Ecuación de Beltrami

Ecuación diferencial parcial

En matemáticas , la ecuación de Beltrami , llamada así en honor a Eugenio Beltrami , es la ecuación diferencial parcial

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}.}$

para w una distribución compleja de la variable compleja z en algún conjunto abierto U , con derivadas que son localmente L 2 , y donde μ es una función compleja dada en L ∞ ( U ) de norma menor que 1, llamada coeficiente de Beltrami , y donde y son derivadas de Wirtinger . Clásicamente esta ecuación diferencial fue utilizada por Gauss para demostrar la existencia localmente de coordenadas isotérmicas en una superficie con métrica analítica de Riemann . Se han desarrollado varias técnicas para resolver la ecuación. La más poderosa, desarrollada en la década de 1950, proporciona soluciones globales de la ecuación en C y se basa en la teoría L p de la transformada de Beurling , un operador integral singular definido en L ^p ( C ) para todo 1 < p < ∞. El mismo método se aplica igualmente bien en el disco unitario y el semiplano superior y juega un papel fundamental en la teoría de Teichmüller y la teoría de aplicaciones cuasiconformales . Se pueden demostrar varios teoremas de uniformización utilizando la ecuación, incluido el teorema de mapeo de Riemann medible y el teorema de uniformización simultánea . La existencia de soldaduras conformes también se puede derivar utilizando la ecuación de Beltrami. Una de las aplicaciones más simples es el teorema de mapeo de Riemann para dominios abiertos acotados simplemente conexos en el plano complejo. Cuando el dominio tiene un borde suave, se puede utilizar la regularidad elíptica para la ecuación para mostrar que el mapa uniformizador desde el disco unitario hasta el dominio se extiende a una función C ^∞ desde el disco cerrado hasta el cierre del dominio. ${\displaystyle \partial /\partial z}$ ${\displaystyle \partial /\partial {\overline {z}}}$

Métricas en dominios planares

Consideremos una variedad riemanniana bidimensional , digamos con un sistema de coordenadas ( x , y ) sobre ella. Las curvas de constante x en esa superficie normalmente no intersecan las curvas de constante y ortogonalmente. Un nuevo sistema de coordenadas ( u , v ) se llama isotérmico cuando las curvas de constante u sí intersecan las curvas de constante v ortogonalmente y, además, el espaciado de parámetros es el mismo, es decir, para h suficientemente pequeño , la pequeña región con y es casi cuadrada, no solo casi rectangular. La ecuación de Beltrami es la ecuación que debe resolverse para construir sistemas de coordenadas isotérmicos. ${\displaystyle a\leq u\leq a+h}$ ${\displaystyle b\leq v\leq b+h}$

Para ver cómo funciona esto, sea S un conjunto abierto en C y sea

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2}}$

sea ​​una métrica suave g en S . La primera forma fundamental de g

${\displaystyle \displaystyle g(x,y)={\begin{pmatrix}E&F\\F&G\end{pmatrix}}}$

es una matriz real positiva ( E > 0, G > 0, EG − F ² > 0) que varía suavemente con x e y .

El coeficiente de Beltrami de la métrica g se define como

${\displaystyle \displaystyle \mu (x,y)={E-G+2iF \over E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}$

Este coeficiente tiene un módulo estrictamente menor que uno ya que la identidad

${\displaystyle \displaystyle (E-G+2iF)(E-G-2iF)=(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}})(E+G-2{\sqrt {EG-F^{2}}})}$

implica que

${\displaystyle \displaystyle |\mu |^{2}={E+G-2{\sqrt {EG-F^{2}}} \over E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}<1.}$

Sea f ( x , y ) =( u ( x , y ), v ( x , y )) un difeomorfismo suave de S sobre otro conjunto abierto T en C . La función f conserva la orientación sólo cuando su jacobiano es positivo:

${\displaystyle \displaystyle u_{x}v_{y}-v_{x}u_{y}>0.}$

Y usando f para llevar de nuevo a S la métrica euclidiana estándar ds ² = du ² + dv ² en T induce una métrica en S dada por

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=du^{2}+dv^{2}=(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})\,dx^{2}+2(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})\,dx\,dy+(u_{y}^{2}+v_{y}^{2})\,dy^{2},}$

una métrica cuya primera forma fundamental es

${\displaystyle \displaystyle {\begin{pmatrix}u_{x}^{2}+v_{x}^{2}&u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}\\u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y}&u_{y}^{2}+v_{y}^{2}\end{pmatrix}}.}$

Cuando f conserva la orientación e induce una métrica que difiere de la métrica original g solo por un factor de escala positivo y suavemente variable r ( x , y ), las nuevas coordenadas u y v definidas en S por f se denominan coordenadas isotérmicas .

Para determinar cuándo sucede esto, reinterpretamos f como una función de valor complejo de una variable compleja f ( x + i y ) = u ( x + i y ) + i v ( x + i y ) de modo que podamos aplicar las derivadas de Wirtinger :

${\displaystyle \displaystyle \partial _{z}={1 \over 2}(\partial _{x}-i\partial _{y}),\,\,\partial _{\overline {z}}={1 \over 2}(\partial _{x}+i\partial _{y});\,\,\,\,dz=dx+i\,dy,\,\,d{\overline {z}}=dx-i\,dy.}$

Desde

${\displaystyle \displaystyle f_{z}=((u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y}))/2}$

${\displaystyle \displaystyle f_{\overline {z}}=((u_{x}-v_{y})+i(v_{x}+u_{y}))/2,}$

La métrica inducida por f está dada por

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=|f_{z}\,dz+f_{\overline {z}}d{\overline {z}}|^{2}=|f_{z}|^{2}\,\left|dz+{f_{\overline {z}} \over f_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2}.}$

El cociente de Beltrami de esta métrica inducida se define como . ${\displaystyle f_{\overline {z}}/f_{z}}$

El cociente de Beltrami de es igual al coeficiente de Beltrami de la métrica original g justo cuando ${\displaystyle f_{\overline {z}}/f_{z}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mu (z)}$

${\displaystyle \displaystyle ((u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y})){\bigl (}E-G+2iF{\bigr )}}$

${\displaystyle =((u_{x}-v_{y})+i(v_{x}+u_{y})){\bigl (}E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}{\bigr )}.}$

Las partes reales e imaginarias de esta identidad se relacionan linealmente y al resolver y se obtiene ${\displaystyle u_{x},}$ ${\displaystyle u_{y},}$ ${\displaystyle v_{x},}$ ${\displaystyle v_{y},}$ ${\displaystyle u_{y}}$ ${\displaystyle v_{y}}$

${\displaystyle \displaystyle u_{y}={\frac {Fu_{x}-{\sqrt {EG-F^{2}}}\,v_{x}}{E}}\quad {\text{and}}\quad v_{y}={\frac {{\sqrt {EG-F^{2}}}\,u_{x}+Fv_{x}}{E}}.}$

De ello se deduce que la métrica inducida por f es entonces r ( x , y ) g ( x , y ), donde que es positiva, mientras que el jacobiano de f es entonces que también es positivo. Por lo tanto, cuando el nuevo sistema de coordenadas dado por f es isotérmico. ${\displaystyle r=(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})/E,}$ ${\displaystyle r{\sqrt {EG-F^{2}}},}$ ${\displaystyle f_{\overline {z}}/f_{z}=\mu (z),}$

