En matemáticas , la categoría de espacios topológicos , a menudo denominada Top , es la categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son aplicaciones continuas . Se trata de una categoría porque la composición de dos aplicaciones continuas es, a su vez, continua y la función identidad es continua. El estudio de Top y de las propiedades de los espacios topológicos mediante las técnicas de la teoría de categorías se conoce como topología categórica .
NB Algunos autores utilizan el nombre Top para las categorías con variedades topológicas , con espacios generados de forma compacta como objetos y aplicaciones continuas como morfismos o con la categoría de espacios de Hausdorff débiles generados de forma compacta .
Al igual que muchas categorías, la categoría Top es una categoría concreta , lo que significa que sus objetos son conjuntos con estructura adicional (es decir, topologías) y sus morfismos son funciones que preservan esta estructura. Existe un functor olvidadizo natural
a la categoría de conjuntos que asigna a cada espacio topológico el conjunto subyacente y a cada función continua la función subyacente .
El funtor olvidadizo U tiene tanto un adjunto izquierdo
que dota a un conjunto dado de la topología discreta y un adjunto derecho
que dota a un conjunto dado de la topología indiscreta . Ambos funtores son, de hecho, inversos derechos de U (lo que significa que UD y UI son iguales al funtor identidad en Set ). Además, dado que cualquier función entre espacios discretos o entre espacios indiscretos es continua, ambos funtores dan incrustaciones completas de Set en Top .
Top también es fibra completa, lo que significa que la categoría de todas las topologías en un conjunto dado X (llamada fibra de U sobre X ) forma una red completa cuando se ordena por inclusión . El elemento más grande en esta fibra es la topología discreta en X , mientras que el elemento más pequeño es la topología indiscreta.
Top es el modelo de lo que se denomina una categoría topológica . Estas categorías se caracterizan por el hecho de que cada fuente estructurada tiene una elevación inicial única . En Top, la elevación inicial se obtiene colocando la topología inicial en la fuente. Las categorías topológicas tienen muchas propiedades en común con Top (como la completitud de la fibra, los funtores discretos e indiscretos y la elevación única de los límites).
La categoría Top es completa y cocompleta , lo que significa que todos los límites y colímites pequeños existen en Top . De hecho, el funtor olvidadizo U : Top → Set eleva de manera única tanto los límites como los colímites y los conserva también. Por lo tanto, los (co)límites en Top se dan colocando topologías en los (co)límites correspondientes en Set .
En concreto, si F es un diagrama en Top y ( L , φ : L → F ) es un límite de UF en Set , el límite correspondiente de F en Top se obtiene colocando la topología inicial en ( L , φ : L → F ). Dualmente, los colimites en Top se obtienen colocando la topología final en los colimites correspondientes en Set .
A diferencia de muchas categorías algebraicas , el funtor olvidadizo U : Top → Set no crea ni refleja límites ya que normalmente habrá conos no universales en Top que cubran conos universales en Set .
Algunos ejemplos de límites y colimites en Top incluyen:
