Colector CR

En matemáticas , una variedad CR , o variedad de Cauchy–Riemann , ^[1] es una variedad diferenciable junto con una estructura geométrica modelada sobre la de una hipersuperficie real en un espacio vectorial complejo , o más generalmente modelada sobre un borde de una cuña .

Formalmente, una variedad CR es una variedad diferenciable M junto con una distribución compleja preferida L , o en otras palabras, un subfibrado complejo del fibrado tangente complejizado tal que ${\displaystyle \mathbb {C} TM=TM\otimes _{\mathbb {R} }\mathbb {C} }$

• ${\displaystyle [L,L]\subseteq L}$( L es formalmente integrable )
• ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$.

El subhaz L se denomina estructura CR en la variedad M.

La abreviatura CR significa " Cauchy-Riemann " o "Complejo-Real". ^{[1] [2]}

Introducción y motivación

La noción de estructura CR intenta describir intrínsecamente la propiedad de ser una hipersuperficie (o ciertas subvariedades reales de mayor codimensión) en el espacio complejo mediante el estudio de las propiedades de los campos vectoriales holomórficos que son tangentes a la hipersuperficie.

Supongamos por ejemplo que M es la hipersuperficie dada por la ecuación ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle F(z,w):=|z|^{2}+|w|^{2}=1,}$

donde z y w son las coordenadas complejas habituales en . El fibrado tangente holomorfo de consta de todas las combinaciones lineales de los vectores ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z}},\quad {\frac {\partial }{\partial w}}.}$

La distribución L en M consiste en todas las combinaciones de estos vectores que son tangentes a M. Los vectores tangentes deben aniquilar la ecuación definitoria de M , por lo que L consiste en múltiplos escalares complejos de

${\displaystyle {\bar {w}}{\frac {\partial }{\partial z}}-{\bar {z}}{\frac {\partial }{\partial w}}.}$

En particular, L consiste en los campos vectoriales holomórficos que aniquilan a F. Nótese que L da una estructura CR en M , para [ L , L ] = 0 (ya que L es unidimensional) y ya que ∂/∂ z y ∂/∂ w son linealmente independientes de sus conjugados complejos. ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

De manera más general, supongamos que M es una hipersuperficie real con ecuación definitoria F ( z ₁ , ..., z _n ) = 0. Entonces la estructura CR L consiste en aquellas combinaciones lineales de los vectores holomorfos básicos en : ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n},}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}}$

que aniquilan la función definitoria. En este caso, por la misma razón que antes. Además, [ L , L ] ⊂ L puesto que el conmutador de campos vectoriales holomorfos que aniquilan F es de nuevo un campo vectorial holomorfo que aniquila F . ${\displaystyle L\cap {\bar {L}}=\{0\}}$

Variedades CR integradas y abstractas

Existe un marcado contraste entre las teorías de variedades CR embebidas (hipersuperficies y aristas de cuñas en el espacio complejo) y las variedades CR abstractas (aquellas dadas por la distribución compleja L ). Muchas de las características geométricas formales son similares. Entre ellas se incluyen:

• Una noción de convexidad (proporcionada por la forma de Levi )
• Un operador diferencial , análogo al operador Dolbeault , y una cohomología asociada (el complejo tangencial de Cauchy-Riemann ).

Sin embargo, las variedades CR incorporadas poseen una estructura adicional: un problema de Neumann y Dirichlet para las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Este artículo primero trata la geometría de las variedades CR integradas, muestra cómo definir estas estructuras intrínsecamente y luego las generaliza al entorno abstracto.

Colectores CR integrados

Preliminares

Las variedades CR embebidas son, ante todo, subvariedades de Defina un par de subfibrados del fibrado tangente complejizado mediante: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \otimes T\mathbb {C} ^{n}}$

• ${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}}$Consiste en los vectores complejos que anulan las funciones antiholomórficas . En las coordenadas holomorfas :

${\displaystyle T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial z_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial z_{n}}}\right).}$

• ${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}}$Consiste en los vectores complejos que anulan las funciones holomorfas . En coordenadas:

${\displaystyle T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} \left({\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{1}}},\dots ,{\frac {\partial }{\partial {\bar {z}}_{n}}}\right).}$

También son relevantes los aniquiladores característicos del complejo de Dolbeault :