Por el contrario, consideremos un difeomorfismo f que nos dé coordenadas isotérmicas. Entonces tenemos

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={\frac {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})-(u_{y}+v_{y})^{2}+2i(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})}{(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})+(u_{y}^{2}+v_{y})^{2}+2{\sqrt {(u_{x}^{2}+v_{x}^{2})(u_{y}^{2}+v_{y}^{2})-(u_{x}u_{y}+v_{x}v_{y})^{2}}}}},}$

donde el factor de escala r ( x , y ) ha desaparecido y la expresión dentro de la raíz cuadrada es el cuadrado perfecto. Dado que f debe preservar la orientación para dar coordenadas isotérmicas, el jacobiano es la raíz cuadrada positiva; por lo que tenemos ${\displaystyle u_{x}^{2}v_{y}^{2}-2u_{x}v_{x}u_{y}v_{y}+v_{x}^{2}u_{y}^{2}.}$ ${\displaystyle u_{x}v_{y}-v_{x}u_{y}}$

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={\frac {{\bigl (}(u_{x}+iu_{y})+i(v_{x}+iv_{y}){\bigr )}{\bigl (}(u_{x}+iu_{y})-i(v_{x}+iv_{y}){\bigr )}}{{\bigl (}(u_{x}+v_{y})+i(v_{x}-u_{y}){\bigr )}{\bigl (}(u_{x}+v_{y})-i(v_{x}-u_{y}){\bigr )}}}.}$

Los factores de la derecha en el numerador y denominador son iguales y, dado que el jacobiano es positivo, su valor común no puede ser cero; por lo tanto ${\displaystyle \mu (z)=f_{\overline {z}}/f_{z}.}$

Por lo tanto, el sistema de coordenadas local dado por un difeomorfismo f es isotérmico justo cuando f resuelve la ecuación de Beltrami para ${\displaystyle \mu (z).}$

Coordenadas isotérmicas para métricas analíticas

Gauss demostró la existencia de coordenadas isotérmicas localmente en el caso analítico al reducir Beltrami a una ecuación diferencial ordinaria en el dominio complejo. ^[1] Aquí se presenta en formato de libro de cocina la técnica de Gauss.

Un sistema de coordenadas isotérmicas, digamos en un entorno del origen ( x , y ) = (0, 0), está dado por las partes real e imaginaria de una función de valor complejo f ( x , y ) que satisface

${\displaystyle \displaystyle {f_{\overline {z}} \over f_{z}}=\mu (z)={\frac {E-G+2iF}{E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}.}$

Sea una función de este tipo y sea una función de valor complejo de variable compleja que es holomorfa y cuya derivada no es cero en ningún punto. Como cualquier función holomorfa tiene exactamente cero, tenemos ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle \psi _{\overline {z}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {(\psi \circ f)_{\overline {z}}}{(\psi \circ f)_{z}}}&={\frac {(\psi _{z}\circ f)f_{\overline {z}}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{\overline {z}}}}}{(\psi _{z}\circ f)f_{z}+(\psi _{\overline {z}}\circ f){\overline {f_{z}}}}}={\frac {f_{\overline {z}}}{f_{z}}}=\mu (z).\end{aligned}}}$

Por lo tanto, el sistema de coordenadas dado por las partes real e imaginaria de también es isotérmico. De hecho, si nos proponemos dar un sistema de coordenadas isotérmico, entonces todos los sistemas de coordenadas isotérmicos posibles están dados por para los diversos holomorfos con derivada distinta de cero. ${\displaystyle \psi \circ f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \psi \circ f}$ ${\displaystyle \psi }$

Cuando E , F y G son analíticas reales, Gauss construyó un sistema de coordenadas isotérmicas particular , eligiendo el que tiene para todo x . Por lo tanto, el eje u de su sistema de coordenadas isotérmicas coincide con el eje x de las coordenadas originales y está parametrizado de la misma manera. Todos los demás sistemas de coordenadas isotérmicas son entonces de la forma de un holomorfo con derivada distinta de cero. ${\displaystyle h(x,y)=u(x,y)+iv(x,y),}$ ${\displaystyle h(x,0)=x}$ ${\displaystyle \psi \circ h}$ ${\displaystyle \psi }$

Gauss considera q ( t ) como una función de valor complejo de una variable real t que satisface la siguiente ecuación diferencial ordinaria:

${\displaystyle \displaystyle q'(t)={\frac {-F-i{\sqrt {EG-F^{2}}}}{E}}(q(t),t),}$

donde E , F y G se evalúan aquí en y = t y x = q ( t ). Si especificamos el valor de q ( s ) para algún valor inicial s , esta ecuación diferencial determina los valores de q ( t ) para t ya sea menor o mayor que s . Gauss luego define su sistema de coordenadas isotérmicas h al establecer h ( x , y ) a lo largo de la ruta de solución de esa ecuación diferencial que pasa por el punto ( x , y ), y por lo tanto tiene q ( y ) = x . ${\displaystyle q(0)}$

Esta regla establece que h ( x , 0) sea , ya que la condición inicial es entonces q (0)= x . De manera más general, supongamos que nos alejamos un vector infinitesimal ( dx , dy ) de algún punto ( x , y ), donde dx y dy satisfacen ${\displaystyle x}$

${\displaystyle \displaystyle E\,dx+(F+i{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)\,dy=0.}$

Como , el vector ( dx , dy ) es entonces tangente a la curva solución de la ecuación diferencial que pasa por el punto ( x , y ). Como asumimos que la métrica es analítica, se deduce que ${\displaystyle q'(t)=dx/dy}$

${\displaystyle \displaystyle dh=c(x,y){\bigl (}E\,dx+(F+i{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)\,dy{\bigr )}}$

Para alguna función suave y de valor complejo, tenemos entonces ${\displaystyle c(x,y)=a(x,y)+ib(x,y).}$

${\displaystyle \displaystyle h_{z}=((aE+bF+a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE-aF+b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/2}$

${\displaystyle \displaystyle h_{\overline {z}}=((aE-bF-a{\sqrt {EG-F^{2}}}\,)+i(bE+aF-b{\sqrt {EG-F^{2}}}\,))/2.}$

Formamos el cociente y luego multiplicamos numerador y denominador por , que es el complejo conjugado del denominador. Simplificando el resultado, encontramos que ${\displaystyle h_{\overline {z}}/h_{z}}$ ${\displaystyle {\overline {h_{z}}}}$

${\displaystyle \displaystyle {h_{\overline {z}} \over h_{z}}={\frac {(a^{2}+b^{2})E\;(E-G+2iF)}{(a^{2}+b^{2})E\;(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}})}}={\frac {E-G+2iF}{E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}}}=\mu (z).}$

La función h de Gauss proporciona las coordenadas isotérmicas deseadas.

