Relación de equivalencia que expresa que dos elementos tienen la misma imagen bajo una función
En teoría de conjuntos , el núcleo de una función (o núcleo de equivalencia [1] ) puede considerarse como![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una noción no relacionada es la del núcleo de una familia de conjuntos no vacía que, por definición, es la intersección de todos sus elementos:![{\displaystyle {\mathcal {B}},}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}\,B.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
los filtroslibresprincipalesDefinición
Núcleo de una función
Para la definición formal, sea una función entre dos conjuntos . Los elementos son equivalentes si y son iguales , es decir, son el mismo elemento de
El núcleo de es la relación de equivalencia así definida. [2]![{\displaystyle f:X\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x_{1},x_{2}\en X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\left(x_{1}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f\left(x_{2}\right)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Núcleo de una familia de conjuntos.
ElEl núcleo de una familia de conjuntos
es
![{\displaystyle \ker {\mathcal {B}}~:=~\bigcap _{B\in {\mathcal {B}}}B.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
conjunto vacío![{\displaystyle {\mathcal {B}}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \cap {\mathcal {B}}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
arregladointersección no vacíanúcleogratisCocientes
Como cualquier relación de equivalencia, el núcleo se puede modificar para formar un conjunto de cocientes , y el conjunto de cocientes es la partición:
![{\displaystyle \left\{\,\{w\in X:f(x)=f(w)\}~:~x\in X\,\right\}~=~\left\{f^{ -1}(y)~:~y\in f(X)\right\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Este conjunto de cocientes se denomina coimagen de la función y se denota (o una variación). La coimagen es naturalmente isomorfa (en el sentido teórico de conjuntos de una biyección ) a la imagen , específicamente, la clase de equivalencia de en (que es un elemento de ) corresponde a en (que es un elemento de ).![{\displaystyle X/=_{f}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {coim} f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {estoy} f;}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle x}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {coim} f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f(x)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \operatorname {estoy} f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Como subconjunto del cuadrado
Como cualquier relación binaria , el núcleo de una función puede considerarse como un subconjunto del producto cartesiano.
De esta manera, el núcleo puede denotarse (o ser una variación) y puede definirse simbólicamente como [2]![{\displaystyle X\times X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \kerf}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \ker f:=\{(x,x'):f(x)=f(x')\}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
El estudio de las propiedades de este subconjunto puede arrojar luz sobre![{\displaystyle f.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Estructuras algebraicas
Si y son estructuras algebraicas de algún tipo fijo (como grupos , anillos o espacios vectoriales ), y si la función es un homomorfismo , entonces es una relación de congruencia (es decir, una relación de equivalencia que es compatible con la estructura algebraica), y la coimagen de es un cociente de [2]
La biyección entre la coimagen y la imagen de es un isomorfismo en sentido algebraico; ésta es la forma más general del primer teorema del isomorfismo . ![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f:X\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \kerf}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
En topología
Si es una función continua entre dos espacios topológicos , entonces las propiedades topológicas de pueden arrojar luz sobre los espacios y,
por ejemplo, si es un espacio de Hausdorff , entonces debe ser un conjunto cerrado . Por el contrario, si es un espacio de Hausdorff y es un conjunto cerrado, entonces la coimagen de, dada la topología del espacio cociente , también debe ser un espacio de Hausdorff.![{\displaystyle f:X\a Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \kerf}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \kerf}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \kerf}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle f,}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Un espacio es compacto si y sólo si el núcleo de cada familia de subconjuntos cerrados que tienen la propiedad de intersección finita (FIP) no está vacío; [4] [5] dicho de otra manera, un espacio es compacto si y sólo si cada familia de subconjuntos cerrados con FIP es fija.
Ver también
Referencias
- ^ Mac Lane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra, Chelsea Publishing Company , pág. 33, ISBN 0821816462.
- ^ abcd Bergman, Clifford (2011), Álgebra universal: fundamentos y temas seleccionados, matemáticas puras y aplicadas, vol. 301, CRC Press , págs. 14-16, ISBN 9781439851296.
- ^ Munkres, James (2004). Topología . Nueva Delhi: Prentice-Hall de la India. pag. 169.ISBN 978-81-203-2046-8.
- ^ Un espacio es compacto si cualquier familia de conjuntos cerrados que tengan fip tiene una intersección no vacía en PlanetMath .
Bibliografía
- Awodey, Steve (2010) [2006]. Teoría de categorías . Guías de lógica de Oxford. vol. 49 (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Oxford. ISBN 978-0-19-923718-0.
- Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric (2016). Fundamentos de convergencia de la topología . Nueva Jersey: Compañía Mundial de Publicaciones Científicas. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917.