• ${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$En coordenadas,

${\displaystyle \Omega ^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (dz_{1},\dots ,dz_{n}).}$

• ${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\left(T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}\right)^{\bot }.}$En coordenadas,

${\displaystyle \Omega ^{(0,1)}\mathbb {C} ^{n}=\operatorname {span} (d{\bar {z}}_{1},\dots ,d{\bar {z}}_{n}).}$

Los productos exteriores de estos se denotan por la notación evidente Ω ^{( p , q )} , y el operador de Dolbeault y su mapa conjugado complejo entre estos espacios mediante:

${\displaystyle \partial :\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p+1,q)}}$

${\displaystyle {\bar {\partial }}:\Omega ^{(p,q)}\to \Omega ^{(p,q+1)}}$

Además, hay una descomposición de la derivada exterior habitual mediante . ${\displaystyle d=\partial +{\bar {\partial }}}$

Subvariedades reales del espacio complejo

Sea una subvariedad real, definida localmente como el lugar geométrico de un sistema de funciones reales suaves ${\displaystyle M\subset \mathbb {C} ^{n}}$

${\displaystyle F_{1}=0,F_{2}=0,\ldots ,F_{k}=0.}$

Supongamos que la parte compleja-lineal de la diferencial de este sistema tiene rango máximo, en el sentido de que las diferenciales satisfacen la siguiente condición de independencia :

${\displaystyle \partial F_{1}\wedge \dots \wedge \partial F_{k}\not =0.}$

Nótese que esta condición es estrictamente más fuerte de lo necesario para aplicar el teorema de la función implícita : en particular, M es una variedad de dimensión real Decimos que M es una subvariedad CR incrustada genérica de codimensión CR k . El adjetivo genérico indica que el espacio tangente abarca el espacio tangente de sobre números complejos . En la mayoría de las aplicaciones, k  = 1, en cuyo caso se dice que la variedad es de tipo hipersuperficie . ${\displaystyle 2n-k.}$  ${\displaystyle TM}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Sea el subfibrado de vectores que aniquila todas las funciones definitorias Nótese que, por las consideraciones usuales para distribuciones integrables en hipersuperficies, L es involutivo. Además, la condición de independencia implica que L es un fibrado de rango constante n  −  k . ${\displaystyle L\subset T^{(1,0)}\mathbb {C} ^{n}|_{M}}$ ${\displaystyle F_{1},\ldots ,F_{k}.}$

De ahora en adelante, supongamos que k  = 1 (de modo que la variedad CR es de tipo hipersuperficie), a menos que se indique lo contrario.

La forma Levi

Sea M una variedad CR de tipo hipersuperficie con una única función definitoria F = 0. La forma de Levi de M , llamada así por Eugenio Elia Levi , ^[3] es la 2-forma hermítica

${\displaystyle h=i\,\partial {\bar {\partial }}F|_{L\wedge {\bar {L}}}.}$

Esto determina una métrica en L . Se dice que M es estrictamente pseudoconvexo (desde el lado F<0 ) si h es definida positiva (o pseudoconvexa en caso de que h sea semidefinida positiva). ^[4] Muchos de los resultados analíticos de existencia y unicidad en la teoría de las variedades CR dependen de la pseudoconvexidad.

Esta nomenclatura proviene del estudio de dominios pseudoconvexos : M es el límite de un dominio (estrictamente) pseudoconvexo si y solo si es (estrictamente) pseudoconvexo como una variedad CR desde el lado del dominio. (Véase funciones plurisubarmónicas y variedad de Stein ). ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

Resumen Estructuras CR

Una estructura CR abstracta sobre una variedad real M de dimensión real n consiste en un subfibrado complejo L del fibrado tangente complejizado que es formalmente integrable, en el sentido de que [ L , L ] ⊂ L , que tiene intersección cero con su conjugado complejo. La codimensión CR de la estructura CR es donde dim  L es la dimensión compleja. En el caso de que k  = 1, se dice que la estructura CR es de tipo hipersuperficie . La mayoría de los ejemplos de estructuras CR abstractas son de tipo hipersuperficie. ${\displaystyle k=n-2\dim L,}$

La forma de Levi y la pseudoconvexidad

Supóngase que M es una variedad CR de tipo hipersuperficie. La forma de Levi es la 2-forma con valores vectoriales, definida en L , con valores en el fibrado lineal

