indicatriz de tissot

Caracterización de la distorsión en las protecciones de mapas.

La proyección de Behrmann con las indicatrices de Tissot.

La proyección de Mercator con las indicatrices de Tissot

En cartografía , una indicatriz de Tissot ( Tissot indicatrix , elipse de Tissot , elipse de Tissot , elipse de distorsión ) (plural: "indicatrices de Tissot") es un invento matemático presentado por el matemático francés Nicolas Auguste Tissot en 1859 y 1871 con el fin de caracterizar las distorsiones locales debidas a la proyección cartográfica . Es la geometría que resulta de proyectar un círculo de radio infinitesimal desde un modelo geométrico curvo, como un globo terráqueo, sobre un mapa. Tissot demostró que el diagrama resultante es una elipse cuyos ejes indican las dos direcciones principales a lo largo de las cuales la escala es máxima y mínima en ese punto del mapa.

Una sola indicatriz describe la distorsión en un solo punto. Debido a que la distorsión varía a lo largo de un mapa, generalmente las indicaciones de Tissot se colocan a lo largo de un mapa para ilustrar el cambio espacial en la distorsión. Un esquema común los ubica en cada intersección de meridianos y paralelos mostrados. Estos esquemas son importantes en el estudio de las proyecciones cartográficas, tanto para ilustrar la distorsión como para proporcionar la base para los cálculos que representan la magnitud de la distorsión con precisión en cada punto. Como todas las elipses del mapa ocupan la misma área, la distorsión impuesta por la proyección del mapa es evidente.

Existe una correspondencia uno a uno entre la indicatriz de Tissot y el tensor métrico de la conversión de coordenadas de proyección cartográfica. ^[1]

Descripción

La teoría de Tissot se desarrolló en el contexto del análisis cartográfico . Generalmente el modelo geométrico representa a la Tierra, y se presenta en forma de esfera o elipsoide .

Las indicatrices de Tissot ilustran distorsiones lineales, angulares y de área de los mapas:

• Un mapa distorsiona las distancias (distorsión lineal) siempre que el cociente entre las longitudes de una línea infinitamente corta proyectada sobre la superficie de proyección y como está originalmente en el modelo de la Tierra se desvía de 1. El cociente se llama factor de escala . A menos que la proyección sea conforme en el punto que se considera, el factor de escala varía según la dirección alrededor del punto.
• Un mapa distorsiona los ángulos siempre que los ángulos medidos en el modelo de la Tierra no se conserven en la proyección. Esto se expresa mediante una elipse de distorsión que no es un círculo.
• Un mapa distorsiona áreas donde las áreas medidas en el modelo de la Tierra no se conservan en la proyección. Esto se expresa mediante elipses de distorsión cuyas áreas varían a lo largo del mapa.

En los mapas conformes, donde cada punto conserva ángulos proyectados desde el modelo geométrico, las indicatrices de Tissot son todos círculos de tamaño que varían según la ubicación, posiblemente también con orientación variable (dados los cuatro cuadrantes del círculo divididos por meridianos y paralelos ). En proyecciones de áreas iguales , donde se conservan las proporciones de área entre objetos, todas las indicatrices de Tissot tienen la misma área, aunque sus formas y orientaciones varían según la ubicación. En proyecciones arbitrarias, tanto el área como la forma varían en el mapa.

Matemáticas

En el siguiente diagrama, el círculo tiene un área unitaria como se define en la superficie de una esfera. El círculo es la indicatriz de Tissot que resulta de alguna proyección sobre un plano. La escala lineal no se ha conservado en esta proyección, como y . Porque sabemos que hay una distorsión angular. Porque sabemos que hay una distorsión real. ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle {A'B'C'D'}}$ ${\displaystyle ABCD}$ ${\displaystyle {OA'\ncong OA}}$ ${\displaystyle OB'\ncong OB}$ ${\displaystyle {\angle M'OA'\ncong \angle MOA}}$ ${\displaystyle \operatorname {Area} (A'B'C'D')\neq \operatorname {Area} (ABCD)}$

