Colector plano

En matemáticas , se dice que una variedad de Riemann es plana si su tensor de curvatura de Riemann es cero en todas partes. Intuitivamente, una variedad plana es aquella que "se parece localmente" al espacio euclidiano en términos de distancias y ángulos, por ejemplo, los ángulos interiores de un triángulo suman 180°.

La cobertura universal de una variedad plana completa es el espacio euclidiano. Esto se puede utilizar para demostrar el teorema de Bieberbach (1911, 1912) de que todas las variedades planas compactas están cubiertas finitamente por toros; el caso tridimensional fue demostrado anteriormente por Schoenflies (1891).

Ejemplos

Las siguientes variedades pueden estar dotadas de una métrica plana. Nótese que ésta puede no ser su métrica "estándar" (por ejemplo, la métrica plana en el toro bidimensional no es la métrica inducida por su incrustación habitual en ). ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Dimensión 1

Toda variedad riemanniana unidimensional es plana. Por el contrario, dado que toda variedad riemanniana unidimensional conexa y lisa es difeomorfa respecto de o es sencillo ver que toda variedad riemanniana unidimensional conexa es isométrica respecto de una de las siguientes (cada una con su estructura riemanniana estándar): ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle S^{1},}$

• La linea real
• el intervalo abierto para algún número ${\displaystyle (0,x)}$ ${\displaystyle x>0}$
• el intervalo abierto ${\displaystyle (0,\infty )}$
• el círculo de radio para algún número ${\displaystyle \{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:x^{2}+y^{2}=r^{2}\}}$ ${\displaystyle r,}$ ${\displaystyle r>0.}$

Sólo el primero y el último están completos. Si se incluyen las variedades de Riemann con borde, entonces también deben incluirse los intervalos semiabiertos y cerrados.

La simplicidad de una descripción completa en este caso podría atribuirse al hecho de que cada variedad riemanniana unidimensional tiene un campo vectorial de longitud unitaria suave, y que una isometría de uno de los ejemplos de modelos anteriores se proporciona considerando una curva integral.

Dimensión 2

Las cinco posibilidades, hasta el difeomorfismo

Si es una variedad riemanniana plana completa, conexa y bidimensional suave, entonces debe ser difeomorfa a una de ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle M}$

• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$(el plano infinito)
• ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} }$(el cilindro infinito)
• ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$(el toro )
• La banda de Möbius
• La botella de Klein .

Las únicas posibilidades compactas son y la botella Klein, mientras que las únicas posibilidades orientables son y ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}.}$

Se requiere más esfuerzo para describir las distintas métricas planas completas de Riemann en estos espacios. Por ejemplo, los dos factores de pueden tener dos números reales cualesquiera como sus radios. Estas métricas se distinguen entre sí por la relación de sus dos radios, por lo que este espacio tiene infinitas métricas de producto plano diferentes que no son isométricas hasta un factor de escala. Para hablar de manera uniforme sobre las cinco posibilidades, y en particular para trabajar concretamente con la banda de Möbius y la botella de Klein como variedades abstractas, es útil utilizar el lenguaje de las acciones de grupo. ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$

Las cinco posibilidades, hasta la isometría

Dado sea la traslación dada por Sea la reflexión dada por Dados dos números positivos, considere los siguientes subgrupos del grupo de isometrías de con su métrica estándar. ${\displaystyle (x_{0},y_{0})\in \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle T_{(x_{0},y_{0})}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+x_{0},y+y_{0}).}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle (x,y)\mapsto (x,-y).}$ ${\displaystyle a,b,}$ ${\displaystyle \operatorname {Isom} (\mathbb {R} ^{2}),}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

• ${\displaystyle G_{e}=\{T_{(0,0)}\}}$
• ${\displaystyle G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in \mathbb {Z} \}}$proporcionó ${\displaystyle a<b.}$
• ${\displaystyle G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in \mathbb {Z} \}}$
• ${\displaystyle G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in \mathbb {Z} \}\cup \{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in \mathbb {Z} \}}$

Todos estos son grupos que actúan libre y adecuadamente de forma discontinua , por lo que los diversos espacios de clases laterales tienen naturalmente la estructura de variedades de Riemann planas, completas y bidimensionales. Ninguna de ellas es isométrica entre sí, y cualquier variedad de Riemann plana, completa y conexa, suave y bidimensional es isométrica a una de ellas. ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}/G}$

Orbifolds

Hay 17 orbifolds compactos bidimensionales con métrica plana (incluidos el toro y la botella de Klein), enumerados en el artículo sobre orbifolds , que corresponden a los 17 grupos de papel tapiz .

Observaciones

Nótese que la 'imagen' estándar del toro como una rosquilla no lo presenta con una métrica plana, ya que los puntos más alejados del centro tienen curvatura positiva mientras que los puntos más cercanos al centro tienen curvatura negativa. Según la formulación de Kuiper del teorema de incrustación de Nash , hay una incrustación que induce cualquiera de las métricas de producto planas que existen en pero estas no son fácilmente visualizables. Dado que se presenta como una subvariedad incrustada de cualquiera de las estructuras de producto (planas) en se presentan naturalmente como subvariedades de Del mismo modo, las visualizaciones tridimensionales estándar de la botella de Klein no presentan una métrica plana. La construcción estándar de una tira de Möbius, pegando los extremos de una tira de papel, de hecho le da una métrica plana, pero no está completa. ${\displaystyle C^{1}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}\to \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1},}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2},}$ ${\displaystyle S^{1}\times S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\times \mathbb {R} ^{2}=\mathbb {R} ^{4}.}$