${\displaystyle V={\frac {TM\otimes \mathbb {C} }{L\oplus {\overline {L}}}}}$

dado por

${\displaystyle h(v,w)={\frac {1}{2i}}[v,{\overline {w}}]\mod L\oplus {\overline {L}},\quad v,w\in L.}$

h define una forma sesquilineal en L ya que no depende de cómo se extienden v y w a secciones de L , por la condición de integrabilidad. Esta forma se extiende a una forma hermítica en el fibrado por la misma expresión. La forma extendida también se conoce a veces como la forma de Levi. ${\displaystyle L\oplus {\overline {L}}}$

La forma de Levi se puede caracterizar alternativamente en términos de dualidad. Consideremos el subfibrado lineal del fibrado cotangente complejo que aniquila V

${\displaystyle H_{0}M=V^{*}=(L\oplus {\overline {L}})^{\perp }\subset T^{*}M\otimes \mathbb {C} .}$

Para cada sección local α ∈ Γ( H ₀ M ), sea

${\displaystyle h_{\alpha }(v,w)=d\alpha (v,{\overline {w}})=-\alpha ([v,{\overline {w}}]),\quad v,w\in L\oplus {\overline {L}}.}$

La forma h _α es una forma hermítica de valor complejo asociada a α.

Existen generalizaciones de la forma de Levi cuando la variedad no es de tipo hipersuperficie, en cuyo caso la forma ya no asume valores en un fibrado lineal, sino en un fibrado vectorial. Se puede hablar entonces, no de una forma de Levi, sino de una colección de formas de Levi para la estructura.

En variedades CR abstractas, de tipo fuertemente pseudo-convexo, la forma de Levi da lugar a una métrica pseudo-hermítica. La métrica sólo está definida para los vectores tangentes holomorfos y, por lo tanto, es degenerada. Se puede entonces definir una conexión y tensores de torsión y curvatura relacionados, por ejemplo, la curvatura de Ricci y la curvatura escalar, utilizando esta métrica. Esto da lugar a un problema de Yamabe CR análogo estudiado por primera vez por David Jerison y John Lee . La conexión asociada a las variedades CR fue definida y estudiada por primera vez por Sidney M. Webster en su tesis sobre el estudio del problema de equivalencia e independientemente también definida y estudiada por Tanaka. ^[5] Se pueden encontrar descripciones de estas nociones en los artículos. ^{[6] [7]}

Una de las preguntas básicas de la geometría CR es preguntar cuándo una variedad lisa dotada de una estructura CR abstracta puede realizarse como una variedad incrustada en algún . Por lo tanto, no solo estamos incrustando la variedad, sino que también exigimos que la incrustación global que incruste la variedad abstracta en debe retirar la estructura CR inducida de la variedad incrustada (que proviene del hecho de que se encuentra en ) de modo que la estructura CR de retirada coincida exactamente con la estructura CR abstracta. Por lo tanto, la incrustación global es una condición de dos partes. Aquí la pregunta se divide en dos. Uno puede preguntar por la incrustabilidad local o la incrustabilidad global. ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

La incrustabilidad global siempre es verdadera para estructuras CR compactas definidas de forma abstracta que son fuertemente pseudoconvexas, es decir, la forma de Levi es definida positiva, cuando la dimensión real de la variedad es 5 o mayor según un resultado de Louis Boutet de Monvel . ^[8]

En la dimensión 3, existen obstáculos a la incrustabilidad global. Al realizar pequeñas perturbaciones de la estructura CR estándar en las tres esferas, la estructura CR abstracta resultante que se obtiene no logra incrustarse globalmente. Esto a veces se denomina el ejemplo de Rossi. ^[9] De hecho, el ejemplo se remonta a Hans Grauert y también aparece en un artículo de Aldo Andreotti y Yum-Tong Siu . ^[10] ${\displaystyle S^{3},}$

Un resultado de Joseph J. Kohn establece que la incrustabilidad global es equivalente a la condición de que el Laplaciano de Kohn tenga rango cerrado. ^[11] Esta condición de rango cerrado no es una condición invariante de CR.

