tensor métrico

Estructura que define la distancia en un colector.

En el campo matemático de la geometría diferencial , un tensor métrico (o simplemente métrico ) es una estructura adicional sobre una variedad M (como una superficie ) que permite definir distancias y ángulos, así como el producto interno en un espacio euclidiano permite definir distancias y ángulos allí. Más precisamente, un tensor métrico en un punto p de M es una forma bilineal definida en el espacio tangente en p (es decir, una función bilineal que asigna pares de vectores tangentes a números reales ), y un tensor métrico en M consta de un tensor métrico en cada punto p de M que varía suavemente con p .

Un tensor métrico g es definido positivo si g ( v , v ) > 0 para cada vector v distinto de cero . Una variedad equipada con un tensor métrico definido positivo se conoce como variedad de Riemann . Se puede considerar que un tensor métrico de este tipo especifica una distancia infinitesimal en la variedad. En una variedad de Riemann M , la longitud de una curva suave entre dos puntos p y q se puede definir mediante integración, y la distancia entre p y q se puede definir como el mínimo de las longitudes de todas esas curvas; esto hace que M sea un espacio métrico . Por el contrario, el tensor métrico en sí es la derivada de la función de distancia (tomada de manera adecuada). ^{[ cita necesaria ]}

Si bien la noción de tensor métrico era conocida en cierto sentido por matemáticos como Gauss desde principios del siglo XIX, no fue hasta principios del siglo XX que sus propiedades como tensor fueron comprendidas, en particular, por Gregorio Ricci-Curbastro y Tullio . Levi-Civita , quien codificó por primera vez la noción de tensor. El tensor métrico es un ejemplo de campo tensorial .

Los componentes de un tensor métrico en forma de coordenadas toman la forma de una matriz simétrica cuyas entradas se transforman covariantemente ante cambios en el sistema de coordenadas. Por tanto, un tensor métrico es un tensor simétrico covariante . Desde el punto de vista independiente de las coordenadas , un campo tensor métrico se define como una forma bilineal simétrica no degenerada en cada espacio tangente que varía suavemente de un punto a otro.

Introducción

Carl Friedrich Gauss en sus Disquisitiones generales circa superficies curvas de 1827 consideró una superficie paramétricamente , con las coordenadas cartesianas x , y , z de los puntos de la superficie dependiendo de dos variables auxiliares u y v . Por lo tanto, una superficie paramétrica es (en términos actuales) una función con valores vectoriales.

${\displaystyle {\vec {r}}(u,\,v)={\bigl (}x(u,\,v),\,y(u,\,v),\,z(u,\,v){\bigr )}}$

dependiendo de un par ordenado de variables reales ( u , v ) y definidas en un conjunto abierto D en el plano uv . Uno de los principales objetivos de las investigaciones de Gauss fue deducir aquellas características de la superficie que podrían describirse mediante una función que permanecería sin cambios si la superficie sufriera una transformación en el espacio (como doblar la superficie sin estirarla), o un cambio en la forma paramétrica particular de la misma superficie geométrica.

Una cantidad invariante natural es la longitud de una curva trazada a lo largo de la superficie. Otro es el ángulo entre un par de curvas dibujadas a lo largo de la superficie y que se encuentran en un punto común. Una tercera cantidad es el área de un trozo de superficie. El estudio de estas invariantes de una superficie llevó a Gauss a introducir el predecesor de la noción moderna de tensor métrico.

El tensor métrico se encuentra en la descripción siguiente; E, F y G en la matriz pueden contener cualquier número siempre que la matriz sea definida positiva. ${\textstyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

Longitud de arco

Si se considera que las variables u y v dependen de una tercera variable, t , tomando valores en un intervalo [ a , b ] , entonces r → ( u ( t ), v ( t )) trazará una curva paramétrica en superficie M. _ La longitud del arco de esa curva está dada por la integral

${\displaystyle {\begin{aligned}s&=\int _{a}^{b}\left\|{\frac {d}{dt}}{\vec {r}}(u(t),v(t))\right\|\,dt\\[5pt]&=\int _{a}^{b}{\sqrt {u'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+2u'(t)v'(t)\,{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+v'(t)^{2}\,{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}}}\,dt\,,\end{aligned}}}$

donde representa la norma euclidiana . Aquí se ha aplicado la regla de la cadena y los subíndices denotan derivadas parciales : ${\displaystyle \left\|\cdot \right\|}$

${\displaystyle {\vec {r}}_{u}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial u}}\,,\quad {\vec {r}}_{v}={\frac {\partial {\vec {r}}}{\partial v}}\,.}$

El integrando es la restricción ^[1] a la curva de la raíz cuadrada del diferencial ( cuadrático )

dónde

La cantidad ds en ( 1 ) se llama elemento lineal , mientras que ds ² se llama primera forma fundamental de M. Intuitivamente, representa la parte principal del cuadrado del desplazamiento sufrido por r → ( u , v ) cuando u aumenta en du unidades, y v aumenta en dv unidades.

Usando notación matricial, la primera forma fundamental se convierte en

${\displaystyle ds^{2}={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}}$

Transformaciones de coordenadas

Supongamos ahora que se selecciona una parametrización diferente, permitiendo que u y v dependan de otro par de variables u ′ y v ′ . Entonces el análogo de ( 2 ) para las nuevas variables es

La regla de la cadena relaciona E ′ , F ′ y G ′ con E , F y G mediante la ecuación matricial

donde el superíndice T denota la transposición de la matriz . Por lo tanto , la matriz con los coeficientes E , F y G dispuestas de esta manera se transforma mediante la matriz jacobiana del cambio de coordenadas.

