Louis Nirenberg (28 de febrero de 1925 – 26 de enero de 2020) fue un matemático canadiense-estadounidense , considerado uno de los matemáticos más destacados del siglo XX. [2] [3]
Casi todo su trabajo se centró en el campo de las ecuaciones diferenciales parciales . Muchas de sus contribuciones se consideran hoy fundamentales en este campo, como su principio del máximo fuerte para ecuaciones diferenciales parciales parabólicas de segundo orden y el teorema de Newlander-Nirenberg en geometría compleja . Se le considera una figura fundamental en el campo del análisis geométrico , y muchos de sus trabajos están estrechamente relacionados con el estudio del análisis complejo y la geometría diferencial . [4]
Nirenberg nació en Hamilton, Ontario , hijo de inmigrantes judíos ucranianos . Asistió a la escuela secundaria Baron Byng y a la Universidad McGill , donde completó su licenciatura en matemáticas y física en 1945. A través de un trabajo de verano en el Consejo Nacional de Investigación de Canadá , conoció a la esposa de Ernest Courant , Sara Paul. Ella habló con el padre de Courant, el eminente matemático Richard Courant , para pedirle consejo sobre dónde debería postularse Nirenberg para estudiar física teórica. Después de su discusión, Nirenberg fue invitado a ingresar a la escuela de posgrado en el Instituto Courant de Ciencias Matemáticas de la Universidad de Nueva York . En 1949, obtuvo su doctorado en matemáticas, bajo la dirección de James Stoker . En su trabajo de doctorado, resolvió el "problema de Weyl" en geometría diferencial , que había sido un problema abierto bien conocido desde 1916.
Tras su doctorado, se convirtió en profesor del Instituto Courant, donde permaneció durante el resto de su carrera. Fue asesor de 45 estudiantes de doctorado y publicó más de 150 artículos con varios coautores, incluidas colaboraciones notables con Henri Berestycki , Haïm Brezis , Luis Caffarelli y Yanyan Li , entre muchos otros. Continuó realizando investigaciones matemáticas hasta los 87 años. El 26 de enero de 2020, Nirenberg murió a la edad de 94 años. [5] [6] [7]
El trabajo de Nirenberg fue ampliamente reconocido, incluidos los siguientes premios y honores:
Nirenberg es especialmente conocido por su colaboración con Shmuel Agmon y Avron Douglis en la que extendieron la teoría de Schauder , como se entendía previamente para ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden, al contexto general de los sistemas elípticos. Con Basilis Gidas y Wei-Ming Ni hizo usos innovadores del principio del máximo para demostrar la simetría de muchas soluciones de ecuaciones diferenciales. El estudio del espacio de funciones BMO fue iniciado por Nirenberg y Fritz John en 1961; si bien fue introducido originalmente por John en el estudio de materiales elásticos , también se ha aplicado a juegos de azar conocidos como martingalas . [18] Su trabajo de 1982 con Luis Caffarelli y Robert Kohn hizo una contribución seminal a la existencia y suavidad de Navier-Stokes , en el campo de la mecánica de fluidos matemática .
Otros logros incluyen la resolución del problema de Minkowski en dos dimensiones, la desigualdad de interpolación de Gagliardo-Nirenberg , el teorema de Newlander-Nirenberg en geometría compleja y el desarrollo de operadores pseudodiferenciales con Joseph Kohn .
Las ecuaciones de Navier-Stokes se desarrollaron a principios del siglo XIX para modelar la física de la mecánica de fluidos . Jean Leray , en un logro seminal en la década de 1930, formuló una noción influyente de solución débil para las ecuaciones y demostró su existencia. [19] Su trabajo fue posteriormente aplicado en el contexto de un problema de valor límite por Eberhard Hopf . [20]
Un gran avance llegó con el trabajo de Vladimir Scheffer en la década de 1970. Demostró que si una solución suave de las ecuaciones de Navier-Stokes se acerca a un tiempo singular, entonces la solución puede extenderse continuamente al tiempo singular lejos de, en términos generales, una curva en el espacio. [21] Sin hacer tal suposición condicional sobre la suavidad, estableció la existencia de soluciones de Leray-Hopf que son suaves lejos de una superficie bidimensional en el espacio-tiempo. [22] Tales resultados se conocen como "regularidad parcial". Poco después, Luis Caffarelli , Robert Kohn y Nirenberg localizaron y agudizaron el análisis de Scheffer. [CKN82] La herramienta clave del análisis de Scheffer fue una desigualdad de energía que proporciona un control integral localizado de las soluciones. No se satisface automáticamente con las soluciones de Leray-Hopf, pero Scheffer y Caffarelli-Kohn-Nirenberg establecieron teoremas de existencia para soluciones que satisfacen tales desigualdades. Con este control "a priori" como punto de partida, Caffarelli−Kohn−Nirenberg pudieron demostrar un resultado puramente local sobre la suavidad lejos de una curva en el espacio-tiempo, mejorando la regularidad parcial de Scheffer.