En dimensión 3, Sagun Chanillo, Hung-Lin Chiu y Paul C. Yang ^[12] han encontrado un conjunto no perturbativo de condiciones que son invariantes CR que garantiza la incrustabilidad global para estructuras CR abstractas fuertemente pseudoconvexas definidas en variedades compactas. Bajo la hipótesis de que el operador Paneitz CR es no negativo y la constante Yamabe CR es positiva, uno tiene incrustación global. La segunda condición puede debilitarse a una condición no invariante CR exigiendo que la curvatura de Webster de la variedad abstracta esté acotada por debajo por una constante positiva. Permite a los autores obtener un límite inferior agudo en el primer valor propio positivo del Laplaciano de Kohn. El límite inferior es el análogo en geometría CR del límite de André Lichnerowicz para el primer valor propio positivo del operador de Laplace-Beltrami para variedades compactas en geometría riemanniana . ^[13] La no negatividad del operador CR de Paneitz en dimensión 3 es una condición invariante CR como se deduce de las propiedades covariantes conformes del operador CR de Paneitz en variedades CR de dimensión real 3, observadas por primera vez por Kengo Hirachi . ^[14] La versión CR del operador de Paneitz, el llamado Operador CR de Paneitz, aparece por primera vez en un trabajo de C. Robin Graham y John Lee . No se sabe que el operador sea covariante conforme en dimensión real 5 y superior, sino solo en dimensión real 3. Siempre es un operador no negativo en dimensión real 5 y superior. ^[15]

Se puede preguntar si todas las variedades CR compactas embebidas en tienen operadores de Paneitz no negativos. Esta es una especie de pregunta inversa a los teoremas de embebimiento discutidos anteriormente. En esta dirección, Jeffrey Case, Sagun Chanillo y Paul C. Yang han demostrado un teorema de estabilidad. Es decir, si se comienza con una familia de variedades CR compactas embebidas en y la estructura CR de la familia cambia de una manera analítica real con respecto al parámetro y la constante de Yamabe CR de la familia de variedades está uniformemente acotada por debajo por una constante positiva, entonces el operador de Paneitz CR permanece no negativo para toda la familia, siempre que un miembro de la familia tenga su operador de Paneitz CR no negativo. ^[16] La pregunta inversa fue finalmente resuelta por Yuya Takeuchi. Demostró que para variedades CR-3 compactas embebidas que son estrictamente pseudoconvexas, el operador de Paneitz CR asociado a esta variedad embebida es no negativo. ^[17] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2},}$ ${\displaystyle J_{t}}$ ${\displaystyle t,}$

También existen resultados de incrustación global para pequeñas perturbaciones de la estructura CR estándar para la esfera tridimensional debido a Daniel Burns y Charles Epstein . Estos resultados plantean hipótesis sobre los coeficientes de Fourier del término de perturbación. ^[18]

La realización de la variedad CR abstracta como una variedad lisa en algunos casos limitará una variedad compleja que en general puede tener singularidades. Este es el contenido del problema de meseta compleja estudiado en el artículo de F. Reese Harvey y H. Blaine Lawson . ^[19] También hay trabajos adicionales sobre el problema de meseta compleja de Stephen S.-T. Yau. ^[20] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

La incrustación local de estructuras CR abstractas no es verdadera en dimensión real 3, debido a un ejemplo de Louis Nirenberg (el libro de Chen y Mei-Chi Shaw al que se hace referencia más abajo también incluye una presentación de la prueba de Nirenberg). ^[21] El ejemplo de L. Nirenberg puede verse como una perturbación suave del campo vectorial complejo no resoluble de Hans Lewy . Se puede empezar con el campo vectorial antiholomórfico en el grupo de Heisenberg dado por ${\displaystyle {\overline {L}}}$

${\displaystyle {\overline {L}}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z}}}}-\imath z{\frac {\partial }{\partial t}},\qquad (z,t)\in \mathbb {C} \times \mathbb {R} ,\imath ={\sqrt {-1}}.}$

El campo vectorial definido anteriormente tiene dos primeras integrales linealmente independientes, es decir, hay dos soluciones para la ecuación homogénea.

${\displaystyle {\overline {L}}Z_{i}=0,i=1,2,\qquad Z_{1}=z,Z_{2}=t+\imath |z|^{2},dZ_{1}\wedge dZ_{2}\not =0.}$

Como estamos en dimensión real tres la condición de integrabilidad formal es simplemente,

${\displaystyle \left[{\overline {L}},{\overline {L}}\right]=0}$

que es automático. Observe que la forma de Levi es estrictamente definida positiva, ya que un cálculo simple da como resultado:

${\displaystyle \left[{\overline {L}},L\right]=2i{\frac {\partial }{\partial t}},}$

donde el campo vectorial holomórfico L viene dado por,

${\displaystyle L={\frac {\partial }{\partial z}}+\imath {\overline {z}}{\frac {\partial }{\partial t}}.}$

Las primeras integrales que son linealmente independientes nos permiten realizar la estructura CR como un gráfico dado por ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle (z,t)\to (z,t+\imath |z|^{2})}$

La estructura CR se ve entonces como nada más que la restricción de la estructura compleja de al gráfico. Nirenberg construye un único campo vectorial complejo no nulo definido en un entorno del origen en Luego demuestra que si , entonces tiene que ser una constante. Por lo tanto, el campo vectorial no tiene primeras integrales. El campo vectorial se crea a partir del campo vectorial antiholomórfico para el grupo de Heisenberg mostrado arriba perturbándolo con una función compleja suave como se muestra a continuación: ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$ ${\displaystyle P,}$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle Pu=0}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle P={\overline {L}}+\phi (z,{\overline {z}},t){\frac {\partial }{\partial t}}}$

Por lo tanto, este nuevo campo vectorial P, no tiene otras integrales primeras que constantes y, por lo tanto, no es posible realizar esta estructura CR perturbada de ninguna manera como un gráfico en ningún El trabajo de L. Nirenberg ha sido extendido a un resultado genérico por Howard Jacobowitz y François Trèves . ^[22] En la dimensión real 9 y superior, la incrustación local de estructuras CR estrictamente pseudoconvexas abstractas es verdadera por el trabajo de Masatake Kuranishi y en la dimensión real 7 por el trabajo de Akahori ^[23] Una presentación simplificada de la prueba de Kuranishi se debe a Webster. ^[24] ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}.}$

El problema de la incrustación local permanece abierto en la dimensión real 5.

Ideales característicos

El complejo tangencial de Cauchy-Riemann (Laplaciano de Kohn, complejo de Kohn-Rossi)

En primer lugar, es necesario definir un operador de co-límite . Para las variedades CR que surgen como límites de variedades complejas, se puede considerar este operador como la restricción de desde el interior hasta el límite. El subíndice b es para recordarnos que estamos en el límite. El operador de co-límite toma formas (0, p) a formas (0, p+1). Incluso se puede definir el operador de co-límite para una variedad CR abstracta incluso si no es el límite de una variedad compleja. Esto se puede hacer utilizando la conexión de Webster. ^[25] El operador de co-límite forma un complejo, es decir . Este complejo se llama complejo tangencial de Cauchy-Riemann o complejo de Kohn-Rossi. La investigación de este complejo y el estudio de los grupos de cohomología de este complejo se realizó en un artículo fundamental de Joseph J. Kohn y Hugo Rossi. ^[26] ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial }}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}\circ {\overline {\partial _{b}}}=0}$

Asociado al complejo CR tangencial se encuentra un objeto fundamental en la geometría CR y en varias variables complejas, el laplaciano de Kohn. Se define como:

${\displaystyle \Box _{b}={\overline {\partial _{b}}}{\overline {\partial _{b}}}^{\star }+{\overline {\partial _{b}}}^{\star }{\overline {\partial _{b}}}}$

Aquí denota el adjunto formal de con respecto a donde la forma de volumen puede derivarse de una forma de contacto que está asociada a la estructura CR. Véase, por ejemplo, el artículo de JM Lee en la revista American J. mencionado más abajo. Nótese que el laplaciano de Kohn toma formas (0, p) a formas (0, p). Las funciones que son aniquiladas por el laplaciano de Kohn se denominan funciones CR. Son los análogos de contorno de las funciones holomorfas . Las partes reales de las funciones CR se denominan funciones pluriarmónicas CR. El laplaciano de Kohn es un operador formalmente autoadjunto no negativo. Es degenerado y tiene un conjunto característico donde su símbolo se desvanece. En una variedad CR abstracta, compacta y fuertemente pseudoconvexa, tiene valores propios positivos discretos que van al infinito y también se aproximan a cero. El núcleo consta de las funciones CR y, por lo tanto, es de dimensión infinita. Si los valores propios positivos del laplaciano de Kohn están limitados por debajo por una constante positiva, entonces el laplaciano de Kohn tiene un rango cerrado y viceversa. Por lo tanto, para las estructuras CR embebidas que utilizan el resultado de Kohn indicado anteriormente, concluimos que la estructura CR compacta que es fuertemente pseudoconvexa está embebida si y solo si el laplaciano de Kohn tiene valores propios positivos que están limitados por debajo por una constante positiva. El laplaciano de Kohn siempre tiene el valor propio cero correspondiente a las funciones CR. ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle L^{2}(M)}$ ${\displaystyle \Box _{b}}$

Se han obtenido estimaciones para y en varios espacios funcionales en varios contextos. Estas estimaciones son más fáciles de derivar cuando la variedad es fuertemente pseudoconvexa, ya que entonces se puede reemplazar la variedad osculándola a un orden suficientemente alto con el grupo de Heisenberg. Luego, utilizando la propiedad de grupo y la estructura de convolución correspondiente del grupo de Heisenberg, se pueden escribir inversas/paramétricas o paramétricas relativas a . ^[27] ${\displaystyle \Box _{b}}$ ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle \Box _{b}}$

Se puede proporcionar un ejemplo concreto del operador en el grupo de Heisenberg. Consideremos el grupo general de Heisenberg y los campos vectoriales antiholomorfos que también son invariantes por la izquierda del grupo. ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\overline {L}}_{j}={\frac {\partial }{\partial {\overline {z_{j}}}}}-\imath z_{j}{\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n,(z_{1},z_{2},\ldots ,z_{n})\in \mathbb {C} ^{n},t\in \mathbb {R} .}$

Entonces para una función u tenemos la forma (0,1) ${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle \omega ={\overline {\partial _{b}}}u=\sum _{j=1}^{n}{\overline {L_{j}}}u\ d{\overline {z_{j}}}.}$

Dado que se desvanece en las funciones, también tenemos la siguiente fórmula para el Laplaciano de Kohn para funciones en el grupo de Heisenberg: ${\displaystyle {\overline {\partial _{b}}}^{\star }}$

${\displaystyle \Box _{b}=-\sum _{j=1}^{n}L_{j}{\overline {L_{j}}}}$

dónde

${\displaystyle L_{j}={\frac {\partial }{\partial z_{j}}}+\imath {\overline {z_{j}}}{\frac {\partial }{\partial t}},}$

son los campos vectoriales holomorfos invariantes por la izquierda del grupo de Heisenberg. La expresión para el laplaciano de Kohn anterior se puede reescribir de la siguiente manera. Primero se comprueba fácilmente que

${\displaystyle [L_{j},{\overline {L_{j}}}]=-2\imath T,T={\frac {\partial }{\partial t}},j=1,2,\ldots ,n}$

Así pues, mediante un cálculo elemental tenemos:

${\displaystyle \Box _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})+\imath nT}$

El primer operador de la derecha es un operador real y, de hecho, es la parte real del laplaciano de Kohn. Se le llama sublaplaciano. Es un ejemplo primario de lo que se llama operador de suma de cuadrados de Hörmander . ^{[28] [29]} Obviamente, es no negativo, como se puede ver a través de una integración por partes. Algunos autores definen el sublaplaciano con un signo opuesto. En nuestro caso tenemos específicamente:

${\displaystyle \Delta _{b}=-{\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{n}(L_{j}{\overline {L_{j}}}+{\overline {L_{j}}}L_{j})}$

donde el símbolo es el símbolo tradicional del sub-Laplaciano. ${\displaystyle \Delta _{b}}$

${\displaystyle \Box _{b}=\Delta _{b}+\imath nT}$

Ejemplos

El ejemplo canónico de una variedad CR compacta es la esfera real como subvariedad de . El fibrado descrito anteriormente está dado por ${\displaystyle 2n+1}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\mathbb {C} TS^{2n+1}\cap T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$

donde es el fibrado de vectores holomorfos. La forma real de esto está dada por , el fibrado dado en un punto concretamente en términos de la estructura compleja, , en por ${\displaystyle T^{1,0}\mathbb {C} ^{n+1}}$ ${\displaystyle P=\Re (L\oplus {\bar {L}})}$ ${\displaystyle p\in S^{2n+1}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n+1}}$