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial u'}}&{\frac {\partial u}{\partial v'}}\\{\frac {\partial v}{\partial u'}}&{\frac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}\,.}$

Una matriz que se transforma de esta manera es un tipo de lo que se llama tensor . La matriz

${\displaystyle {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}$

con la ley de transformación ( 3 ) se conoce como tensor métrico de la superficie.

Invariancia de la longitud del arco bajo transformaciones de coordenadas.

Ricci-Curbastro y Levi-Civita (1900) observaron por primera vez la importancia de un sistema de coeficientes E , F y G , que se transformaba de esta manera al pasar de un sistema de coordenadas a otro. El resultado es que la primera forma fundamental ( 1 ) es invariante ante cambios en el sistema de coordenadas, y que esto se deriva exclusivamente de las propiedades de transformación de E , F y G. De hecho, según la regla de la cadena,

${\displaystyle {\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}}$

de modo que

${\displaystyle {\begin{aligned}ds^{2}&={\begin{bmatrix}du&dv\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du\\dv\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\dfrac {\partial u}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial u}{\partial v'}}\\[6pt]{\dfrac {\partial v}{\partial u'}}&{\dfrac {\partial v}{\partial v'}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&={\begin{bmatrix}du'&dv'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E'&F'\\F'&G'\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}du'\\dv'\end{bmatrix}}\\[6pt]&=(ds')^{2}\,.\end{aligned}}}$

Longitud y ángulo

Otra interpretación del tensor métrico, también considerada por Gauss, es que proporciona una forma de calcular la longitud de los vectores tangentes a la superficie, así como el ángulo entre dos vectores tangentes. En términos contemporáneos, el tensor métrico permite calcular el producto escalar (geometría no euclidiana) de vectores tangentes de una manera independiente de la descripción paramétrica de la superficie. Cualquier vector tangente en un punto de la superficie paramétrica M se puede escribir en la forma

${\displaystyle \mathbf {p} =p_{1}{\vec {r}}_{u}+p_{2}{\vec {r}}_{v}}$

para números reales adecuados p ₁ y p ₂ . Si se dan dos vectores tangentes:

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} &=a_{1}{\vec {r}}_{u}+a_{2}{\vec {r}}_{v}\\\mathbf {b} &=b_{1}{\vec {r}}_{u}+b_{2}{\vec {r}}_{v}\end{aligned}}}$

luego usando la bilinealidad del producto escalar,

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} &=a_{1}b_{1}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{1}b_{2}{\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}+a_{2}b_{1}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{u}+a_{2}b_{2}{\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\\[8pt]&=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G.\\[8pt]&={\begin{bmatrix}a_{1}&a_{2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b_{1}\\b_{2}\end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Esto es claramente una función de las cuatro variables a ₁ , b ₁ , a ₂ y b ₂ . Sin embargo, es más rentable considerarla como una función que toma un par de argumentos a = [ a ₁ a ₂ ] y b = [ b ₁ b ₂ ] que son vectores en el plano uv . Es decir, poner

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=a_{1}b_{1}E+a_{1}b_{2}F+a_{2}b_{1}F+a_{2}b_{2}G\,.}$

Esta es una función simétrica en a y b , lo que significa que

${\displaystyle g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )\,.}$

También es bilineal , es decir, que es lineal en cada variable a y b por separado. Eso es,

${\displaystyle {\begin{aligned}g\left(\lambda \mathbf {a} +\mu \mathbf {a} ',\mathbf {b} \right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ',\mathbf {b} \right),\quad {\text{and}}\\g\left(\mathbf {a} ,\lambda \mathbf {b} +\mu \mathbf {b} '\right)&=\lambda g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )+\mu g\left(\mathbf {a} ,\mathbf {b} '\right)\end{aligned}}}$

para cualquier vector a , a ′ , b y b ′ en el plano uv , y cualquier número real μ y λ .

En particular, la longitud de un vector tangente a está dada por

${\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|={\sqrt {g(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )}}}$

y el ángulo θ entre dos vectores a y b se calcula mediante

${\displaystyle \cos(\theta )={\frac {g(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{\left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|}}\,.}$

Área

La superficie es otra cantidad numérica que debería depender únicamente de la superficie misma y no de cómo esté parametrizada. Si la superficie M está parametrizada por la función r → ( u , v ) sobre el dominio D en el plano uv , entonces el área de la superficie de M viene dada por la integral

${\displaystyle \iint _{D}\left|{\vec {r}}_{u}\times {\vec {r}}_{v}\right|\,du\,dv}$

donde × denota el producto cruzado y el valor absoluto denota la longitud de un vector en el espacio euclidiano. Por la identidad de Lagrange para el producto vectorial, la integral se puede escribir

${\displaystyle {\begin{aligned}&\iint _{D}{\sqrt {\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{u}\right)\left({\vec {r}}_{v}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)-\left({\vec {r}}_{u}\cdot {\vec {r}}_{v}\right)^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {EG-F^{2}}}\,du\,dv\\[5pt]={}&\iint _{D}{\sqrt {\det {\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}}}\,du\,dv\end{aligned}}}$

donde det es el determinante .