Solución enyo2para coeficientes de Beltrami suaves

En los casos más simples, la ecuación de Beltrami se puede resolver utilizando únicamente técnicas de espacio de Hilbert y la transformada de Fourier. El método de demostración es el prototipo para la solución general utilizando espacios L ^p , aunque Adrien Douady ha indicado un método para manejar el caso general utilizando únicamente espacios de Hilbert: el método se basa en la teoría clásica de aplicaciones cuasiconformales para establecer estimaciones de Hölder que son automáticas en la teoría L ^p para p > 2. ^[2] Sea T la transformada de Beurling sobre L ² ( C ) definida sobre la transformada de Fourier de una función L ² f como operador de multiplicación:

${\displaystyle \displaystyle {\widehat {Tf}}(z)={{\overline {z}} \over z}{\widehat {f}}(z).}$

Es un operador unitario y si f es una distribución templada en C con derivadas parciales en L ² entonces

${\displaystyle \displaystyle T(f_{\overline {z}})=f_{z},}$

donde los subíndices denotan derivadas parciales complejas.

La solución fundamental del operador

${\displaystyle D=\partial _{\overline {z}}}$

viene dada por la distribución

${\displaystyle \displaystyle {E(z)={1 \over \pi z},}}$

una función localmente integrable en C . Por lo tanto, en las funciones de Schwartz f

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{\overline {z}}(E\star f)=f.}}$

Lo mismo se aplica a distribuciones de soporte compacto en C . En particular, si f es una función L ² con soporte compacto, entonces su transformada de Cauchy , definida como

${\displaystyle \displaystyle {Cf=E\star f,}}$

es integrable localmente al cuadrado. La ecuación anterior se puede escribir

${\displaystyle \displaystyle {(Cf)_{\overline {z}}=f.}}$

Además, aún considerando f y Cf como distribuciones,

${\displaystyle \displaystyle (Cf)_{z}=Tf.}$

De hecho, el operador D se da en las transformadas de Fourier como multiplicación por iz /2 y C como multiplicación por su inverso.

Ahora en la ecuación de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle f_{\overline {z}}=\mu f_{z},}$

con μ una función suave de soporte compacto, establezca

${\displaystyle \displaystyle g(z)=f(z)-z}$

y supongamos que las primeras derivadas de g son L ² . Sea h = g _z = f _z – 1. Entonces

${\displaystyle \displaystyle h=g_{z}=T(g_{\overline {z}})=T(f_{\overline {z}})=T(\mu f_{z})=T(\mu h)+T\mu }$

Si A y B son los operadores definidos por

${\displaystyle \displaystyle {AF=T\mu F,\,\,\,\,BF=\mu TF}}$

entonces sus normas de operador son estrictamente menores que 1 y

${\displaystyle \displaystyle {(I-A)h=T\mu .}}$

Por eso

${\displaystyle \displaystyle {h=(I-A)^{-1}T\mu ,\,\,\,T^{*}h=(I-B)^{-1}\mu }}$

donde los lados derechos se pueden desarrollar como series de Neumann . Se deduce que

${\displaystyle \displaystyle {g_{\overline {z}}=T^{*}h,}}$

tiene el mismo soporte que μ y g . Por lo tanto f está dada por

${\displaystyle \displaystyle {f(z)=CT^{*}h(z)+z.}}$

Ahora se puede utilizar la regularidad elíptica para deducir que f es suave.

De hecho, a partir del soporte de μ ,

${\displaystyle \displaystyle \partial _{\overline {z}}f=0,}$

Así pues, por el lema de Weyl, f es holomorfo par para | z | > R . Puesto que f = CT*h + z , se deduce que f tiende a 0 uniformemente cuando | z | tiende a ∞.

El argumento de regularidad elíptica para demostrar la suavidad, sin embargo, es el mismo en todas partes y utiliza la teoría de espacios de Sobolev L ^{2 en el toro. [3]} Sea ψ una función suave de apoyo compacto en C , idénticamente igual a 1 en un entorno del apoyo de μ y sea F = ψ f . El apoyo de F se encuentra en un cuadrado grande | x |, | y | ≤ R , por lo que, identificando los lados opuestos del cuadrado, F y μ pueden considerarse como una distribución y una función suave en un toro T ² . Por construcción, F está en L ² ( T ² ). Como distribución en T ² satisface

${\displaystyle \displaystyle F_{\overline {z}}=\mu F_{z}+GF,}$

donde G es suave. Sobre la base canónica e _m de L ² ( T ² ) con m en Z + i Z , defina

${\displaystyle \displaystyle {Ue_{m}={{\overline {m}} \over m}e_{m}\,\,(m\neq 0),Ue_{0}=e_{0}.}}$

Por lo tanto, U es una función unitaria y sobre polinomios trigonométricos o suaves P

${\displaystyle \displaystyle {U(P_{\overline {z}})=P_{z}.}}$

De manera similar, se extiende a un unitario en cada espacio de Sobolev H _k ( T ² ) con la misma propiedad. Es la contraparte en el toro de la transformada de Beurling. La teoría estándar de operadores de Fredholm muestra que los operadores correspondientes a I – μ U e I – U μ son invertibles en cada espacio de Sobolev. Por otra parte,

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{z}(I-U\mu )F=UG.}}$

Como UG es suave, también lo es ( I – μU ) F y, por lo tanto, también F .

Por lo tanto, la función original f es suave. Considerada como una función de C = R ² en sí misma, el jacobiano está dado por

${\displaystyle \displaystyle {J(f)=|f_{z}|^{2}-|f_{\overline {z}}|^{2}=|f_{z}|^{2}(1-|\mu |^{2}).}}$

Este jacobiano no desaparece en ningún momento según un argumento clásico de Ahlfors (1966). De hecho, al escribir formalmente f _z = e ^k , se sigue que

${\displaystyle \displaystyle {k_{\overline {z}}=\mu k_{z}+\mu _{z}.}}$

Esta ecuación para k se puede resolver con los mismos métodos que los anteriores, dando una solución que tiende a 0 en ∞. Por unicidad h + 1 = e ^k de modo que

${\displaystyle \displaystyle {J(f)=(1-|\mu |^{2})|e^{2k}|}}$

no se desvanece en ninguna parte. Puesto que f induce una función suave de la esfera de Riemann C ∪ ∞ en sí misma que es localmente un difeomorfismo, f debe ser un difeomorfismo. De hecho , f debe ser sobre por la conexidad de la esfera, puesto que su imagen es un subconjunto abierto y cerrado; pero entonces, como función de recubrimiento , f debe cubrir cada punto de la esfera el mismo número de veces. Puesto que solo ∞ se envía a ∞, se sigue que f es uno a uno.

