En análisis matemático complejo , un mapeo cuasiconformal , introducido por Grötzsch (1928) y nombrado por Ahlfors (1935), es un homeomorfismo entre dominios planos que, de primer orden, lleva pequeños círculos a pequeñas elipses de excentricidad acotada .
Intuitivamente, sea f : D → D ′ un homeomorfismo que preserva la orientación entre conjuntos abiertos en el plano. Si f es continuamente diferenciable , entonces es K -cuasiconformal si la derivada de f en cada punto asigna círculos a elipses con excentricidad limitada por K.
Supongamos f : D → D ′ donde D y D ′ son dos dominios en C . Hay una variedad de definiciones equivalentes, dependiendo de la suavidad requerida de f . Si se supone que f tiene derivadas parciales continuas , entonces f es cuasiconforme siempre que satisfaga la ecuación de Beltrami
para algunos μ satisfactorios medibles de Lebesgue con valores complejos (Bers 1977). Esta ecuación admite una interpretación geométrica. Equipa D con el tensor métrico.
donde Ω( z ) > 0. Entonces f satisface ( 1 ) precisamente cuando se trata de una transformación conforme de D equipado con esta métrica al dominio D ′ equipado con la métrica euclidiana estándar. La función f se llama entonces μ-conforme . De manera más general, la diferenciabilidad continua de f puede reemplazarse por la condición más débil de que f esté en el espacio de Sobolev W 1,2 ( D ) de funciones cuyas derivadas distributivas de primer orden están en L 2 ( D ) . En este caso, se requiere que f sea una solución débil de ( 1 ). Cuando μ es cero en casi todas partes, cualquier homeomorfismo en W 1,2 ( D ) que sea una solución débil de ( 1 ) es conforme.
Sin recurrir a una métrica auxiliar, considere el efecto del retroceso bajo f de la métrica euclidiana habitual. La métrica resultante viene dada por
que, en relación con la métrica euclidiana de fondo , tiene valores propios
Los valores propios representan, respectivamente, la longitud al cuadrado de los ejes mayor y menor de la elipse obtenidos tirando hacia atrás a lo largo del círculo unitario en el plano tangente.
En consecuencia, la dilatación de f en un punto z está definida por
El supremo (esencial) de K ( z ) viene dado por
y se llama dilatación de f .
Una definición basada en la noción de longitud extrema es la siguiente. Si hay un K finito tal que para cada colección Γ de curvas en D la longitud extrema de Γ es como máximo K veces la longitud extrema de { f o γ : γ ∈ Γ }. Entonces f es K -cuasiconforme.
Si f es K -cuasiconforme para algún K finito , entonces f es cuasiconforme.
Si K > 1 entonces los mapas x + iy ↦ Kx + iy y x + iy ↦ x + iKy son cuasiconformes y tienen dilatación constante K .
Si s > −1 entonces el mapa es cuasiconforme (aquí z es un número complejo ) y tiene dilatación constante . Cuando s ≠ 0, este es un ejemplo de homeomorfismo cuasiconformal que no es suave. Si s = 0, este es simplemente el mapa de identidad.
Un homeomorfismo es 1-cuasiconforme si y sólo si es conforme. Por tanto, el mapa de identidad es siempre 1-cuasiconforme. Si f : D → D ′ es K -cuasiconforme y g : D ′ → D " es K ′ -cuasiconforme, entonces g o f es KK ′-cuasiconforme. El inverso de un homeomorfismo K -cuasiconforme es K -cuasiconformal. El conjunto de mapas 1-cuasiconformes forma un grupo bajo composición.
El espacio de asignaciones K-cuasiconformes del plano complejo a sí mismo que asigna tres puntos distintos a tres puntos dados es compacto.
De importancia central en la teoría de las asignaciones cuasiconformes en dos dimensiones es el teorema de asignación de Riemann medible , demostrado por Lars Ahlfors y Lipman Bers. El teorema generaliza el teorema de mapeo de Riemann desde homeomorfismos conformes a cuasiconformes y se establece de la siguiente manera. Supongamos que D es un dominio simplemente conexo en C que no es igual a C , y supongamos que μ: D → C es medible según Lebesgue y satisface . Entonces hay un homeomorfismo cuasiconformal f de D al disco unitario que está en el espacio de Sobolev W 1,2 ( D ) y satisface la correspondiente ecuación de Beltrami ( 1 ) en el sentido distribucional . Al igual que con el teorema de mapeo de Riemann, esta f es única hasta 3 parámetros reales.
Recientemente, la geometría cuasiconforme ha atraído la atención de diferentes campos, como las matemáticas aplicadas, la visión por computadora y las imágenes médicas. Se ha desarrollado una geometría cuasiconformal computacional, que extiende la teoría cuasiconforme a un entorno discreto. Ha encontrado varias aplicaciones importantes en análisis de imágenes médicas, visión por computadora y gráficos.