Definición

Sea M una variedad suave de dimensión n ; por ejemplo una superficie (en el caso n = 2 ) o hipersuperficie en el espacio cartesiano . En cada punto p ∈ M hay un espacio vectorial T _p M , llamado espacio tangente , que consta de todos los vectores tangentes a la variedad en el punto p . Un tensor métrico en p es una función g _p ( X _p , Y _p ) que toma como entradas un par de vectores tangentes X _p e Y _p en p , y produce como salida un número real ( escalar ), de modo que lo siguiente se cumplen las condiciones: ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$

• g _p es bilineal . Una función de dos argumentos vectoriales es bilineal si es lineal por separado en cada argumento. Por lo tanto, si U _p , V _p , Y _p son tres vectores tangentes en p y a y b son números reales, entonces
  $${\displaystyle {\begin{aligned}g_{p}(aU_{p}+bV_{p},Y_{p})&=ag_{p}(U_{p},Y_{p})+bg_{p}(V_{p},Y_{p})\,,\quad {\text{and}}\\g_{p}(Y_{p},aU_{p}+bV_{p})&=ag_{p}(Y_{p},U_{p})+bg_{p}(Y_{p},V_{p})\,.\end{aligned}}}$$
• g _p es simétrico . ^[2] Una función de dos argumentos vectoriales es simétrica siempre que para todos los vectores X _p e Y _p ,
  $${\displaystyle g_{p}(X_{p},Y_{p})=g_{p}(Y_{p},X_{p})\,.}$$
• g _p es no degenerado . Una función bilineal es no degenerada siempre que, para cada vector tangente X _p ≠ 0 , la función
  $${\displaystyle Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$$
  obtenido manteniendo X _p constante y permitiendo que Y _p varíe no es idénticamente cero . Es decir, para cada X _p ≠ 0 existe un Y _p tal que g _p ( X _p , Y _p ) ≠ 0 .

Un campo tensorial métrico g en M asigna a cada punto p de M un tensor métrico g _p en el espacio tangente en p de una manera que varía suavemente con p . Más precisamente, dado cualquier subconjunto abierto U de la variedad M y cualquier campo vectorial (suave) X e Y en U , la función real

$${\displaystyle g(X,Y)(p)=g_{p}(X_{p},Y_{p})}$$

p

Componentes de la métrica

Los componentes de la métrica en cualquier base de campos vectoriales , o marco , f = ( X ₁ , ..., X _n ) vienen dados por ^[3]

Las n ² funciones g _ij [ f ] forman las entradas de una matriz simétrica n × n , G [ f ] . Si

${\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}X_{i}\,,\quad w=\sum _{i=1}^{n}w^{i}X_{i}}$

son dos vectores en p ∈ U , entonces el valor de la métrica aplicada a v y w está determinado por los coeficientes ( 4 ) por bilinealidad:

${\displaystyle g(v,w)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g\left(X_{i},X_{j}\right)=\sum _{i,j=1}^{n}v^{i}w^{j}g_{ij}[\mathbf {f} ]}$

Denotando la matriz ( g _ij [ f ]) ​​por G [ f ] y organizando los componentes de los vectores v y w en vectores columna v [ f ] y w [ f ] ,

${\displaystyle g(v,w)=\mathbf {v} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {w} [\mathbf {f} ]=\mathbf {w} [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]\mathbf {v} [\mathbf {f} ]}$

donde v [ f ] ^T y w [ f ] ^T denotan la transpuesta de los vectores v [ f ] y w [ f ] , respectivamente. Bajo un cambio de base de la forma.

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} '=\left(\sum _{k}X_{k}a_{k1},\dots ,\sum _{k}X_{k}a_{kn}\right)=\mathbf {f} A}$

para alguna matriz invertible n × n A = ( a _ij ) , la matriz de componentes de la métrica cambia en A también. Eso es,

${\displaystyle G[\mathbf {f} A]=A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}$

o, en términos de las entradas de esta matriz,

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} A]=\sum _{k,l=1}^{n}a_{ki}g_{kl}[\mathbf {f} ]a_{lj}\,.}$

Por esta razón, se dice que el sistema de cantidades g _ij [ f ] se transforma covariantemente con respecto a los cambios en el marco f .

Métrica en coordenadas

Un sistema de n funciones de valores reales ( x ¹ , ..., x ⁿ ) , que dan un sistema de coordenadas local en un conjunto abierto U en M , determina una base de campos vectoriales en U

${\displaystyle \mathbf {f} =\left(X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}\right)\,.}$

La métrica g tiene componentes relativos a este marco dado por

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} \right]=g\left({\frac {\partial }{\partial x^{i}}},{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\right)\,.}$

En relación con un nuevo sistema de coordenadas locales, digamos

${\displaystyle y^{i}=y^{i}(x^{1},x^{2},\dots ,x^{n}),\quad i=1,2,\dots ,n}$

el tensor métrico determinará una matriz diferente de coeficientes,

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=g\left({\frac {\partial }{\partial y^{i}}},{\frac {\partial }{\partial y^{j}}}\right).}$

Este nuevo sistema de funciones se relaciona con el original g _ij ( f ) mediante la regla de la cadena

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}}$

de modo que

${\displaystyle g_{ij}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{k,l=1}^{n}{\frac {\partial x^{k}}{\partial y^{i}}}g_{kl}\left[\mathbf {f} \right]{\frac {\partial x^{l}}{\partial y^{j}}}.}$

O, en términos de las matrices G [ f ] = ( g _ij [ f ]) y G [ f ′] = ( g _ij [ f ′] ) ,

${\displaystyle G\left[\mathbf {f} '\right]=\left((Dy)^{-1}\right)^{\mathsf {T}}G\left[\mathbf {f} \right](Dy)^{-1}}$

donde Dy denota la matriz jacobiana del cambio de coordenadas.