Resultados similares fueron encontrados posteriormente por Michael Struwe , y una versión simplificada del análisis de Caffarelli−Kohn−Nirenberg fue encontrada posteriormente por Fang-Hua Lin . [23] [24] En 2014, la American Mathematical Society reconoció el artículo de Caffarelli−Kohn−Nirenberg con el Premio Steele por Contribución Seminal a la Investigación , diciendo que su trabajo era un "hito" que proporcionaba una "fuente de inspiración para una generación de matemáticos". El análisis posterior de la teoría de regularidad de las ecuaciones de Navier−Stokes es, a partir de 2021, un problema abierto bien conocido .
En la década de 1930, Charles Morrey encontró la teoría básica de regularidad de ecuaciones diferenciales parciales elípticas cuasilineales para funciones en dominios bidimensionales. [25] Nirenberg, como parte de su tesis doctoral, extendió los resultados de Morrey al contexto de ecuaciones elípticas completamente no lineales. [N53a] Los trabajos de Morrey y Nirenberg hicieron un uso extensivo de la bidimensionalidad, y la comprensión de ecuaciones elípticas con dominios de dimensiones superiores fue un problema abierto pendiente.
La ecuación de Monge-Ampère , en la forma de prescribir el determinante del hessiano de una función, es uno de los ejemplos estándar de una ecuación elíptica completamente no lineal. En una conferencia invitada en el Congreso Internacional de Matemáticos de 1974 , Nirenberg anunció los resultados obtenidos con Eugenio Calabi sobre el problema de valor en la frontera para la ecuación de Monge-Ampère, basado en estimaciones de regularidad en la frontera y un método de continuidad . [26] Sin embargo, pronto se dieron cuenta de que sus pruebas estaban incompletas. [26] En 1977, Shiu-Yuen Cheng y Shing-Tung Yau resolvieron la existencia y regularidad interior para la ecuación de Monge-Ampère , mostrando en particular que si el determinante del hessiano de una función es suave, entonces la función misma debe ser suave también. [27] Su trabajo se basó en la relación a través de la transformada de Legendre con el problema de Minkowski , que habían resuelto previamente mediante estimaciones geométricas diferenciales. [28] En particular, su trabajo no hizo uso de la regularidad de los límites y sus resultados dejaron esas cuestiones sin resolver.
En colaboración con Luis Caffarelli y Joel Spruck , Nirenberg resolvió tales cuestiones, estableciendo directamente la regularidad en el límite y usándola para construir un enfoque directo a la ecuación de Monge−Ampère basado en el método de continuidad. [CNS84] Calabi y Nirenberg habían demostrado exitosamente el control uniforme de las dos primeras derivadas; la clave para el método de continuidad es la continuidad uniforme más poderosa de Hölder de las segundas derivadas. Caffarelli, Nirenberg y Spruck establecieron una versión delicada de esto a lo largo del límite, [29] que pudieron establecer como suficiente usando las estimaciones de la tercera derivada de Calabi en el interior. [30] Con Joseph Kohn , encontraron resultados análogos en el contexto de la compleja ecuación de Monge−Ampère. [C+85] En tales situaciones generales, la teoría de Evans−Krylov [29] es una herramienta más flexible que los cálculos basados en computación de Calabi.
Caffarelli, Nirenberg y Spruck pudieron extender sus métodos a clases más generales de ecuaciones diferenciales parciales elípticas completamente no lineales, en las que se estudian funciones para las que se prescriben ciertas relaciones entre los valores propios del hessiano. [CNS85] Como caso particular de su nueva clase de ecuaciones, pudieron resolver parcialmente el problema del valor límite para lagrangianos especiales .
El trabajo más famoso de Nirenberg de la década de 1950 trata sobre la "regularidad elíptica". Con Avron Douglis, Nirenberg extendió las estimaciones de Schauder , descubiertas en la década de 1930 en el contexto de ecuaciones elípticas de segundo orden, a sistemas elípticos generales de orden arbitrario. [DN55] En colaboración con Shmuel Agmon y Douglis, Nirenberg demostró la regularidad en el límite para ecuaciones elípticas de orden arbitrario. [ADN59] Más tarde extendieron sus resultados a sistemas elípticos de orden arbitrario. [ADN64] Con Morrey, Nirenberg demostró que las soluciones de sistemas elípticos con coeficientes analíticos son en sí mismas analíticas, extendiéndose al límite de trabajos conocidos anteriormente. [MN57] Estas contribuciones a la regularidad elíptica ahora se consideran parte de un "paquete estándar" de información y se tratan en muchos libros de texto. Las estimaciones de Douglis−Nirenberg y Agmon−Douglis−Nirenberg, en particular, se encuentran entre las herramientas más utilizadas en ecuaciones diferenciales parciales elípticas. [31]
Junto con Yanyan Li , e inspirados en los materiales compuestos en la teoría de la elasticidad, Nirenberg estudió sistemas elípticos lineales en los que los coeficientes son continuos en el sentido de Hölder en el interior pero posiblemente discontinuos en el límite. Su resultado es que el gradiente de la solución es continuo en el sentido de Hölder, con una estimación de L ∞ para el gradiente que es independiente de la distancia desde el límite. [LN03]
En el caso de las funciones armónicas , el principio de máximo se conocía en el siglo XIX y fue utilizado por Carl Friedrich Gauss . [32] [33] A principios del siglo XX, Sergei Bernstein , Leon Lichtenstein y Émile Picard encontraron extensiones complicadas para ecuaciones diferenciales parciales elípticas generales de segundo orden; no fue hasta la década de 1920 que Eberhard Hopf encontró la prueba moderna simple . [34] En uno de sus primeros trabajos, Nirenberg adaptó la prueba de Hopf a ecuaciones diferenciales parciales parabólicas de segundo orden , estableciendo así el principio de máximo fuerte en ese contexto. [N53b] Al igual que en el trabajo anterior, dicho resultado tenía varios teoremas de unicidad y comparación como corolarios. El trabajo de Nirenberg ahora se considera uno de los fundamentos del campo de las ecuaciones diferenciales parciales parabólicas y es omnipresente en los libros de texto estándar. [35] [36] [37] [38] [39] [40]
En la década de 1950, AD Alexandrov introdujo un elegante método de reflexión de "plano móvil", que utilizó como contexto para aplicar el principio del máximo para caracterizar la esfera estándar como la única hipersuperficie cerrada del espacio euclidiano con curvatura media constante . En 1971, James Serrin utilizó la técnica de Alexandrov para demostrar que las soluciones altamente simétricas de ciertas ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden deben apoyarse en dominios simétricos. Nirenberg se dio cuenta de que el trabajo de Serrin podía reformularse para demostrar que las soluciones de ecuaciones diferenciales parciales elípticas de segundo orden heredan simetrías de su dominio y de la ecuación misma. Tales resultados no se cumplen automáticamente, y no es trivial identificar qué características especiales de un problema dado son relevantes. Por ejemplo, hay muchas funciones armónicas en el espacio euclidiano que no son rotacionalmente simétricas, a pesar de la simetría rotacional del laplaciano y del espacio euclidiano.
Los primeros resultados de Nirenberg sobre este problema se obtuvieron en colaboración con Basilis Gidas y Wei-Ming Ni . Desarrollaron una forma precisa de la técnica de Alexandrov y Serrin, aplicable incluso a ecuaciones elípticas y parabólicas completamente no lineales. [GNN79] En un trabajo posterior, desarrollaron una versión del lema de Hopf aplicable en dominios no acotados, mejorando así su trabajo en el caso de ecuaciones en tales dominios. [GNN81] Sus principales aplicaciones tratan con la simetría rotacional. Debido a estos resultados, en muchos casos de interés geométrico o físico, es suficiente estudiar ecuaciones diferenciales ordinarias en lugar de ecuaciones diferenciales parciales.
Más tarde, con Henri Berestycki , Nirenberg utilizó la estimación de Alexandrov−Bakelman−Pucci [29] para mejorar y modificar los métodos de Gidas−Ni−Nirenberg, reduciendo significativamente la necesidad de asumir regularidad del dominio. [BN91a] En un resultado importante con Srinivasa Varadhan , Berestycki y Nirenberg continuaron el estudio de dominios sin regularidad asumida. Para operadores lineales, relacionaron la validez del principio de máximo con la positividad de un primer valor propio y la existencia de una primera función propia. [BNV94] Con Luis Caffarelli , Berestycki y Nirenberg aplicaron sus resultados a la simetría de funciones en dominios cilíndricos. [BCN96] Obtuvieron en particular una resolución parcial de una conocida conjetura de Ennio De Giorgi sobre simetría traslacional, que luego se resolvió por completo en la tesis doctoral de Ovidiu Savin . [BCN97b] [41] [42] Aplicaron además su método para obtener fenómenos cualitativos en dominios generales no acotados, ampliando trabajos anteriores de Maria Esteban y Pierre-Louis Lions . [BCN97a]
Nirenberg y Emilio Gagliardo demostraron de forma independiente desigualdades fundamentales para espacios de Sobolev , ahora conocidas como desigualdad de Gagliardo–Nirenberg–Sobolev y desigualdades de interpolación de Gagliardo–Nirenberg . [N59] Se utilizan de forma ubicua en toda la literatura sobre ecuaciones diferenciales parciales; como tal, ha sido de gran interés extenderlas y adaptarlas a diversas situaciones. El propio Nirenberg aclararía más tarde los posibles exponentes que pueden aparecer en la desigualdad de interpolación. [N66] Con Luis Caffarelli y Robert Kohn , Nirenberg establecería desigualdades correspondientes para ciertas normas ponderadas. [CKN84] Las normas de Caffarelli, Kohn y Nirenberg fueron investigadas más a fondo en el notable trabajo de Florin Catrina y Zhi-Qiang Wang. [43]
Inmediatamente después de la introducción de Fritz John del espacio de funciones de oscilación media acotada (BMO) en la teoría de la elasticidad , él y Nirenberg realizaron un estudio adicional del espacio, demostrando en particular la "desigualdad de John-Nirenberg", que restringe el tamaño del conjunto en el que una función BMO está lejos de su valor promedio. [JN61] Su trabajo, que es una aplicación de la descomposición de Calderón-Zygmund , se ha convertido en parte de la literatura matemática estándar. Las exposiciones están contenidas en libros de texto estándar sobre probabilidad, [44] análisis complejo, [45] análisis armónico, [46] análisis de Fourier, [47] y ecuaciones diferenciales parciales. [29] Entre otras aplicaciones, es particularmente fundamental para la desigualdad de Harnack de Jürgen Moser y el trabajo posterior. [48] [49] [29]
La desigualdad de John−Nirenberg y los fundamentos más generales de la teoría BMO fueron elaborados por Nirenberg y Haïm Brézis en el contexto de mapas entre variedades de Riemann . [BN95] Entre otros resultados, pudieron establecer que los mapas suaves que están cerca en la norma BMO tienen el mismo grado topológico y, por lo tanto, ese grado puede definirse de manera significativa para aplicaciones de oscilación media evanescente (VMO) .
En el contexto de los espacios vectoriales topológicos , Ky Fan desarrolló un teorema minimax con aplicaciones en la teoría de juegos . [50] [51] Con Haïm Brezis y Guido Stampacchia , Nirenberg derivó resultados que extendían tanto la teoría de Fan como la generalización de Stampacchia del teorema de Lax-Milgram . [BNS72] [52] Su trabajo tiene aplicaciones en el tema de las desigualdades variacionales . [53]
Al adaptar la energía de Dirichlet , es estándar reconocer soluciones de ciertas ecuaciones de onda como puntos críticos de funcionales. Con Brezis y Jean-Michel Coron , Nirenberg encontró un funcional novedoso cuyos puntos críticos se pueden usar directamente para construir soluciones de ecuaciones de onda. [BCN80] Pudieron aplicar el teorema del paso de montaña a su nuevo funcional, estableciendo así la existencia de soluciones periódicas de ciertas ecuaciones de onda, extendiendo un resultado de Paul Rabinowitz . [54] Parte de su trabajo implicó pequeñas extensiones del teorema estándar del paso de montaña y la condición de Palais-Smale , que se han vuelto estándar en los libros de texto. [55] [56] [57] En 1991, Brezis y Nirenberg mostraron cómo el principio variacional de Ekeland podía aplicarse para extender el teorema del paso de montaña, con el efecto de que se pueden encontrar puntos casi críticos sin requerir la condición de Palais−Smale. [BN91b] [57]
Una contribución fundamental de Brezis y Nirenberg a la teoría del punto crítico se ocupó de los minimizadores locales. [BN93] En principio, la elección del espacio de funciones es muy relevante, y una función podría minimizarse entre funciones suaves sin minimizarse entre la clase más amplia de funciones de Sobolev . Haciendo uso de un resultado de regularidad anterior de Brezis y Tosio Kato , Brezis y Nirenberg descartaron tales fenómenos para una cierta clase de funcionales de tipo Dirichlet . [58] Su trabajo fue ampliado posteriormente por Jesús García Azorero, Juan Manfredi e Ireneo Peral. [59]
En uno de los artículos más citados de Nirenberg, él y Brézis estudiaron el problema de Dirichlet para ecuaciones de tipo Yamabe en espacios euclidianos, siguiendo parte del trabajo de Thierry Aubin sobre el problema de Yamabe . [BN83] Con Berestycki e Italo Capuzzo-Dolcetta, Nirenberg estudió ecuaciones superlineales de tipo Yamabe, obteniendo varios resultados de existencia y no existencia. [BCN94]
Agmon y Nirenberg realizaron un extenso estudio de ecuaciones diferenciales ordinarias en espacios de Banach, relacionando representaciones asintóticas y el comportamiento en el infinito de las soluciones.
a las propiedades espectrales del operador A . Las aplicaciones incluyen el estudio de problemas parabólicos y elíptico-parabólicos bastante generales. [AN63]
Brezis y Nirenberg realizaron un estudio de la teoría de perturbaciones no lineales de transformaciones no invertibles entre espacios de Hilbert; las aplicaciones incluyen resultados de existencia para soluciones periódicas de algunas ecuaciones de onda semilineales. [BN78a] [BN78b]
En el trabajo de John Nash sobre el problema de incrustación isométrica , el paso clave es un pequeño resultado de perturbación, que recuerda mucho a un teorema de función implícita ; su prueba utilizó una nueva combinación del método de Newton (en una forma infinitesimal) con operadores de suavizado. [60] Nirenberg fue uno de los muchos matemáticos que pusieron las ideas de Nash en marcos sistemáticos y abstractos, conocidos como teoremas de Nash-Moser . La formulación de Nirenberg es particularmente simple, aislando las ideas analíticas básicas subyacentes al análisis de la mayoría de los esquemas de iteración de Nash-Moser. [N72] Dentro de un marco similar, demostró una forma abstracta del teorema de Cauchy-Kowalevski , como un caso particular de un teorema sobre la solubilidad de ecuaciones diferenciales ordinarias en familias de espacios de Banach . [N72] Su trabajo fue simplificado más tarde por Takaaki Nishida y utilizado en un análisis de la ecuación de Boltzmann . [61] [62]