La solución f es un difeomorfismo conforme cuasiconformal. Estos forman un grupo y sus coeficientes de Beltrami se pueden calcular según la siguiente regla: ^[4]

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{g\circ f^{-1}}\circ f={f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}{\mu _{g}-\mu _{f} \over 1-{\overline {\mu _{f}}}\mu _{g}}.}}$

Además, si f (0) = 0 y

${\displaystyle \displaystyle {g(z)=f(z^{-1})^{-1},}}$

entonces ^[5]

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{g}(z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}\mu _{f}(z^{-1}).}}$

Esta fórmula refleja el hecho de que en una superficie de Riemann , un coeficiente de Beltrami no es una función. Bajo un cambio holomórfico de coordenadas w = w ( z ), el coeficiente se transforma en

${\displaystyle \displaystyle {{\widetilde {\mu }}(w)=(w^{\prime }/{\overline {w^{\prime }}})\cdot \mu (z).}}$

Definiendo un coeficiente de Beltrami suave en la esfera de esta manera, si μ es dicho coeficiente, entonces, tomando una función de relieve suave ψ igual a 0 cerca de 0, igual a 1 para | z | > 1 y satisfaciendo 0 ≤ ψ ≤ 1, μ se puede escribir como una suma de dos coeficientes de Beltrami:

${\displaystyle \displaystyle {\mu =\psi \mu +(1-\psi )\mu =\mu _{0}+\mu _{\infty }.}}$

Sea g el difeomorfismo cuasiconforme de la esfera que fija 0 e ∞ con coeficiente μ _∞ . Sea λ el coeficiente de Beltrami de apoyo compacto sobre C definido por

${\displaystyle \displaystyle \lambda (z)=\left[{\mu _{0} \over 1-\mu {\overline {\mu _{\infty }}}}{g_{z} \over {\overline {g_{z}}}}\right]\circ g^{-1}(z).}$

Si f es el difeomorfismo cuasiconformal de la esfera que fija 0 y ∞ con coeficiente λ, entonces las fórmulas de transformación anteriores muestran que f ∘ g ⁻¹ es un difeomorfismo cuasiconformal de la esfera que fija 0 y ∞ con coeficiente μ .

Las soluciones de la ecuación de Beltrami se restringen a los difeomorfismos del semiplano superior o del disco unitario si el coeficiente μ tiene propiedades de simetría adicionales; ^[6] dado que las dos regiones están relacionadas por una transformación de Möbius (la transformada de Cayley), los dos casos son esencialmente los mismos.

Para el semiplano superior Im z > 0, si μ satisface

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={\overline {\mu ({\overline {z}})}},}$

entonces por unicidad la solución f de la ecuación de Beltrami satisface

${\displaystyle \displaystyle f(z)={\overline {f({\overline {z}})}},}$

Por lo tanto, el eje real y, por lo tanto, el semiplano superior permanecen invariantes.

De manera similar para el disco unitario | z | < 1, si μ satisface

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}{\overline {\mu ({\overline {z}}^{-1})}},}$

entonces por unicidad la solución f de la ecuación de Beltrami satisface

${\displaystyle \displaystyle {f(z)={\overline {f({\overline {z}}^{-1})}}^{-1},}}$

Esto deja invariable el círculo unitario y, por lo tanto, el disco unitario.

Por el contrario, los coeficientes de Beltrami definidos en los cierres del semiplano superior o del disco unitario que satisfacen estas condiciones en el límite se pueden "reflejar" utilizando las fórmulas anteriores. Si las funciones extendidas son suaves, se puede aplicar la teoría precedente. De lo contrario, las extensiones serán continuas pero con un salto en las derivadas en el límite. En ese caso, se requiere la teoría más general para coeficientes medibles μ y se maneja más directamente dentro de la teoría L ^{p .}

Teorema de aplicación de Riemann suave

Sea U un dominio abierto simplemente conexo en el plano complejo con un borde liso que contiene 0 en su interior y sea F un difeomorfismo del disco unidad D sobre U que se extiende suavemente hasta el borde y la identidad en un entorno de 0. Supóngase que además la métrica inducida en el cierre del disco unidad puede reflejarse en el círculo unidad para definir una métrica lisa en C . El coeficiente de Beltrami correspondiente es entonces una función lisa en C que se desvanece cerca de 0 e ∞ y satisface

${\displaystyle \displaystyle \mu (z)={z^{2} \over {\overline {z}}^{2}}{\overline {\mu ({\overline {z}}^{-1})}}^{-1}.}$

El difeomorfismo cuasiconformal h de C satisface

${\displaystyle \displaystyle {h_{\overline {z}}=\mu (z)h_{z}}}$

Conserva el círculo unitario junto con su interior y exterior. De las fórmulas de composición para los coeficientes de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{F\circ h^{-1}}=0,}}$

de modo que f = F ∘ h ⁻¹ es un difeomorfismo suave entre las clausuras de D y U que es holomorfo en el interior. Por lo tanto, si se puede construir un difeomorfismo F adecuado, la aplicación f demuestra el teorema de aplicación suave de Riemann para el dominio U .

Para producir un difeomorfismo F con las propiedades anteriores, se puede suponer después de una transformación afín que el borde de U tiene una longitud de 2π y que 0 se encuentra en U . La versión suavizada del teorema de Schoenflies produce un difeomorfismo suavizado G desde la clausura de D hasta la clausura de u igual a la identidad en un entorno de 0 y con una forma explícita en un entorno tubular del círculo unitario. De hecho, tomando coordenadas polares ( r , θ ) en R ² y dejando ( x ( θ ), y ( θ )) ( θ en [0,2 π ]) como una parametrización de ∂ U por la longitud de arco, G tiene la forma

${\displaystyle \displaystyle G(r,\theta )=(x(\theta )-(1-r)y^{\prime }(\theta ),y(\theta )+(1-r)x^{\prime }(\theta )).}$

Tomando t = 1 − r como parámetro, la métrica inducida cerca del círculo unitario está dada por

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=(1+t\kappa (\theta ))^{2}d\theta ^{2}+dt^{2},}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle \kappa (\theta )=y^{\prime \prime }(\theta )x^{\prime }(\theta )-x^{\prime \prime }(\theta )y^{\prime }(\theta )}$

es la curvatura de la curva plana ( x ( θ ), y ( θ )).

Dejar

${\displaystyle \displaystyle \alpha ={1 \over 2\pi }\int _{0}^{2\pi }\kappa (\theta )\,d\theta ,\,\,\,h(\theta )=\kappa (\theta )-\alpha .}$

Después de un cambio de variable en la coordenada t y un cambio conforme en la métrica, la métrica toma la forma

${\displaystyle \displaystyle ds^{2}=(1+t\psi (t)h(\theta ))^{2}d\theta ^{2}+dt^{2},}$

donde ψ es una función analítica de valor real de t :

${\displaystyle \displaystyle \psi (t)=1+a_{1}t+a_{2}t^{2}+\cdots }$

Un difeomorfismo formal que envía ( θ , t ) a ( f ( θ , t ), t ) se puede definir como una serie de potencias formal en t :

${\displaystyle \displaystyle f(\theta ,t)=\theta +f_{1}(\theta )t+f_{2}(\theta )t^{2}+\cdots =\theta +g(\theta ,t)}$

donde los coeficientes f _n son funciones suaves en el círculo. Estos coeficientes se pueden definir por recurrencia de modo que la métrica transformada solo tenga potencias pares de t en los coeficientes. Esta condición se impone exigiendo que no aparezcan potencias impares de t en la expansión formal de la serie de potencias:

${\displaystyle \left[1+t\psi (t)\left(\sum _{n\geq 0}h^{(n)}g^{n}/n!\right)\right]\cdot \left[(1+g^{\prime })\,d\theta +\left(\sum _{n\geq 1}nf_{n}t^{n-1}\right)\,dt\right].}$

Por el lema de Borel , existe un difeomorfismo definido en un entorno del círculo unidad, t = 0, para el cual la expresión formal f ( θ , t ) es la expansión en serie de Taylor en la variable t . De ello se deduce que, después de componer con este difeomorfismo, la extensión de la métrica obtenida por reflexión en la recta t = 0 es suave.