Firma de una métrica

Asociada a cualquier tensor métrico está la forma cuadrática definida en cada espacio tangente por

${\displaystyle q_{m}(X_{m})=g_{m}(X_{m},X_{m})\,,\quad X_{m}\in T_{m}M.}$

Si q _m es positivo para todos los X _m distintos de cero , entonces la métrica es positiva definida en m . Si la métrica es definida positiva en cada m ∈ M , entonces g se llama métrica de Riemann . De manera más general, si las formas cuadráticas q _m tienen una firma constante independiente de m , entonces la firma de g es esta firma, y ​​g se llama métrica pseudo-riemanniana . ^[4] Si M es conexo , entonces la firma de q _m no depende de m . ^[5]

Por la ley de inercia de Sylvester , _se puede elegir localmente una base de vectores tangentes Xi de modo que la forma cuadrática se diagonalice de la siguiente manera

${\displaystyle q_{m}\left(\sum _{i}\xi ^{i}X_{i}\right)=\left(\xi ^{1}\right)^{2}+\left(\xi ^{2}\right)^{2}+\cdots +\left(\xi ^{p}\right)^{2}-\left(\xi ^{p+1}\right)^{2}-\cdots -\left(\xi ^{n}\right)^{2}}$

para algunos p entre 1 y n . Dos expresiones cualesquiera de q (en el mismo punto m de M ) tendrán el mismo número p de signos positivos. La firma de g es el par de números enteros ( p , n − p ) , lo que significa que hay p signos positivos y n − p signos negativos en cualquier expresión de este tipo. De manera equivalente, la métrica tiene firma ( p , n − p ) si la matriz g _ij de la métrica tiene p valores propios positivos y n − p negativos .

Ciertas firmas métricas que surgen con frecuencia en las aplicaciones son:

• Si g tiene firma ( n , 0) , entonces g es una métrica de Riemann y M se llama variedad de Riemann . De lo contrario, g es una métrica pseudo-riemanniana y M se denomina variedad pseudo-riemanniana (también se utiliza el término semi-riemanniano).
• Si M es de cuatro dimensiones con firma (1, 3) o (3, 1) , entonces la métrica se llama Lorentziana . De manera más general, un tensor métrico en una dimensión n distinta de 4 de la firma (1, n - 1) o ( n - 1, 1) a veces también se denomina lorentziano.
• Si M es 2 n -dimensional y g tiene firma ( n , n ) , entonces la métrica se llama ultrahiperbólica.

Métrica inversa

Sea f = ( X ₁ , ..., X _n ) una base de campos vectoriales y, como anteriormente, sea G [ f ] la matriz de coeficientes.

${\displaystyle g_{ij}[\mathbf {f} ]=g\left(X_{i},X_{j}\right)\,.}$

Se puede considerar la matriz inversa G [ f ] ⁻¹ , que se identifica con la métrica inversa (o métrica conjugada o dual ). La métrica inversa satisface una ley de transformación cuando el marco f es cambiado por una matriz A mediante

La métrica inversa se transforma de forma contravariante , o con respecto a la inversa de la matriz de cambio de base A. Mientras que la métrica en sí proporciona una forma de medir la longitud de (o el ángulo entre) campos vectoriales, la métrica inversa proporciona un medio para medir la longitud de (o el ángulo entre) campos covectoriales ; es decir, campos de funcionales lineales .

Para ver esto, supongamos que α es un campo covector. Es decir, para cada punto p , α determina una función α _p definida en vectores tangentes en p de modo que la siguiente condición de linealidad se cumple para todos los vectores tangentes X _p e Y _p , y todos los números reales a y b :

${\displaystyle \alpha _{p}\left(aX_{p}+bY_{p}\right)=a\alpha _{p}\left(X_{p}\right)+b\alpha _{p}\left(Y_{p}\right)\,.}$

A medida que p varía, se supone que α es una función suave en el sentido de que

${\displaystyle p\mapsto \alpha _{p}\left(X_{p}\right)}$

es una función suave de p para cualquier campo vectorial suave X .

Cualquier campo covector α tiene componentes en la base de los campos vectoriales f . Estos están determinados por

${\displaystyle \alpha _{i}=\alpha \left(X_{i}\right)\,,\quad i=1,2,\dots ,n\,.}$

Denota el vector fila de estos componentes por

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} ]={\big \lbrack }{\begin{array}{cccc}\alpha _{1}&\alpha _{2}&\dots &\alpha _{n}\end{array}}{\big \rbrack }\,.}$

Bajo un cambio de f por una matriz A , α [ f ] cambia según la regla

${\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A\,.}$

Es decir, el vector fila de componentes α [ f ] se transforma como un vector covariante .

Para un par α y β de campos de covectores, defina la métrica inversa aplicada a estos dos covectores por

La definición resultante, aunque implica la elección de la base f , en realidad no depende de f de manera esencial. De hecho, cambiar la base a f A da

${\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha [\mathbf {f} A]G[\mathbf {f} A]^{-1}\beta [\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}\\={}&\left(\alpha [\mathbf {f} ]A\right)\left(A^{-1}G[\mathbf {f} ]^{-1}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}\right)\left(A^{\mathsf {T}}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\right)\\={}&\alpha [\mathbf {f} ]G[\mathbf {f} ]^{-1}\beta [\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}.\end{aligned}}}$

De modo que el lado derecho de la ecuación ( 6 ) no se ve afectado al cambiar la base f por cualquier otra base f A. En consecuencia, a la ecuación se le puede asignar un significado independientemente de la elección de la base. Las entradas de la matriz G [ f ] se denotan por g ^ij , donde los índices i y j se han elevado para indicar la ley de transformación ( 5 ).

Subir y bajar índices

En una base de campos vectoriales f = ( X ₁ , ..., X _n ) , cualquier campo vectorial tangente suave X se puede escribir en la forma

para algunas funciones suaves determinadas de forma única v ¹ , ..., v ⁿ . Al cambiar la base f por una matriz no singular A , los coeficientes v ⁱ cambian de tal manera que la ecuación ( 7 ) sigue siendo verdadera. Eso es,

${\displaystyle X=\mathbf {fA} v[\mathbf {fA} ]=\mathbf {f} v[\mathbf {f} ]\,.}$

En consecuencia, v [ f A ] = A ⁻¹ v [ f ] . En otras palabras , los componentes de un vector se transforman contravariantemente (es decir, inversamente o en sentido contrario) ante un cambio de base por parte de la matriz no singular A. La contravarianza de los componentes de v [ f ] se designa notacionalmente colocando los índices de ^vi [ f ] en la posición superior.