Haciendo uso de su trabajo sobre ecuaciones elípticas completamente no lineales [N53a] , la tesis doctoral de Nirenberg proporcionó una resolución del problema de Weyl y el problema de Minkowski en el campo de la geometría diferencial . [N53c] El primero solicita la existencia de incrustaciones isométricas de métricas de Riemann con curvatura positiva en la esfera bidimensional en el espacio euclidiano tridimensional , mientras que el segundo solicita superficies cerradas en el espacio euclidiano tridimensional para las que el mapa de Gauss prescribe la curvatura gaussiana . La clave es que la "ecuación de Darboux" de la teoría de superficies es del tipo Monge-Ampère, de modo que la teoría de regularidad de Nirenberg se vuelve útil en el método de continuidad . Los conocidos teoremas de incrustación isométrica de John Nash , establecidos poco después, no tienen relación aparente con el problema de Weyl, que trata simultáneamente con incrustaciones de alta regularidad y baja codimensión. [63] [60] El trabajo de Nirenberg sobre el problema de Minkowski fue extendido a configuraciones riemannianas por Aleksei Pogorelov . En dimensiones superiores, el problema de Minkowski fue resuelto por Shiu-Yuen Cheng y Shing-Tung Yau . [28] Otros enfoques para el problema de Minkowski se han desarrollado a partir de las contribuciones fundamentales de Caffarelli, Nirenberg y Spruck a la teoría de ecuaciones elípticas no lineales. [CNS85]
En uno de sus pocos artículos no centrados en el análisis , Nirenberg y Philip Hartman caracterizaron los cilindros en el espacio euclidiano como las únicas hipersuperficies completas que son intrínsecamente planas. [HN59] Esto también puede verse como la resolución de una cuestión sobre la incrustación isométrica de variedades planas como hipersuperficies. Tales cuestiones y generalizaciones naturales fueron retomadas posteriormente por Cheng, Yau y Harold Rosenberg , entre otros. [64] [65]
Respondiendo a una pregunta planteada a Nirenberg por Shiing-Shen Chern y André Weil , Nirenberg y su estudiante de doctorado August Newlander demostraron lo que ahora se conoce como el teorema de Newlander-Nirenberg , que proporciona la condición algebraica precisa bajo la cual surge una estructura casi compleja a partir de un atlas de coordenadas holomorfas. [NN57] El teorema de Newlander-Nirenberg ahora se considera un resultado fundamental en geometría compleja , aunque el resultado en sí es mucho más conocido que la prueba, que generalmente no se cubre en textos introductorios, ya que se basa en métodos avanzados en ecuaciones diferenciales parciales. Nirenberg y Joseph Kohn , siguiendo el trabajo anterior de Kohn, estudiaron el problema ∂ -Neumann en dominios pseudoconvexos y demostraron la relación de la teoría de la regularidad con la existencia de estimaciones subelípticas para el operador ∂ . [KN65b]
El modelo clásico del disco de Poincaré asigna la métrica del espacio hiperbólico a la bola unitaria. Nirenberg y Charles Loewner estudiaron los medios más generales de asignar naturalmente una métrica riemanniana completa a subconjuntos abiertos acotados del espacio euclidiano . [LN74] Los cálculos geométricos muestran que las soluciones de ciertas ecuaciones semilineales de tipo Yamabe se pueden utilizar para definir métricas de curvatura escalar constante, y que la métrica es completa si la solución diverge al infinito cerca del límite. Loewner y Nirenberg establecieron la existencia de tales soluciones en ciertos dominios. De manera similar, estudiaron una cierta ecuación de Monge-Ampère con la propiedad de que, para cualquier solución negativa que se extienda continuamente a cero en el límite, se puede definir una métrica riemanniana completa a través del hessiano. Estas métricas tienen la propiedad especial de invariancia proyectiva, de modo que la transformación proyectiva de un dominio dado a otro se convierte en una isometría de las métricas correspondientes.
Joseph Kohn y Nirenberg introdujeron la noción de operadores pseudo-diferenciales . [KN65a] Nirenberg y François Trèves investigaron el famoso ejemplo de Lewy para una EDP lineal no resoluble de segundo orden, y descubrieron las condiciones bajo las cuales es resoluble, en el contexto tanto de operadores diferenciales parciales como de operadores pseudo-diferenciales. [NT63] [NT70] Su introducción de condiciones de solubilidad local con coeficientes analíticos se ha convertido en un foco de atención para investigadores como R. Beals, C. Fefferman, RD Moyer, Lars Hörmander y Nils Dencker , quienes resolvieron la condición pseudo-diferencial para la ecuación de Lewy. Esto abrió más puertas a la solubilidad local de ecuaciones diferenciales parciales lineales.
Libros y encuestas.
Artículos.