Hölder continuidad de soluciones

Douady y otros han indicado formas de extender la teoría L ² para probar la existencia y unicidad de soluciones cuando el coeficiente de Beltrami μ está acotado y es medible con L ^∞ norma k estrictamente menor que uno. Su enfoque implicó la teoría de aplicaciones cuasiconformales para establecer directamente que las soluciones de la ecuación de Beltrami cuando μ es suave con soporte compacto fijo son uniformemente continuas de Hölder . ^[7] En el enfoque L ^p la continuidad de Hölder se sigue automáticamente de la teoría de operadores.

La teoría L ^p cuando μ es suave o de soporte compacto procede como en el caso L ² . Por la teoría de Calderón-Zygmund se sabe que la transformada de Beurling y su inversa son continuas para la norma L ^p . El teorema de convexidad de Riesz-Thorin implica que las normas C ^p son funciones continuas de p . En particular, C _p tiende a 1 cuando p tiende a 2.

En la ecuación de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle {f_{\overline {z}}=\mu f_{z},}}$

con μ una función suave de soporte compacto, establezca

${\displaystyle \displaystyle g(z)=f(z)-z}$

y supongamos que las primeras derivadas de g son L ^p . Sea h = g _z = f _z – 1. Entonces

${\displaystyle \displaystyle {h=g_{z}=T(g_{\overline {z}})=T(f_{\overline {z}})=T(\mu f_{z})=T(\mu h)+T\mu .}}$

Si A y B son los operadores definidos por AF = TμF y BF = μTF , entonces sus normas de operador son estrictamente menores que 1 y ( I − A ) h = T μ . Por lo tanto

${\displaystyle \displaystyle h=(I-A)^{-1}T\mu ,\,\,\,T^{-1}=(I-B)^{-1}\mu }$

donde los lados derechos se pueden desarrollar como series de Neumann . Se deduce que

${\displaystyle \displaystyle g_{\overline {z}}=T^{-1}h,}$

tiene el mismo soporte que μ y g . Por lo tanto, salvo la adición de una constante, f está dada por

${\displaystyle \displaystyle f(z)=CT^{-1}h(z)+z.}$

La convergencia de funciones con soporte compacto fijo en la norma L ^p para p > 2 implica convergencia en L ² , por lo que estas fórmulas son compatibles con la teoría L ^{2 si} p > 2.

La transformada de Cauchy C no es continua en L ² excepto como una función de oscilación media nula . ^[8] En L ^p su imagen está contenida en funciones continuas de Hölder con exponente de Hölder 1 − 2 p ⁻¹ una vez que se agrega una constante adecuada. De hecho, para una función f de soporte compacto defina

${\displaystyle {\begin{aligned}Pf(w)&=Cf(w)+\pi ^{-1}\iint _{\mathbf {C} }{f(z) \over z}\,dx\,dy\\[4pt]&=-{1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }f(z)\left({1 \over z-w}-{1 \over z}\right)\,dx\,dy=-{1 \over \pi }\iint _{\mathbf {C} }{f(z)w \over z(z-w)}\,dx\,dy.\end{aligned}}}$

Nótese que la constante se agrega de modo que Pf (0) = 0. Dado que Pf solo difiere de Cf por una constante, se deduce exactamente como en la teoría L ^{2 que}

${\displaystyle \displaystyle (Pf)_{\overline {z}}=f,\,\,\,(Pf)_{z}=Tf.}$

Además, se puede utilizar P en lugar de C para producir una solución:

${\displaystyle \displaystyle f(z)=PT^{-1}h(z)+z.}$

Por otra parte, el integrando que define a Pf está en L ^q si q ⁻¹ = 1 − p ⁻¹ . La desigualdad de Hölder implica que Pf es continua de Hölder con una estimación explícita:

${\displaystyle \displaystyle |Pf(w_{1})-Pf(w_{2})|\leq K_{p}\|f\|_{p}|w_{1}-w_{2}|^{1-2/p},}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle K_{p}=\|z^{-1}(z-1)^{-1}\|_{q}/\pi .}$

Para cualquier p > 2 suficientemente cercano a 2, C _p k < 1. Por lo tanto, las series de Neumann para ( I − A ) ⁻¹ y ( I − B ) ⁻¹ convergen. Las estimaciones de Hölder para P dan las siguientes estimaciones uniformes para la solución normalizada de la ecuación de Beltrami:

${\displaystyle \displaystyle |f(w_{1})-f(w_{2})|\leq {K_{p} \over 1-\|\mu \|_{\infty }C_{p}}\|\mu \|_{p}|w_{1}-w_{2}|^{1-2/p}+|w_{1}-w_{2}|.}$

Si μ se mantiene en | z | ≤ R , entonces

${\displaystyle \displaystyle \|\mu \|_{p}\leq (\pi R^{2})^{1/p}\|\mu \|_{\infty }.}$

Si fijamos w ₁ = z y w ₂ = 0, se deduce que para | z | ≤ R

${\displaystyle \displaystyle |f(z)|\leq \left[1+{K_{p}\pi ^{1/p}\|\mu \|_{\infty } \over 1-\|\mu \|_{\infty }C_{p}}\right]\cdot R=CR,}$

donde la constante C > 0 depende únicamente de la norma L ^∞ de μ . Por lo tanto, el coeficiente de Beltrami de f ⁻¹ es suave y se soporta en z | ≤ CR . Tiene la misma norma L ^∞ que la de f . Por lo tanto, los difeomorfismos inversos también satisfacen estimaciones uniformes de Hölder.

Solución para coeficientes de Beltrami mensurables

Existencia

La teoría de la ecuación de Beltrami se puede extender a coeficientes de Beltrami medibles μ . Para simplificar, solo se considerará una clase especial de μ (adecuada para la mayoría de las aplicaciones), es decir, aquellas funciones que son suaves en un conjunto abierto Ω (el conjunto regular) con complemento Λ en un conjunto cerrado de medida cero (el conjunto singular). Por lo tanto, Λ es un conjunto cerrado que está contenido en conjuntos abiertos de área arbitrariamente pequeña. Para coeficientes de Beltrami medibles μ con soporte compacto en | z | < R , la solución de la ecuación de Beltrami se puede obtener como un límite de soluciones para coeficientes de Beltrami suaves. ^[9]

De hecho, en este caso el conjunto singular Λ es compacto. Tómese funciones suaves φ _n de soporte compacto con 0 ≤ φ _n ≤ 1, igual a 1 en un entorno de Λ y 0 en un entorno ligeramente mayor, que se encoge a Λ a medida que n aumenta.