Un marco también permite expresar los covectores en términos de sus componentes. Para la base de campos vectoriales f = ( X ₁ , ..., X _n ) defina la base dual como los funcionales lineales ( θ ¹ [ f ], ..., θ ⁿ [ f ]) tales que

${\displaystyle \theta ^{i}[\mathbf {f} ](X_{j})={\begin{cases}1&\mathrm {if} \ i=j\\0&\mathrm {if} \ i\not =j.\end{cases}}}$

Es decir, θ ⁱ [ f ] ( X _j ) = δ _j ⁱ , el delta de Kronecker . Dejar

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\theta ^{1}[\mathbf {f} ]\\\theta ^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\\theta ^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}.}$

Bajo un cambio de base f ↦ f A para una matriz no singular A , θ [ f ] se transforma vía

${\displaystyle \theta [\mathbf {f} A]=A^{-1}\theta [\mathbf {f} ].}$

Cualquier α funcional lineal en vectores tangentes se puede expandir en términos de la base dual θ

donde a [ f ] denota el vector fila [ a ₁ [ f ] ... a _n [ f ] ] . Los componentes a _i se transforman cuando la base f se reemplaza por f A de tal manera que la ecuación ( 8 ) continúa siendo válida. Eso es,

${\displaystyle \alpha =a[\mathbf {f} A]\theta [\mathbf {f} A]=a[\mathbf {f} ]\theta [\mathbf {f} ]}$

de donde, porque θ [ f A ] = A ⁻¹ θ [ f ] , se sigue que a [ f A ] = a [ f ] A . Es decir, los componentes se transforman covariantemente (mediante la matriz A en lugar de su inversa). La covarianza de los componentes de a [ f ] se designa notacionalmente colocando los índices de a _i [ f ] en la posición inferior.

Ahora, el tensor métrico proporciona un medio para identificar vectores y covectores de la siguiente manera. Manteniendo X _p fijo, la función

${\displaystyle g_{p}(X_{p},-):Y_{p}\mapsto g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

del vector tangente Y _p define un funcional lineal en el espacio tangente en p . Esta operación toma un vector X _p en un punto p y produce un covector g _p ( X _p , −) . En una base de campos vectoriales f , si un campo vectorial X tiene componentes v [ f ] , entonces las componentes del campo covector g ( X , −) en la base dual están dadas por las entradas del vector fila

${\displaystyle a[\mathbf {f} ]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ].}$

Bajo un cambio de base f ↦ f A , el lado derecho de esta ecuación se transforma mediante

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} A]=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}\left(A^{-1}\right)^{\mathsf {T}}A^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A=v[\mathbf {f} ]^{\mathsf {T}}G[\mathbf {f} ]A}$

de modo que a [ f A ] = a [ f ] A : a se transforma covariantemente. La operación de asociar a los componentes (contravariantes) de un campo vectorial v [ f ] = [ v ¹ [ f ] v ² [ f ] ... v ⁿ [ f ] ] ^T los componentes (covariantes) del campo covector a [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ] … a _n [ f ] ] , donde

${\displaystyle a_{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}v^{k}[\mathbf {f} ]g_{ki}[\mathbf {f} ]}$

Se llama bajar el índice .

Para elevar el índice , se aplica la misma construcción pero con la métrica inversa en lugar de la métrica. Si a [ f ] = [ a ₁ [ f ] a ₂ [ f ] ... a _n [ f ] ] son ​​los componentes de un covector en la base dual θ [ f ] , entonces el vector columna

tiene componentes que se transforman de forma contravariante:

${\displaystyle v[\mathbf {f} A]=A^{-1}v[\mathbf {f} ].}$

En consecuencia, la cantidad X = f v [ f ] no depende esencialmente de la elección de la base f y, por tanto, define un campo vectorial en M . La operación ( 9 ) que asocia a las componentes (covariantes) de un covector a [ f ] las componentes (contravariantes) de un vector v [ f ] dado se llama elevar el índice . En componentes, ( 9 ) es

${\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} ]=\sum _{k=1}^{n}g^{ik}[\mathbf {f} ]a_{k}[\mathbf {f} ].}$

Métrica inducida

Sea U un conjunto abierto en ℝ ⁿ , y sea φ una función continuamente diferenciable de U en el espacio euclidiano ℝ ^m , donde m > n . El mapeo φ se llama inmersión si su diferencial es inyectivo en cada punto de U. La imagen de φ se llama subvariedad sumergida . Más específicamente, para m = 3 , lo que significa que el espacio euclidiano ambiental es ℝ ³ , el tensor métrico inducido se denomina primera forma fundamental .

Supongamos que φ es una inmersión en la subvariedad M ⊂ R ^m . El producto escalar euclidiano habitual en ℝ ^m es una métrica que, cuando se restringe a vectores tangentes a M , proporciona un medio para tomar el producto escalar de estos vectores tangentes. Esto se llama métrica inducida .

