Producto interior de una superficie en 3D, inducido por el producto escalar.
En geometría diferencial , la primera forma fundamental es el producto interno en el espacio tangente de una superficie en el espacio euclidiano tridimensional que se induce canónicamente a partir del producto escalar de R 3 . Permite el cálculo de la curvatura y las propiedades métricas de una superficie, como la longitud y el área, de manera coherente con el espacio ambiental . La primera forma fundamental se indica con el número romano I ,
Definición
Sea X ( u , v ) una superficie paramétrica . Entonces el producto interno de dos vectores tangentes es
EFGcoeficientes de la primera forma fundamentalLa primera forma fundamental puede representarse como una matriz simétrica .
Notación adicional
Cuando la primera forma fundamental se escribe con un solo argumento, denota el producto interno de ese vector consigo mismo.
La primera forma fundamental suele escribirse en la notación moderna del tensor métrico . Los coeficientes pueden entonces escribirse como g ij :
Los componentes de este tensor se calculan como el producto escalar de los vectores tangentes X 1 y X 2 :
yo , j = 1, 2Calcular longitudes y áreas.
La primera forma fundamental describe completamente las propiedades métricas de una superficie. Por tanto, permite calcular las longitudes de las curvas en la superficie y las áreas de las regiones en la superficie. El elemento de línea ds se puede expresar en términos de los coeficientes de la primera forma fundamental como
El elemento de área clásico dado por dA = | X tu × X v | du dv se puede expresar en términos de la primera forma fundamental con la ayuda de la identidad de Lagrange ,
Ejemplo: curva en una esfera
Una curva esférica en la esfera unitaria en R 3 se puede parametrizar como
X ( u , v )uv derivadas parcialesLongitud de una curva en la esfera.
El ecuador de la esfera unitaria es una curva parametrizada dada por
tπÁrea de una región en la esfera.
El elemento de área se puede utilizar para calcular el área de la esfera unitaria.
curvatura gaussiana
La curvatura gaussiana de una superficie viene dada por
LMNsegunda forma fundamentalEl teorema egregium de Gauss establece que la curvatura gaussiana de una superficie se puede expresar únicamente en términos de la primera forma fundamental y sus derivadas, de modo que K es de hecho un invariante intrínseco de la superficie. La fórmula de Brioschi proporciona una expresión explícita para la curvatura gaussiana en términos de la primera forma fundamental .
Ver también
enlaces externos
- Primera forma fundamental: de Wolfram MathWorld