${\displaystyle \displaystyle {\mu _{n}=(1-\varphi _{n})\cdot \mu .}}$

Los μ _n son suaves con soporte compacto en | z | < R y

${\displaystyle \displaystyle {\|\mu _{n}\|_{\infty }\leq \|\mu \|_{\infty }.}}$

Los μ _n tienden a μ en cualquier norma L ^p con p < ∞.

Las soluciones normalizadas correspondientes f _n de las ecuaciones de Beltrami y sus inversas g _n satisfacen estimaciones uniformes de Hölder. Por lo tanto, son equicontinuas en cualquier subconjunto compacto de C ; incluso son holomorfas para | z | > R . Así, por el teorema de Arzelà–Ascoli , pasando a una subsucesión si es necesario, se puede suponer que tanto f _n como g _n convergen uniformemente en compacta a f y g . Los límites satisfarán las mismas estimaciones de Hölder y serán holomorfas para | z | > R . Las relaciones f _n ∘ g _n = id = g _n ∘ f _n implican que en el límite f ∘ g = id = g ∘ f , de modo que f y g son homeomorfismos.

• Los límites f y g son débilmente diferenciables. ^[10] De hecho, sea

${\displaystyle \displaystyle {u_{n}=\partial _{\overline {z}}f_{n},\,\,v_{n}=\partial _{z}f_{n}-1.}}$

Estos se encuentran en L ^p y están uniformemente acotados:

${\displaystyle \displaystyle {\|u_{n}\|_{p},\,\,\|v_{n}\|_{p}\leq {\|\mu _{n}\|_{p} \over 1-\|\mu _{n}\|_{\infty }}.}}$

Pasando a una subsucesión si es necesario, se puede suponer que las sucesiones tienen límites débiles u y v en L ^p . Estas son las derivadas distribucionales de f ( z ) – z , ya que si ψ es suave o de soporte compacto

${\displaystyle \displaystyle {\iint u\cdot \psi =\lim \iint u_{n}\cdot \psi =-\lim \iint f_{n}\cdot \partial _{\overline {z}}\psi =-\iint f\cdot \partial _{\overline {z}}\psi ,}}$

y de manera similar para v . Un argumento similar se aplica para g utilizando el hecho de que los coeficientes de Beltrami de g _n están soportados en un disco cerrado fijo.

• f satisface la ecuación de Beltrami con coeficiente de Beltrami μ . ^[11] De hecho, la relación u = μ ⋅ v + μ se sigue por continuidad de la relación u _n = μ _n ⋅ v _n + μ _n . Basta con mostrar que μ _n ⋅ v _n tiende débilmente a μ ⋅ v . La diferencia puede escribirse

${\displaystyle \displaystyle {\mu v-\mu _{n}v_{n}=\mu (v-v_{n})+(\mu -\mu _{n})v_{n}.}}$

El primer término tiende débilmente a 0, mientras que el segundo término es igual a μ φ _n v _n . Los términos están uniformemente acotados en L ^p , por lo que para comprobar la convergencia débil a 0 basta comprobar los productos internos con un subconjunto denso de L ² . Los productos internos con funciones de soporte compacto en Ω son cero para n suficientemente grande.

• f lleva conjuntos cerrados de medida cero a conjuntos cerrados de medida cero. ^[12] Basta con comprobar esto para un conjunto compacto K de medida cero. Si U es un conjunto abierto acotado que contiene a K y J denota el jacobiano de una función, entonces

${\displaystyle {\begin{aligned}A(f_{n}(U))&=\iint _{U}J(f_{n})\,dx\,dy=\iint _{U}|\partial _{z}f_{n}|^{2}-|\partial _{\overline {z}}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\\[4pt]&\leq \iint _{U}|\partial _{z}f_{n}|^{2}\,dx\,dy\leq \|\partial _{z}f_{n}|_{U}\|_{p}^{2}\,A(U)^{1-2/p}.\end{aligned}}}$

Así, si A ( U ) es pequeño, también lo es A ( f _n ( U )). Por otra parte, f _n ( U ) eventualmente contiene a f ( K ), pues al aplicar la inversa g _n , U eventualmente contiene a g _n ∘ f ( K ) ya que g _n ∘ f tiende uniformemente a la identidad en compacta. Por lo tanto, f ( K ) tiene medida cero.

• f es uniforme en el conjunto regular Ω de μ . Esto se desprende de los resultados de regularidad elíptica de la teoría L ² .
• f tiene un jacobiano no nulo allí. En particular, f _z ≠ 0 en Ω. ^[13] De hecho, para z ₀ en Ω, si n es lo suficientemente grande

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{\overline {z}}(f\circ g_{n})=0}}$

cerca de z ₁ = f _n ( z ₀ ). Por lo tanto , h = f ∘ g _n es holomorfo cerca de z ₁ . Como localmente es un homeomorfismo, h ' ( z ₁ ) ≠ 0. Como f = h ∘ f _n . se deduce que el jacobiano de f no es cero en z ₀ . Por otra parte, J ( f ) = | f _z | ² (1 − | μ| ² ), por lo que f _z ≠ 0 en z ₀ .

• g satisface la ecuación de Beltrami con coeficiente de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(f(z))=-{f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}\cdot \mu (z)}}$

o equivalentemente

${\displaystyle \displaystyle {\mu ^{\prime }(w)=-{{\overline {g_{w}}} \over g_{w}}\cdot \mu (g(w))}}$

en el conjunto regular Ω ' = f (Ω), con el conjunto singular correspondiente Λ ' = f (Λ).

• g satisface la ecuación de Beltrami para μ ′. De hecho, g tiene derivadas distribucionales débiles en 1 + L ^p y L ^p . Al emparejarlas con funciones suaves de soporte compacto en Ω, estas derivadas coinciden con las derivadas reales en los puntos de Ω. Como Λ tiene medida cero, las derivadas distribucionales son iguales a las derivadas reales en L ^p . Por lo tanto, g satisface la ecuación de Beltrami, ya que las derivadas reales sí lo hacen.
• Si f * y f son soluciones construidas como se indicó anteriormente para μ * y μ entonces f * ∘ f ⁻¹ satisface la ecuación de Beltrami para

${\displaystyle \displaystyle \nu (f(z))={f_{z} \over {\overline {f_{z}}}}\,{\mu ^{*}-\mu \over 1-{\overline {\mu }}\mu ^{*}},}$

definido en Ω ∩ Ω*. Las derivadas débiles de f * ∘ f ⁻¹ están dadas por las derivadas reales en Ω ∩ Ω*. De hecho, esto se deduce de la aproximación de f * y g = f ⁻¹ por f * _n y g _n . Las derivadas están uniformemente acotadas en 1 + L ^p y L ^p , de modo que, como antes, los límites débiles dan las derivadas distribucionales de f * ∘ f ⁻¹ . Al emparejarlas con funciones suaves de soporte compacto en Ω ∩ Ω*, estas concuerdan con las derivadas usuales. Por lo tanto, las derivadas distribucionales están dadas por las derivadas usuales de Λ ∪ Λ*, un conjunto de medida cero.

Esto establece la existencia de soluciones homeomorfas de la ecuación de Beltrami en el caso de coeficientes de Beltrami de soporte compacto. También muestra que los homeomorfismos inversos y compuestos satisfacen las ecuaciones de Beltrami y que todos los cálculos se pueden realizar restringiendo el uso de conjuntos regulares.