Supongamos que v es un vector tangente en un punto de U , digamos

${\displaystyle v=v^{1}\mathbf {e} _{1}+\dots +v^{n}\mathbf {e} _{n}}$

donde e _i son los vectores de coordenadas estándar en ℝ ⁿ . Cuando se aplica φ a U , el vector v pasa al vector tangente a M dado por

${\displaystyle \varphi _{*}(v)=\sum _{i=1}^{n}\sum _{a=1}^{m}v^{i}{\frac {\partial \varphi ^{a}}{\partial x^{i}}}\mathbf {e} _{a}\,.}$

(Esto se llama avance de v a lo largo de φ ). Dados dos vectores de este tipo, v y w , la métrica inducida se define por

${\displaystyle g(v,w)=\varphi _{*}(v)\cdot \varphi _{*}(w).}$

De un cálculo sencillo se deduce que la matriz de la métrica inducida en base a los campos vectoriales de coordenadas e está dada por

${\displaystyle G(\mathbf {e} )=(D\varphi )^{\mathsf {T}}(D\varphi )}$

donde Dφ es la matriz jacobiana:

${\displaystyle D\varphi ={\begin{bmatrix}{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{1}}{\partial x^{n}}}\\[1ex]{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{2}}{\partial x^{n}}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{1}}}&{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{2}}}&\dots &{\frac {\partial \varphi ^{m}}{\partial x^{n}}}\end{bmatrix}}.}$

Definiciones intrínsecas de una métrica

La noción de métrica se puede definir intrínsecamente utilizando el lenguaje de haces de fibras y haces de vectores . En estos términos, un tensor métrico es una función

del producto de fibras del haz tangente de M consigo mismo a R tal que la restricción de g a cada fibra es una aplicación bilineal no degenerada

${\displaystyle g_{p}:\mathrm {T} _{p}M\times \mathrm {T} _{p}M\to \mathbf {R} .}$

Se requiere que el mapeo ( 10 ) sea continuo y, a menudo, continuamente diferenciable , fluido o analítico real , dependiendo del caso de interés y de si M puede soportar dicha estructura.

Métrica como sección de un paquete

Por la propiedad universal del producto tensorial , cualquier aplicación bilineal ( 10 ) da lugar naturalmente a una sección g _⊗ del dual del producto tensorial fibrado de TM consigo mismo

${\displaystyle g_{\otimes }\in \Gamma \left((\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\right).}$

La sección g _⊗ está definida sobre elementos simples de T M ⊗ T M por

${\displaystyle g_{\otimes }(v\otimes w)=g(v,w)}$

y se define en elementos arbitrarios de T M ⊗ T M extendiendo linealmente a combinaciones lineales de elementos simples. La forma bilineal original g es simétrica si y sólo si

${\displaystyle g_{\otimes }\circ \tau =g_{\otimes }}$

dónde

${\displaystyle \tau :\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M{\stackrel {\cong }{\to }}TM\otimes TM}$

es el mapa de trenzado .

Dado que M es de dimensión finita, existe un isomorfismo natural

${\displaystyle (\mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M)^{*}\cong \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M,}$

de modo que g _⊗ se considera también como una sección del paquete T* M ⊗ T* M del paquete cotangente T* M consigo mismo. Dado que g es simétrico como mapeo bilineal, se deduce que g _⊗ es un tensor simétrico .

Métrica en un paquete de vectores

De manera más general, se puede hablar de una métrica en un paquete de vectores . Si E es un paquete de vectores sobre una variedad M , entonces una métrica es un mapeo

${\displaystyle g:E\times _{M}E\to \mathbf {R} }$

del producto de fibras de E a R que es bilineal en cada fibra:

${\displaystyle g_{p}:E_{p}\times E_{p}\to \mathbf {R} .}$

Usando la dualidad como se indicó anteriormente, una métrica a menudo se identifica con una sección del paquete de productos tensoriales E * ⊗ E * .

Isomorfismo tangente-cotangente

El tensor métrico da un isomorfismo natural del haz tangente al haz cotangente , a veces llamado isomorfismo musical . ^[6] Este isomorfismo se obtiene estableciendo, para cada vector tangente X _p ∈ T _p M ,

${\displaystyle S_{g}X_{p}\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,g(X_{p},-),}$

el funcional lineal en T _p M que envía un vector tangente Y _p en p a g _p ( X _p , Y _p ) . Es decir, en términos del emparejamiento [−, −] entre T _p M y su espacio dual T^∗
_pm ,

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=g_{p}(X_{p},Y_{p})}$

para todos los vectores tangentes X _p y Y _p . El mapeo S _g es una transformación lineal de T _p M a T^∗
_pM. _ De la definición de no degeneración se deduce que el núcleo de S _g se reduce a cero, por lo que, según el teorema de rango-nulidad , S _g es un isomorfismo lineal . Además, S _g es una transformación lineal simétrica en el sentido de que

${\displaystyle [S_{g}X_{p},Y_{p}]=[S_{g}Y_{p},X_{p}]}$

para todos los vectores tangentes X _p y Y _p .

Por el contrario, cualquier isomorfismo lineal S  : T _p M → T^∗
_pM define una forma bilineal no degenerada en T _p M mediante

${\displaystyle g_{S}(X_{p},Y_{p})=[SX_{p},Y_{p}]\,.}$

Esta forma bilineal es simétrica si y sólo si S es simétrico. Por tanto, existe una correspondencia natural uno a uno entre las formas bilineales simétricas en T _p M y los isomorfismos lineales simétricos de T _p M con la T dual.^∗
_pM. _

Como p varía sobre M , S _g define una sección del paquete Hom(T M , T* M ) de isomorfismos de paquete vectorial del paquete tangente al paquete cotangente. Esta sección tiene la misma suavidad que g : es continua, diferenciable, suave o analítica real según g . El mapeo S _g , que asocia a cada campo vectorial en M un campo covector en M da una formulación abstracta de "reducir el índice" en un campo vectorial. La inversa de S _g es una aplicación T* M → T M que, de manera análoga, da una formulación abstracta de "elevar el índice" en un campo covector.