El círculo original en el ejemplo anterior tenía un radio de 1, pero cuando se trata de una indicatriz Tissot, se trata de elipses de radio infinitesimal. Aunque los radios del círculo original y su elipse de distorsión serán todos infinitesimales, al emplear cálculo diferencial las proporciones entre ellos aún se pueden calcular de manera significativa. Por ejemplo, si la relación entre el radio del círculo de entrada y un círculo proyectado es igual a 1, entonces la indicatriz se dibuja como un círculo con un área de 1. El tamaño que se dibuja la indicatriz en el mapa es arbitrario: todos están escalados por el mismo factor para que sus tamaños sean proporcionales entre sí. Como en el diagrama, los ejes a lo largo del paralelo y del meridiano pueden sufrir un cambio de longitud y una rotación durante la proyección. Para un punto dado, es común en la literatura representar la escala a lo largo del meridiano como y la escala a lo largo del paralelo como . A menos que la proyección sea conforme, todos los ángulos excepto el subtendido por el semieje mayor y el semieje menor de la elipse también pueden haber cambiado. Un ángulo particular habrá cambiado más, y el valor de ese cambio máximo se conoce como deformación angular, denotada como . En general, qué ángulo es ese y cómo está orientado no ocupa un lugar destacado en el análisis de distorsión; lo significativo es la magnitud del cambio. Los valores de , y se pueden calcular de la siguiente manera: ^{[2] : 24} ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle O}$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle h}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \theta }$

$${\displaystyle {\begin{aligned}h&={\frac {1}{R}}{\sqrt {{{\left({\frac {\partial x}{\partial \varphi }}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {\partial y}{\partial \varphi }}\right)}^{2}}}}\\[4pt]k&={\frac {1}{R\cos \varphi }}{\sqrt {{{\left({\frac {\partial x}{\partial \lambda }}\right)}^{2}}+{{\left({\frac {\partial y}{\partial \lambda }}\right)}^{2}}}}\\[4pt]\sin \theta '&={\frac {1}{R^{2}hk\cos \varphi }}\left({{\frac {\partial y}{\partial \varphi }}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}-{\frac {\partial x}{\partial \varphi }}{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}}\right)\\[4pt]a'&={\sqrt {{h^{2}}+{k^{2}}+2hk\sin \theta '}},\quad b'={\sqrt {{h^{2}}+{k^{2}}-2hk\sin \theta '}}\\[4pt]a&={\frac {a'+b'}{2}},\quad b={\frac {a'-b'}{2}}\\[4pt]s&=hk\sin \theta '\\[4pt]\omega &=2\arcsin {\frac {b'}{a'}}\end{aligned}}}$$

donde y son las coordenadas de latitud y longitud de un punto, es el radio del globo y y son las coordenadas resultantes del punto después de la proyección. ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

En el resultado para cualquier punto dado, y están los factores de escala máximo y mínimo, análogos a los ejes semimayor y semimenor del diagrama; representa la cantidad de inflación o deflación en el área y representa la distorsión angular máxima. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle \omega }$

Para proyecciones conformes como la proyección de Mercator , y , de modo que en cada punto la elipse degenera en un círculo, siendo el radio igual al factor de escala. ${\displaystyle h=k}$ ${\displaystyle \theta ={\pi \over 2}}$

Para áreas iguales, como la proyección sinusoidal , el semieje mayor de la elipse es el recíproco del semieje menor, de modo que cada elipse tiene la misma área incluso cuando varían sus excentricidades .

Para proyecciones arbitrarias, la forma y el área de las elipses en cada punto son en gran medida independientes entre sí. ^[3]

Una derivación alternativa para el cálculo numérico.

Otra forma de entender y derivar la indicatriz de Tissot es a través de la geometría diferencial de superficies. ^[4] Este enfoque se adapta bien a los métodos numéricos modernos, ya que los parámetros de la indicatriz de Tissot se pueden calcular mediante descomposición en valores singulares (SVD) y aproximación en diferencias centrales .

Distancia diferencial en el elipsoide

Sea un punto 3D, , en un elipsoide, parametrizado como: ${\displaystyle {\hat {X}}}$

${\displaystyle {\hat {X}}(\lambda ,\phi )=\left[{\begin{matrix}N\cos {\lambda }\cos {\phi }\\-N(1-e^{2})\sin {\phi }\\N\sin {\lambda }\cos {\phi }\end{matrix}}\right]}$

donde son longitud y latitud, respectivamente, y es función del radio ecuatorial, y la excentricidad ,: ${\displaystyle (\lambda ,\phi )}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle N={\frac {R}{\sqrt {1-e^{2}\sin ^{2}(\phi )}}}}$

El elemento de distancia en la esfera, está definido por la primera forma fundamental : ${\displaystyle ds}$

${\displaystyle ds^{2}={\begin{bmatrix}d\lambda &d\phi \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}E&F\\F&G\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d\lambda \\d\phi \end{bmatrix}}}$

cuyos coeficientes se definen como:

${\displaystyle {\begin{aligned}&E={\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}{\boldsymbol {\cdot }}{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}\\&F={\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}{\boldsymbol {\cdot }}{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}\\&G={\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}{\boldsymbol {\cdot }}{\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}\\\end{aligned}}}$

Calcular las derivadas necesarias da:

${\displaystyle {\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \lambda }}=\left[{\begin{matrix}-N\sin {\lambda }\cos {\phi }\\0\\N\cos {\lambda }\cos {\phi }\end{matrix}}\right]\qquad \qquad {\frac {\partial {\hat {X}}}{\partial \phi }}=\left[{\begin{matrix}-M\cos {\lambda }\sin {\phi }\\-M\cos {\phi }\\M\sin {\lambda }\sin {\phi }\end{matrix}}\right]}$

donde es función del radio ecuatorial, y de la excentricidad del elipsoide ,: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle e}$

${\displaystyle M={\frac {R(1-e^{2})}{(1-e^{2}\sin ^{2}(\phi ))^{\frac {3}{2}}}}}$

Sustituyendo estos valores en la primera forma fundamental se obtiene la fórmula para la distancia elemental en el elipsoide:

${\displaystyle ds^{2}=\left(N\cos {\phi }\right)^{2}d\lambda ^{2}+M^{2}d\phi ^{2}}$

Este resultado relaciona la medida de la distancia en la superficie del elipsoide en función del sistema de coordenadas esféricas.

Transformando el elemento de la distancia

Recuerde que el propósito de la indicatriz de Tissot es relacionar cómo cambian las distancias en la esfera cuando se asignan a una superficie plana. Específicamente, la relación deseada es la transformación que relaciona la distancia diferencial a lo largo de las bases del sistema de coordenadas esféricas con la distancia diferencial a lo largo de las bases del sistema de coordenadas cartesianas en el mapa plano. Esto se puede expresar mediante la relación: ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}={\mathcal {T}}{\begin{bmatrix}ds(\lambda ,0)\\ds(0,\phi )\end{bmatrix}}}$

donde y representan el cálculo de a lo largo de los ejes longitudinal y latitudinal, respectivamente. El cálculo de y se puede realizar directamente a partir de la ecuación anterior, obteniendo: ${\displaystyle ds(\lambda ,0)}$ ${\displaystyle ds(0,\phi )}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle ds(\lambda ,0)}$ ${\displaystyle ds(0,\phi )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&ds(\lambda ,0)=N\cos(\phi )d\lambda \\&ds(0,\phi )=Md\phi \end{aligned}}}$

A los efectos de este cálculo, resulta útil expresar esta relación como una operación matricial:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}d\lambda \\d\phi \end{bmatrix}}=K{\begin{bmatrix}ds(\lambda ,0)\\ds(0,\phi )\end{bmatrix}},\qquad K={\begin{bmatrix}{\frac {1}{N\cos {\phi }}}&0\\0&{\frac {1}{M}}\end{bmatrix}}}$

Ahora, para relacionar las distancias en la superficie del elipsoide con las del plano, necesitamos relacionar los sistemas de coordenadas. De la regla de la cadena podemos escribir:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}=J{\begin{bmatrix}d\lambda \\d\phi \end{bmatrix}}}$

donde J es la matriz jacobiana :

${\displaystyle J={\begin{bmatrix}{\frac {\partial x}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial x}{\partial \phi }}\\{\frac {\partial y}{\partial \lambda }}&{\frac {\partial y}{\partial \phi }}\end{bmatrix}}}$