${\displaystyle P_{p}=\{X\in T_{p}S^{2n+1}:IX\in T_{p}S^{2n+1}\subset T_{p}\mathbb {C} ^{n+1}\},}$

y la estructura casi compleja en es solo la restricción de . La Esfera es un ejemplo de una variedad CR con curvatura Webster positiva constante y que tiene torsión Webster cero. El grupo de Heisenberg es un ejemplo de una variedad CR no compacta con torsión Webster cero y curvatura Webster cero. El fibrado de círculos unitarios sobre superficies compactas de Riemann con género estrictamente mayor que 1 también proporciona ejemplos de variedades CR que son fuertemente pseudoconvexas y tienen torsión Webster cero y curvatura Webster negativa constante. Estos espacios se pueden usar como espacios de comparación para estudiar geodésicas y teoremas de comparación de volumen en variedades CR con torsión Webster cero similar al teorema de comparación HE Rauch en geometría de Riemann. ^[30] ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle I}$

En los últimos años, también se han estudiado otros aspectos del análisis en el grupo de Heisenberg, como las superficies mínimas en el grupo de Heisenberg, el problema de Bernstein en el grupo de Heisenberg y los flujos de curvatura. ^[31]

Véase también

• Eugenio Elia Levi
• Pseudoconvexidad

Notas

1. Lempert, László (1997). "Espacios de variedades de Cauchy-Riemann". Estudios avanzados en matemáticas puras . CR-Geometría y sistemas sobredeterminados. 25 : 221–236. doi : 10.2969/aspm/02510221 . ISBN. 978-4-931469-75-4.
2. "Mathematical Sciences Research Institute - CR Geometry: Complex Analysis Meets Real Geometry and Number Theory" (Instituto de Investigación en Ciencias Matemáticas - CR Geometría: Análisis complejo se encuentra con la geometría real y la teoría de números). secure.msri.org . Archivado desde el original el 26 de marzo de 2012 . Consultado el 12 de enero de 2022 .
3. Véase Levi 909 página 207: la forma de Levi es la forma diferencial asociada al operador diferencial C , según la notación de Levi.
4. Ohsawa, Takeo (1984). "Realización global de variedades CR fuertemente pseudoconvexas". Publicaciones del Instituto de Investigación de Ciencias Matemáticas . 20 (3): 599–605. doi : 10.2977/PRIMS/1195181413 .
5. Tanaka, N. (1975). "Un estudio geométrico diferencial sobre variedades fuertemente pseudoconvexas" (PDF) . Lecciones de matemáticas, Universidad de Kioto . 9. Tokio: Kinokuniya Book Store. hdl :2433/84914.
6. Lee, John M. (1988). "Estructuras pseudo-Einstein en variedades CR". American Journal of Mathematics . 110 (1): 157–178. doi :10.2307/2374543. JSTOR  2374543.
7. Webster, Sidney M. (1978). "Estructuras pseudohermíticas en una hipersuperficie real". Journal of Differential Geometry . 13 : 25–41. doi : 10.4310/jdg/1214434345 .
8. Boutet de Monvel, Luis (1974). "Integración de ecuaciones Cauchy-Riemann induites formelle". Seminario Ecuaciones Aux Derivees Partielles . 9 . Escuela Politécnica: 1–13. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2014 . Consultado el 28 de diciembre de 2014 .
9. Chen, S.-C.; Shaw, Mei-Chi (2001). Ecuaciones diferenciales parciales en varias variables complejas . Vol. 19, AMS/IP Estudios en Matemáticas Avanzadas. Providence, RI: AMS.
10. Andreotti, Aldo; Siu, Yum Tong (1970). "Incrustación proyectiva de espacios pseudocóncavos". Norma Annali della Scuola. Sorber. Pisa, Clases de ciencias . 24 (5): 231–278. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2014 . Consultado el 28 de diciembre de 2014 .
11. Kohn, Joseph J. (1986). "El rango del operador tangencial de Cauchy-Riemann". Duke Mathematical Journal . 53 (2): 525–545. doi :10.1215/S0012-7094-86-05330-5.
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13. Lichnerowicz, André (1958). Géométrie des Groupes de transformaciones . París: Dunod. OCLC  1212521.
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