La inversa S⁻¹
_gramosdefine un mapeo lineal

${\displaystyle S_{g}^{-1}:\mathrm {T} ^{*}M\to \mathrm {T} M}$

que es no singular y simétrico en el sentido de que

${\displaystyle \left[S_{g}^{-1}\alpha ,\beta \right]=\left[S_{g}^{-1}\beta ,\alpha \right]}$

para todos los covectores α , β . Tal mapeo simétrico no singular da lugar (mediante la adjunción tensorial-hom ) a un mapeo

${\displaystyle \mathrm {T} ^{*}M\otimes \mathrm {T} ^{*}M\to \mathbf {R} }$

o por el doble isomorfismo dual a una sección del producto tensorial

${\displaystyle \mathrm {T} M\otimes \mathrm {T} M.}$

Longitud de arco y elemento de línea

Supongamos que g es una métrica de Riemann en M . En un sistema de coordenadas local x ⁱ , i = 1, 2,…, n , el tensor métrico aparece como una matriz , denotada aquí por G , cuyas entradas son las componentes g _ij del tensor métrico en relación con los campos vectoriales de coordenadas.

Sea γ ( t ) una curva paramétrica diferenciable por partes en M , para a ≤ t ≤ b . La longitud del arco de la curva está definida por

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)}}\,dt\,.}$

En relación con esta aplicación geométrica, la forma diferencial cuadrática

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(p)dx^{i}dx^{j}}$

Se llama primera forma fundamental asociada a la métrica, mientras que ds es el elemento lineal . Cuando ds ² regresa a la imagen de una curva en M , representa el cuadrado del diferencial con respecto a la longitud del arco .

Para una métrica pseudo-riemanniana, la fórmula de longitud anterior no siempre está definida, porque el término bajo la raíz cuadrada puede volverse negativo. Generalmente sólo definimos la longitud de una curva cuando la cantidad bajo la raíz cuadrada es siempre de un signo u otro. En este caso, defina

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {\left|\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\right|}}\,dt\,.}$

Si bien estas fórmulas utilizan expresiones de coordenadas, de hecho son independientes de las coordenadas elegidas; dependen únicamente de la métrica y de la curva a lo largo de la cual se integra la fórmula.

La energía, principios variacionales y geodésicas.

Dado un segmento de una curva, otra cantidad frecuentemente definida es la energía (cinética) de la curva:

${\displaystyle E={\frac {1}{2}}\int _{a}^{b}\sum _{i,j=1}^{n}g_{ij}(\gamma (t))\left({\frac {d}{dt}}x^{i}\circ \gamma (t)\right)\left({\frac {d}{dt}}x^{j}\circ \gamma (t)\right)\,dt\,.}$

Este uso proviene de la física , específicamente de la mecánica clásica , donde se puede ver que la integral E corresponde directamente a la energía cinética de una partícula puntual que se mueve sobre la superficie de una variedad. Así, por ejemplo, en la formulación de Jacobi del principio de Maupertuis , se puede ver que el tensor métrico corresponde al tensor de masa de una partícula en movimiento.

En muchos casos, siempre que un cálculo requiera el uso de la longitud, también se puede realizar un cálculo similar utilizando la energía. Esto a menudo conduce a fórmulas más simples al evitar la necesidad de la raíz cuadrada. Así, por ejemplo, las ecuaciones geodésicas se pueden obtener aplicando principios variacionales a la longitud o a la energía. En el último caso, se considera que las ecuaciones geodésicas surgen del principio de acción mínima : describen el movimiento de una "partícula libre" (una partícula que no siente fuerzas) que está confinada a moverse en la variedad, pero que por lo demás se mueve libremente. con impulso constante, dentro de la variedad. ^[7]

Forma canónica de medida y volumen.

En analogía con el caso de las superficies, un tensor métrico en una variedad paracompacta M de n dimensiones da lugar a una forma natural de medir el volumen de n dimensiones de subconjuntos de la variedad. La medida de Borel positiva natural resultante permite desarrollar una teoría de integración de funciones en la variedad mediante la integral de Lebesgue asociada .

Una medida se puede definir, mediante el teorema de representación de Riesz , dando un funcional lineal positivo Λ en el espacio C ₀ ( M ) de funciones continuas soportadas compactamente en M . Más precisamente, si M es una variedad con un tensor métrico (pseudo-)riemanniano g , entonces existe una medida de Borel positiva única μ _g tal que para cualquier gráfico de coordenadas ( U , φ ) ,

$${\displaystyle \Lambda f=\int _{U}f\,d\mu _{g}=\int _{\varphi (U)}f\circ \varphi ^{-1}(x){\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx}$$

los fUdet gdeterminanteΛel cambio jacobiano de variablesC ₀ ( M )partición de la unidad

Si M también está orientado , entonces es posible definir una forma de volumen natural a partir del tensor métrico. En un sistema de coordenadas orientado positivamente ( x ¹ , ..., x ⁿ ) la forma del volumen se representa como

$${\displaystyle \omega ={\sqrt {\left|\det g\right|}}\,dx^{1}\wedge \cdots \wedge dx^{n}}$$

dx ⁱ∧producto exteriorformas diferenciales

Ejemplos

métrica euclidiana

El ejemplo más familiar es el de la geometría euclidiana elemental : el tensor métrico euclidiano bidimensional . En las coordenadas cartesianas habituales ( x , y ) , podemos escribir

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}\,.}$

La longitud de una curva se reduce a la fórmula:

${\displaystyle L=\int _{a}^{b}{\sqrt {(dx)^{2}+(dy)^{2}}}\,.}$

La métrica euclidiana en algunos otros sistemas de coordenadas comunes se puede escribir de la siguiente manera.

Coordenadas polares ( r , θ ) :

${\displaystyle {\begin{aligned}x&=r\cos \theta \\y&=r\sin \theta \\J&={\begin{bmatrix}\cos \theta &-r\sin \theta \\\sin \theta &r\cos \theta \end{bmatrix}}\,.\end{aligned}}}$

Entonces

${\displaystyle g=J^{\mathsf {T}}J={\begin{bmatrix}\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta &-r\sin \theta \cos \theta +r\sin \theta \cos \theta \\-r\cos \theta \sin \theta +r\cos \theta \sin \theta &r^{2}\sin ^{2}\theta +r^{2}\cos ^{2}\theta \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\0&r^{2}\end{bmatrix}}}$

por identidades trigonométricas .

