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Base holonómica

En matemáticas y física matemática , una base de coordenadas o base holonómica para una variedad diferenciable M es un conjunto de campos vectoriales base { e 1 , ..., e n } definidos en cada punto P de una región de la variedad como

donde δ s es el vector de desplazamiento entre el punto P y un punto cercano Q cuya separación de coordenadas desde P es δx α a lo largo de la curva de coordenadas x α (es decir, la curva en la variedad que pasa por P para la cual la coordenada local x α varía y todas las demás coordenadas son constantes). [1]

Es posible hacer una asociación entre dicha base y los operadores derivados direccionales. Dada una curva parametrizada C en la variedad definida por x α ( λ ) con el vector tangente u = u α e α , donde u α = dxα/ , y una función f ( x α ) definida en un entorno de C , la variación de f a lo largo de C se puede escribir como

Como tenemos que u = u α e α , la identificación se hace a menudo entre un vector base de coordenadas e α y el operador de derivada parcial /x α , bajo la interpretación de los vectores como operadores que actúan sobre funciones. [2]

Una condición local para que una base { e 1 , ..., e n } sea holonómica es que todas las derivadas de Lie mutuas se anulen: [3]

Una base que no es holonómica se denomina base anholonómica, [4] no holonómica o no coordinada.

Dado un tensor métrico g en una variedad M , en general no es posible encontrar una base de coordenadas que sea ortonormal en cualquier región abierta U de M . [5] Una excepción obvia es cuando M es el espacio de coordenadas real R n considerado como una variedad con g siendo la métrica euclidiana δ ij e ie j en cada punto.

Referencias

  1. ^ MP Hobson; GP Efstathiou; AN Lasenby (2006), Relatividad general: una introducción para físicos , Cambridge University Press , pág. 57
  2. ^ T. Padmanabhan (2010), Gravitación: fundamentos y fronteras , Cambridge University Press , pág. 25
  3. ^ Roger Penrose; Wolfgang Rindler, Spinors and Space–Time: Volume 1, Two-Spinor Calculus and Relativistic Fields (Espinores y espacio-tiempo: volumen 1, cálculo de dos espinores y campos relativistas) , Cambridge University Press , págs. 197-199
  4. ^ Charles W. Misner; Kip S. Thorne; John Archibald Wheeler (1970), Gravitación , pág. 210
  5. ^ Bernard F. Schutz (1980), Métodos geométricos de la física matemática , Cambridge University Press , págs. 47-49, ISBN 978-0-521-29887-2

Véase también