Si el soporte no es compacto, se puede utilizar el mismo truco utilizado en el caso liso para construir una solución en términos de dos homeomorfismos asociados a coeficientes de Beltrami con soporte compacto. Nótese que, debido a las suposiciones sobre el coeficiente de Beltrami, se puede aplicar una transformación de Möbius del plano complejo extendido para hacer compacto el conjunto singular del coeficiente de Beltrami. En ese caso, se puede elegir que uno de los homeomorfismos sea un difeomorfismo.

Unicidad

Existen varias pruebas de la unicidad de las soluciones de la ecuación de Beltrami con un coeficiente de Beltrami dado. ^[14] Dado que la aplicación de una transformación de Möbius del plano complejo a cualquier solución da otra solución, las soluciones se pueden normalizar de modo que fijen 0, 1 e ∞. El método de solución de la ecuación de Beltrami utilizando la transformada de Beurling también proporciona una prueba de unicidad para coeficientes de soporte compacto μ y para los cuales las derivadas distribucionales están en 1 + L ^p y L ^p . Las relaciones

${\displaystyle \displaystyle (P\psi )_{\overline {z}}=\psi ,\,\,\,(P\psi )_{z}=T\psi }$

para funciones suaves ψ de soporte compacto también son válidas en el sentido distribucional para funciones L ^p h ya que pueden escribirse como L ^p de ψ _n 's. Si f es una solución de la ecuación de Beltrami con f (0) = 0 y f _z - 1 en L ^p entonces

${\displaystyle \displaystyle {F=f-P(f_{\overline {z}})}}$

satisface

${\displaystyle \displaystyle {\partial _{\overline {z}}F=0.}}$

Por lo tanto, F es débilmente holomorfa. Aplicando el lema de Weyl ^[15] es posible concluir que existe una función holomorfa G que es igual a F casi en todas partes. Abusando de la notación redefinimos F:=G . Las condiciones F '(z) − 1 se dan en L ^p y F (0) = 0 fuerza F ( z ) = z . Por lo tanto

${\displaystyle \displaystyle {P(f_{\overline {z}})=f(z)+z}}$

y así diferenciarse

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}=T(\mu f_{z})+1.}}$

Si g es otra solución entonces

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}-g_{z}=T(\mu (f_{z}-g_{z})).}}$

Dado que T μ tiene una norma de operador en L ^p menor que 1, esto obliga

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}=g_{z}.}}$

Pero luego de la ecuación de Beltrami

${\displaystyle \displaystyle {f_{\overline {z}}=g_{\overline {z}}.}}$

Por lo tanto, f − g es tanto holomorfa como antiholomorfa, por lo que es una constante. Como f (0) = 0 = g (0), se sigue que f = g . Nótese que como f es holomorfa fuera del soporte de μ y f (∞) = ∞, las condiciones de que las derivadas estén localmente en L ^p fuerzan

${\displaystyle \displaystyle {f_{z}-1,\,\,f_{\overline {z}}\in L^{p}(\mathbf {C} ).}}$

Para una f general que satisface la ecuación de Beltrami y con derivadas distribucionales localmente en L ^p , se puede suponer después de aplicar una transformación de Möbius que 0 no está en el conjunto singular del coeficiente de Beltrami μ . Si g es un difeomorfismo suave g con coeficiente de Beltrami λ soportado cerca de 0, el coeficiente de Beltrami ν para f ∘ g ⁻¹ se puede calcular directamente utilizando la fórmula de cambio de variables para derivadas distribucionales:

${\displaystyle \displaystyle \nu (g(z))={g_{z} \over {\overline {g_{z}}}}\,{\mu -\lambda \over 1-{\overline {\lambda }}\mu }.}$

λ puede elegirse de modo que ν se anule cerca de cero. La aplicación de la función z ⁻¹ da como resultado una solución de la ecuación de Beltrami con un coeficiente de Beltrami de soporte compacto. Las derivadas direccionales siguen estando localmente en L ^p . El coeficiente ν depende solo de μ , λ y g , por lo que dos soluciones cualesquiera de la ecuación original producirán soluciones cercanas a 0 con derivadas distribucionales localmente en L ^p y el mismo coeficiente de Beltrami. Por lo tanto, son iguales. Por lo tanto, las soluciones de la ecuación original son iguales.

Uniformización de dominios planares conexos múltiples

El método empleado para demostrar el teorema de aplicación suave de Riemann se puede generalizar para multiplicar las regiones planas conexas con un borde suave. El coeficiente de Beltrami en estos casos es suave en un conjunto abierto, cuyo complemento tiene medida cero. Por lo tanto, se requiere la teoría de la ecuación de Beltrami con coeficientes mensurables. ^{[16] [17]}

Dominios doblemente conexos. Si Ω es una región plana doblemente conexa, entonces hay un difeomorfismo F de un anillo r ≤ |z| ≤ 1 sobre el cierre de Ω, tal que después de un cambio conforme la métrica inducida en el anillo puede continuar suavemente por reflexión en ambos límites. El anillo es un dominio fundamental para el grupo generado por las dos reflexiones, que invierten la orientación. Las imágenes del dominio fundamental bajo el grupo llenan C con 0 eliminado y el coeficiente de Beltrami es suave allí. La solución canónica h de la ecuación de Beltrami en C , por la teoría L ^p es un homeomorfismo. Es suave lejos de 0 por regularidad elíptica. Por unicidad preserva el círculo unitario, junto con su interior y exterior. La unicidad de la solución también implica que la reflexión allí es una transformación de Möbius conjugada g tal que h ∘ R = g ∘ h donde R denota reflexión en | z | = r . Componiéndolo con una transformación de Möbius que fija el círculo unitario, se puede suponer que g es una reflexión en un círculo | z | = s con s < 1. Se deduce que F ∘ h ₋₁ es un difeomorfismo suave del anillo s ≤ | z | ≤ 1 sobre la clausura de Ω, holomorfo en el interior. ^[17]