En general, en un sistema de coordenadas cartesiano x ⁱ en un espacio euclidiano , las derivadas parciales ∂/∂ x ⁱ son ortonormales con respecto a la métrica euclidiana. Por tanto, el tensor métrico es el delta de Kronecker δ _ij en este sistema de coordenadas. El tensor métrico con respecto a coordenadas arbitrarias (posiblemente curvilíneas) q ⁱ está dado por

${\displaystyle g_{ij}=\sum _{kl}\delta _{kl}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{l}}{\partial q^{j}}}=\sum _{k}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial x^{k}}{\partial q^{j}}}.}$

La métrica redonda sobre una esfera.

La esfera unitaria en ℝ ³ viene equipada con una métrica natural inducida a partir de la métrica euclidiana ambiental, mediante el proceso explicado en la sección de métrica inducida. En coordenadas esféricas estándar ( θ , φ ) , con θ la colatitud , el ángulo medido desde el eje z y φ el ángulo desde el eje x en el plano xy , la métrica toma la forma

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0\\0&\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,.}$

Esto generalmente se escribe en la forma

${\displaystyle ds^{2}=d\theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \,d\varphi ^{2}\,.}$

Métricas de Lorentz desde la relatividad

En espacio plano de Minkowski ( relatividad especial ), con coordenadas

${\displaystyle r^{\mu }\rightarrow \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,x,y,z)\,,}$

la métrica es, según la elección de la firma de métrica ,

${\displaystyle g={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{bmatrix}}\quad {\text{or}}\quad g={\begin{bmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{bmatrix}}\,.}$

Para una curva con, por ejemplo, coordenadas de tiempo constantes, la fórmula de longitud con esta métrica se reduce a la fórmula de longitud habitual. Para una curva temporal , la fórmula de longitud proporciona el tiempo adecuado a lo largo de la curva.

En este caso, el intervalo espacio-temporal se escribe como

${\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=dr^{\mu }dr_{\mu }=g_{\mu \nu }dr^{\mu }dr^{\nu }\,.}$

La métrica de Schwarzschild describe el espacio-tiempo alrededor de un cuerpo esféricamente simétrico, como un planeta o un agujero negro . Con coordenadas

${\displaystyle \left(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3}\right)=(ct,r,\theta ,\varphi )\,,}$

podemos escribir la métrica como

${\displaystyle g_{\mu \nu }={\begin{bmatrix}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)&0&0&0\\0&-\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}&0&0\\0&0&-r^{2}&0\\0&0&0&-r^{2}\sin ^{2}\theta \end{bmatrix}}\,,}$

donde G (dentro de la matriz) es la constante gravitacional y M representa el contenido total de masa-energía del objeto central.

Ver también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo.
• Álgebra de Clifford
• colector finsler
• Lista de gráficos de coordenadas
• cálculo de ricci
• La indicatriz de Tissot , una técnica para visualizar el tensor métrico

Notas

1. Más precisamente, el integrando es el retroceso de este diferencial hacia la curva.
2. En varias formulaciones de teorías clásicas del campo unificado , se permitió que el tensor métrico fuera asimétrico; sin embargo, la parte antisimétrica de dicho tensor no juega ningún papel en los contextos descritos aquí, por lo que no se considerará más a fondo.
3. La notación que utiliza corchetes para indicar la base en términos de la cual se calculan los componentes no es universal. La notación empleada aquí se basa en la de Wells (1980). Normalmente, esta dependencia explícita de la base se suprime por completo.
4. Dodson y Poston 1991, Capítulo VII §3.04
5. Vaughn 2007, §3.4.3
6. Para conocer la terminología "isomorfismo musical", consulte Gallot, Hulin y Lafontaine (2004, p. 75). Véase también Lee (1997, págs. 27-29).
7. Sternberg 1983

Referencias

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• Gallot, Sylvestre; Hulin, Dominique ; Lafontaine, Jacques (2004), Geometría de Riemann (3.ª ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-20493-0.
• Gauss, Carl Friedrich (1827), Investigaciones generales de superficies curvas, Nueva York: Raven Press (publicado en 1965)traducido por AM Hiltebeitel y JC Morehead; "Disquisitiones generales circa superficies curvas", Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingesis Recentiores vol. VI (1827), págs. 99-146.
• Hawking, suroeste ; Ellis, GFR (1973), La estructura a gran escala del espacio-tiempo , Cambridge University Press.
• Kay, David (1988), Esquema de la teoría y los problemas del cálculo tensorial de Schaum , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-033484-7.
• Kline, Morris (1990), Pensamiento matemático desde la antigüedad hasta los tiempos modernos, Volumen 3 , Oxford University Press.
• Lee, John (1997), variedades de Riemann , Springer Verlag, ISBN 978-0-387-98322-6.
• Michor, Peter W. (2008), Temas de Geometría Diferencial , Estudios de Posgrado en Matemáticas , vol. 93, Providencia: Sociedad Matemática Estadounidense( a aparecer ).
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip S .; Wheeler, John A. (1973), Gravitación , WH Freeman, ISBN 0-7167-0344-0
• Ricci-Curbastro, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (1900), "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs apps", Mathematische Annalen , 54 (1): 125–201, doi :10.1007/BF01454201, ISSN  1432-1807, S2CID  120009332
• Sternberg, S. (1983), Conferencias sobre geometría diferencial (2ª ed.), Nueva York: Chelsea Publishing Co., ISBN 0-8218-1385-4
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• Wells, Raymond (1980), Análisis diferencial de variedades complejas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag