}(\nabla ^{2}u)+B\Delta u+2Cu_{xy}+(D-B)u_{yy}+E=A(u_{xx}u_{yy}-u_{xy}^{2})+Bu_{xx}+2Cu_{xy}+Du_{yy}+E=0,}$

donde A , B , C , D y E son funciones que dependen únicamente de las variables de primer orden x , y , u , u _x y u _{y .}

teorema de rellich

Sea Ω un dominio acotado en R ³ y supongamos que en Ω A , B , C , D y E son funciones continuas de x e y únicamente. Considere el problema de Dirichlet para encontrar u de modo que

${\displaystyle L[u]=0,\quad {\text{on}}\ \Omega }$

${\displaystyle u|_{\partial \Omega }=g.}$

Si

${\displaystyle BD-C^{2}-AE>0,}$

entonces el problema de Dirichlet tiene como máximo dos soluciones. ^[5]

Resultados de elipticidad

Supongamos ahora que x es una variable con valores en un dominio en R ⁿ y que f ( x , u , Du ) es una función positiva. Entonces la ecuación de Monge-Ampère

${\displaystyle L[u]=\det D^{2}u-f(\mathbf {x} ,u,Du)=0\qquad \qquad (1)}$

es una ecuación diferencial parcial elíptica no lineal (en el sentido de que su linealización es elíptica), siempre que se limite la atención a las soluciones convexas .

En consecuencia, el operador L satisface versiones del principio máximo y, en particular, las soluciones al problema de Dirichlet son únicas, siempre que existan. ^{[ cita necesaria ]}

Aplicaciones

Las ecuaciones de Monge-Ampère surgen naturalmente en varios problemas de geometría de Riemann , geometría conforme y geometría CR . Una de las aplicaciones más simples es el problema de la curvatura prescrita de Gauss . ^{[6] Supongamos que una función} K de valor real se especifica en un dominio Ω en R ⁿ , el problema de curvatura prescrita de Gauss busca identificar una hipersuperficie de R ^{n +1} como una gráfica z = u ( x ) sobre x ∈ Ω de modo que en cada punto de la superficie la curvatura de Gauss viene dada por K ( x ). La ecuación diferencial parcial resultante es

${\displaystyle \det D^{2}u-K(\mathbf {x} )(1+|Du|^{2})^{(n+2)/2}=0.}$

Las ecuaciones de Monge-Ampère están relacionadas con el problema de transporte masivo óptimo de Monge-Kantorovich , cuando el "costo funcional" en él viene dado por la distancia euclidiana. ^[7]

Ver también

• Lista de ecuaciones diferenciales parciales no lineales
• Ecuación compleja de Monge-Ampère

Referencias

1. Monge, Gaspard (1784). "Mémoire sur le calcul intégral des équations aux différences partielles". Mémoires de l'Académie des Sciences . París, Francia: Imprimerie Royale. págs. 118-192.
2. Ampère, André-Marie (1819). Mémoire contenant l'application de la théorie exposée dans le XVII. e Cahier du Journal de l'École Polytechnique, à l'intégration des équations aux différentielles partielles du premier et du second ordre. París: De l'Imprimerie royale . Consultado el 29 de junio de 2017 .
3. "Cita larga de Figalli" (PDF) . Medallas Campos 2018 . Unión Matemática Internacional .
4. De Ambrosio, Martín. "A nivel de los grandes del siglo: Luis Caffarelli, el Messi de la matemática que ganó el equivalente al Nobel de la disciplina". LA NACIÓN . LA NACIÓN . Consultado el 22 de marzo de 2023 .
5. Courant y Hilbert 1962, pág. 324.
6. Gilbarg y Trudinger 2001.
7. Villani 2003; Villani 2009.

Referencias adicionales

• Aubin, Thierry (1998). Algunos problemas no lineales en geometría riemanniana . Monografías de Springer en Matemáticas. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-662-13006-3. ISBN 3-540-60752-8. SEÑOR  1636569. Zbl  0896.53003.
• Courant, R .; Hilbert, D. (1962). Métodos de física matemática. Tomo II: Ecuaciones diferenciales parciales . Nueva York-Londres: Interscience Publishers . doi :10.1002/9783527617234. ISBN 9780471504399. Señor  0140802. Zbl  0099.29504.
• Gilbarg, David ; Trudinger, Neil S. (2001). Ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden . Clásicos de las Matemáticas (Reimpresión de la edición de 1998). Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-642-61798-0. ISBN 3-540-41160-7. SEÑOR  1814364. Zbl  1042.35002.
• Spivak, Michael (1999). Una introducción completa a la geometría diferencial: volumen cinco (Tercera edición de la edición original de 1975). Publicar o perecer, Inc. ISBN 0-914098-74-8. SEÑOR  0532834. Zbl  1213.53001.
• Villani, Cédric (2003). Temas en transporte óptimo . Estudios de Posgrado en Matemáticas . vol. 58. Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense . doi :10.1090/gsm/058. ISBN 0-8218-3312-X. SEÑOR  1964483. Zbl  1106.90001.
• Villani, Cédric (2009). Transporte óptimo. Viejo y nuevo . Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. vol. 338. Berlín: Springer-Verlag . doi :10.1007/978-3-540-71050-9. ISBN 978-3-540-71049-3. SEÑOR  2459454. Zbl  1156.53003.

enlaces externos

• "Ecuación de Monge-Ampère", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diferencial de Monge-Ampère". MundoMatemático .