Al ingresar la expresión matricial de y se obtiene la definición de la transformación representada por la indicatriz: ${\displaystyle d\lambda }$ ${\displaystyle d\phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

${\displaystyle {\begin{bmatrix}dx\\dy\end{bmatrix}}=JK{\begin{bmatrix}ds(\lambda ,0)\\ds(0,\phi )\end{bmatrix}}}$

${\displaystyle {\mathcal {T}}=JK}$

Esta transformación encapsula el mapeo desde la superficie del elipsoide al plano. Expresado de esta forma, la SVD puede utilizarse para fragmentar los componentes importantes de la transformación local. ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$

Cálculo numérico y SVD.

Para extraer la información de distorsión deseada, en cualquier ubicación dada en el sistema de coordenadas esféricas, los valores de se pueden calcular directamente. El jacobiano, , se puede calcular analíticamente a partir de la propia función de mapeo, pero a menudo es más sencillo aproximar numéricamente los valores en cualquier ubicación del mapa usando diferencias centrales . Una vez que se calculan estos valores, se puede aplicar SVD a cada matriz de transformación para extraer la información de distorsión local. Recuerde que, debido a que la distorsión es local, cada ubicación en el mapa tendrá su propia transformación. ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle J}$

Recordemos la definición de SVD:

${\displaystyle \mathrm {SVD} ({\mathcal {T}})=U\Lambda V^{T}}$

Es la descomposición de la transformación, en una rotación en el dominio de origen (es decir, la superficie del elipsoide), un escalamiento a lo largo de la base, y una segunda rotación posterior . Para comprender la distorsión, la primera rotación es irrelevante, ya que gira los ejes del círculo pero no influye en la orientación final de la elipse. La siguiente operación, representada por la matriz diagonal de valores singulares, escala el círculo a lo largo de sus ejes, deformándolo en una elipse. Por tanto, los valores singulares representan los factores de escala a lo largo de los ejes de la elipse. El primer valor singular proporciona el semieje mayor, y el segundo proporciona el semieje menor, que son los factores de escala direccionales de distorsión. La distorsión de escala se puede calcular como el área de la elipse, o de manera equivalente mediante el determinante de . Finalmente, la orientación de la elipse, se puede extraer de la primera columna de como: ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle V^{T}}$ ${\displaystyle \Lambda }$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle \theta =\arctan \left({\frac {u_{1,0}}{u_{0,0}}}\right)}$

Galería

• 
  La proyección transversal de Mercator con las indicatrices de Tissot.
• 
  La proyección estereográfica con las indicatrices de Tissot.
• 
  La proyección sinusoidal con las indicatrices de Tissot.
• 
  La proyección quincuncial de Peirce con las indicatrices de Tissot
• 
  La proyección cilíndrica de Miller con las indicatrices de Tissot
• 
  La proyección de Hammer con las indicatrices de Tissot
• 
  La proyección equidistante azimutal con las indicatrices de Tissot
• 
  La proyección de Fuller con las indicatrices de Tissot

Ver también

• elipse de MacAdam

Referencias

1. Goldberg, David M.; Gott III, J. Richard (2007). "Flexión y asimetría en las proyecciones cartográficas de la Tierra" (PDF) . Cartográfica . 42 (4): 297–318. arXiv : astro-ph/0608501 . doi :10.3138/carto.42.4.297. S2CID  11359702 . Consultado el 14 de noviembre de 2011 .
2. Snyder, John P. (1987). Proyecciones cartográficas: un manual de trabajo. Documento profesional 1395. Denver: USGS . pag. 383.ISBN​ 978-1782662228. Consultado el 26 de noviembre de 2015 .
3. Ejemplo más general de indicatriz de Tissot: la proyección tripel de Winkel .
4. Laskowski, Piotr (1989). "La mirada tradicional y moderna a la Indicatrix de Tissot". El cartógrafo americano . 16 (2): 123–133. doi :10.1559/152304089783875497.

enlaces externos

• Subprograma de Java con proyecciones interactivas que muestran la indicatriz de Tissot