Dimensión 3

Hay 6 variedades planas compactas orientables y 4 no orientables de 3 dimensiones, que son todos espacios de fibras de Seifert ; ^[1] son ​​los grupos cocientes de por los 10 grupos cristalográficos libres de torsión . ^[2] También hay 4 espacios no compactos orientables y 4 no orientables. ^[3] ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Orientable

Las 10 variedades planas orientables de 3 vías son: ^[3]

1. Espacio tridimensional euclidiano , . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$
2. El toro de 3 lados , hecho pegando las caras opuestas de un cubo . ${\displaystyle T^{3}}$
3. La variedad formada al pegar las caras opuestas de un cubo con media torsión en un par.
4. La variedad formada al pegar las caras opuestas de un cubo con un giro de 1/4 en un par.
5. La variedad formada al pegar las caras opuestas de un prisma hexagonal con un giro de 1/3 en las caras hexagonales.
6. La variedad formada al pegar caras opuestas de un prisma hexagonal con un giro de 1/6 en las caras hexagonales.
7. La variedad Hantzsche-Wendt .
8. La variedad formada por el espacio entre dos planos paralelos que están pegados entre sí. ${\displaystyle S^{1}\times \mathbb {R} ^{2}}$
9. El colector formado pegando paredes opuestas de una chimenea cuadrada infinita . ${\displaystyle T^{2}\times \mathbb {R} }$
10. El colector formado pegando paredes opuestas de una chimenea cuadrada infinita con media torsión en un par.

No orientable

Las 8 variedades 3-no orientables son: ^[4]

1. El producto cartesiano de un círculo y una botella de Klein . ${\displaystyle S^{1}\times K}$
2. Una variedad similar a la mencionada anteriormente, pero desplazada traslacionalmente en una dirección paralela al plano de deslizamiento ; moviéndose en esta dirección se retorna al lado opuesto de la variedad.
3. Variedad formada al reflejar un punto a través de dos planos de deslizamiento perpendiculares y trasladarlo a lo largo de la tercera dirección.
4. Una variedad similar a la mencionada anteriormente, pero desplazada traslacionalmente en una dirección paralela a un plano de deslizamiento; moviéndose en esta dirección se retorna al lado opuesto de la variedad.
5. El producto cartesiano de un círculo y una banda de Möbius (ilimitada).
6. Variedad formada al trasladar un punto a lo largo de un eje y reflejarlo a través de un plano de deslizamiento perpendicular. ${\displaystyle K\times \mathbb {R} }$
7. Variedad formada al trasladar un punto a lo largo de un eje y reflejarlo a través de un plano de deslizamiento paralelo.
8. La variedad formada al reflejar un punto a través de dos planos de deslizamiento perpendiculares.

Dimensiones superiores

• Espacio euclidiano
• Toros
• Productos de variedades planas
• Cocientes de variedades planas por grupos que actúan libremente.

Relación con la amabilidad

Entre todas las variedades cerradas con curvatura seccional no positiva , las variedades planas se caracterizan precisamente por ser aquellas con un grupo fundamental susceptible de adaptación .

Esto es una consecuencia del teorema de Adams- Ballmann (1998), ^[5] que establece esta caracterización en el contexto mucho más general de los grupos cocompactos discretos de isometrías de espacios de Hadamard . Esto proporciona una generalización de largo alcance del teorema de Bieberbach .

El supuesto de discreción es esencial en el teorema de Adams-Ballmann: de lo contrario, la clasificación debe incluir espacios simétricos , edificios de Bruhat-Tits y árboles de Bass-Serre en vista del teorema de Bieberbach "indiscreto" de Caprace- Monod . ^[6]

Véase también

• Formas espaciales
• Grupo espacial
• Colector plano Ricci
• Colector plano conformado
• Variedad afín

Referencias

Notas

1. Peter Scott , Las geometrías de las 3-variedades. (fe de erratas), Bull. London Math. Soc. 15 (1983), núm. 5, 401–487.
2. Miatello, RJ; Rossetti, JP (29 de octubre de 1999). "Múltiples isoespectrales de Hantzsche-Wendt". Journal für die Reine und Angewandte Mathematik . 1999 (515): 1–23. doi :10.1515/crll.1999.077. ISSN  1435-5345.
3. El universo primitivo y el fondo cósmico de microondas: teoría y observaciones . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. 2003. págs. 166-169. ISBN 978-1-4020-1800-8.
4. Conway, JH; Rossetti, JP (24 de octubre de 2005). "Descripción de los platicomos". arXiv : math/0311476 .
5. Adams, S.; Ballmann, W. (1998). "Grupos de isometría susceptibles de espacios de Hadamard". Math. Ann . 312 (1): 183–195. doi :10.1007/s002080050218. S2CID  15874907.
6. Caprace, P.-E.; Monod, N. (2015). "Un teorema de Bieberbach indiscreto: de grupos CAT(0) dóciles a edificios de Tits". J. École Polytechnique . 2 : 333–383. arXiv : 1502.04583 . doi : 10.5802/jep.26 .

Bibliografía

• Bieberbach, L. (1911), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume I", Mathematische Annalen , 70 (3): 297–336, doi :10.1007/BF01564500, S2CID  124429194.

• Bieberbach, L. (1912), "Über die Bewegungsgruppen der Euklidischen Räume II: Die Gruppen mit einem endlichen Fundamentalbereich", Mathematische Annalen , 72 (3): 400–412, doi :10.1007/BF01456724, S2CID  119472023.

• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de geometría diferencial. Vol. I (reimpresión de la edición original de 1963), Nueva York: John Wiley & Sons, Inc., págs. 209-224, ISBN 0-471-15733-3
• Schoenflies, A. (1891), Kristallsysteme und Kristallstruktur , Teubner.

• Vinberg, EB (2001) [1994], "Grupo cristalográfico", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press

Enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Variedad plana". MathWorld .