Dominios conexos múltiples. Para regiones con un mayor grado de conectividad k + 1, el resultado es esencialmente la generalización de Bers del teorema de retrosección . ^{[16] [17]} Hay un difeomorfismo suave F de la región Ω ₁ , dado por el disco unidad con k discos abiertos eliminados, sobre el cierre de Ω. Se puede suponer que 0 se encuentra en el interior del dominio. Nuevamente, después de una modificación del difeomorfismo y un cambio conforme cerca del límite, se puede suponer que la métrica es compatible con la reflexión. Sea G el grupo generado por reflexiones en los círculos límite de Ω ₁ . El interior de Ω ₁ es un dominio fundamental para G . Además, el subgrupo normal de índice dos G _{0 que consiste en aplicaciones que preservan la orientación es un} grupo Schottky clásico . Su dominio fundamental consiste en el dominio fundamental original con su reflexión en el círculo unidad agregado. Si la reflexión es R ₀ , es un grupo libre con generadores R _i ∘ R ₀ donde R _i son las reflexiones en los círculos interiores en el dominio original. Las imágenes del dominio original por G , o equivalentemente el dominio reflejado por el grupo de Schottky, completan el conjunto regular para el grupo de Schottky. Actúa allí propiamente de manera discontinua. El complemento es el conjunto límite de G ₀ . Tiene medida cero. La métrica inducida en Ω ₁ se extiende por reflexión al conjunto regular. El coeficiente de Beltrami correspondiente es invariante para el grupo de reflexión generado por las reflexiones R _i para i ≥ 0. Dado que el conjunto límite tiene medida cero, el coeficiente de Beltrami se extiende únicamente a una función medible acotada en C . suave en el conjunto regular. La solución normalizada de la ecuación de Beltrami h es un difeomorfismo suave de la clausura de Ω ₁ sobre sí mismo preservando el círculo unitario, su exterior e interior. Necesariamente h ∘ R _i = S _i ∘ h . donde S _i es la reflexión en otro círculo en el disco unitario. Observando puntos fijos, los círculos que surgen de esta manera para diferentes i deben ser disjuntos. De ello se deduce que F∘ h ⁻¹ define un difeomorfismo suave del disco unitario con el interior de estos círculos eliminado sobre el cierre de Ω, que es holomórfico en el interior.

Uniformización simultánea

Bers (1961) demostró que dos 2-variedades riemannianas compactas M ₁ , M ₂ de género g > 1 pueden uniformizarse simultáneamente.

Como los espacios topológicos M ₁ y M ₂ son homeomorfos a un cociente fijo del semiplano superior H por un subgrupo cocompacto discreto Γ de PSL(2, R ). Γ puede identificarse con el grupo fundamental de las variedades y H es un espacio de recubrimiento universal . Los homeomorfismos pueden elegirse para que sean lineales por partes en las triangulaciones correspondientes. Un resultado de Munkres (1960) implica que los homeomorfismos pueden ajustarse cerca de los bordes y los vértices de la triangulación para producir difeomorfismos. La métrica en M ₁ induce una métrica en H que es Γ-invariante. Sea μ el coeficiente de Beltrami correspondiente en H . Puede extenderse a C por reflexión.

${\displaystyle \displaystyle {\widehat {\mu }}(z)=\mu (z)\,\,(z\in \mathbf {H} ),\,\,{\widehat {\mu }}(z)=0\,\,(z\in \mathbf {R} ),\,\,{\widehat {\mu }}(z)={\overline {\mu ({\overline {z}})}}\,\,({\overline {z}}\in \mathbf {H} ).}$

Satisface la propiedad de invariancia

${\displaystyle \displaystyle {\widehat {\mu }}(g(z))={{\overline {g_{z}}} \over g_{z}}\,{\widehat {\mu }}(z),}$

para g en Γ. La solución f de la ecuación de Beltrami correspondiente define un homeomorfismo de C , que conserva el eje real y los semiplanos superior e inferior. La conjugación de los elementos del grupo por f ⁻¹ da un nuevo subgrupo cocompacto Γ ₁ de PSL(2, R ). Al componer el difeomorfismo original con la inversa de f se obtiene cero como coeficiente de Beltrami. Por lo tanto, la métrica inducida en H es invariante bajo Γ ₁ y conforme a la métrica de Poincaré en H . Por lo tanto, debe darse multiplicando por una función suave positiva que sea Γ ₁ -invariante. Cualquier función de este tipo corresponde a una función suave en M ₁ . Dividir la métrica en M ₁ por esta función da como resultado una métrica equivalente conforme en M ₁ que concuerda con la métrica de Poincaré en H / Γ ₁ . De esta manera M ₁ se convierte en una superficie de Riemann compacta , es decir, se uniformiza y hereda una estructura compleja natural.

Con este cambio conforme en la métrica, M ₁ puede identificarse con H / Γ ₁ . El difeomorfismo entre sobre M ₂ induce otra métrica sobre H que es invariante bajo Γ ₁ . Define un coeficiente de Beltrami λ omn H que esta vez se extiende a C definiendo λ como 0 para H . La solución h de la ecuación de Beltrami es un homeomorfismo de C que es holomorfo en el semiplano inferior y suave en el semiplano superior. La imagen del eje real es una curva de Jordan que divide a C en dos componentes. La conjugación de Γ ₁ por h ⁻¹ da un subgrupo cuasi-fucsiano Γ ₂ de PSL(2, C ). Deja invariante la curva de Jordan y actúa propiamente de forma discontinua sobre cada uno de los dos componentes. Los cocientes de los dos componentes por Γ ₂ se identifican naturalmente con M ₁ y M ₂ . Esta identificación es compatible con las estructuras complejas naturales tanto en M ₁ como en M ₂ .

Soldadura conformada

Se dice que un homeomorfismo que preserva la orientación f del círculo es cuasisimétrico si hay constantes positivas a y b tales que

${\displaystyle \displaystyle {{{|f(z_{1})-f(z_{2})| \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\leq a\cdot {|z_{1}-z_{2}|^{b} \over |z_{1}-z_{3}|^{b}}}.}}$

Si

${\displaystyle \displaystyle {|z_{1}-z_{2}|=|z_{1}-z_{3}|,}}$

Entonces la condición se convierte en

${\displaystyle \displaystyle {a^{-1}\leq {|f(z_{1})-f(z_{2})| \over |f(z_{1})-f(z_{3})|}\leq a.}}$

Por el contrario, si esta condición se satisface para todos esos triples de puntos, entonces f es cuasisimétrico. ^[18]

Una condición aparentemente más débil para un homeomorfismo f del círculo es que sea cuasi-Möbius , es decir, que haya constantes c , d > 0 tales que

${\displaystyle \displaystyle {|(f(z_{1}),f(z_{2});f(z_{3}),f(z_{4}))|\leq c|(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})|^{d},}}$

dónde

${\displaystyle \displaystyle {(z_{1},z_{2};z_{3},z_{4})={(z_{1}-z_{3})(z_{2}-z_{4}) \over (z_{2}-z_{3})(z_{1}-z_{4})}}}$

denota la razón cruzada . De hecho, si f es cuasisimétrica, entonces también es cuasimobius, con c = a ² y d = b : esto se deduce de la multiplicación de la primera desigualdad anterior por ( z ₁ , z ₃ , z ₄ ) y ( z ₂ , z ₄ , z ₃ ).

Por el contrario, si f es un homeomorfismo cuasi-Möbius, entonces también es cuasisimétrico. ^[19] De hecho, es inmediato que si f es cuasi-Möbius, también lo es su inversa. Entonces se sigue que f (y, por lo tanto, f ⁻¹ ) es continua de Hölder . Para ver esto, sea S el conjunto de raíces cúbicas de la unidad, de modo que si a ≠ b en S , entonces | a − b | = 2 sen π /3 = √ 3 . Para probar una estimación de Hölder, se puede suponer que x – y es uniformemente pequeño. Entonces, tanto x como y son mayores que una distancia fija de a , b en S con a ≠ b , por lo que la estimación se deduce aplicando la desigualdad cuasi-Möbius a x , a , y , b . Para comprobar que f es cuasisimétrica, basta con encontrar un límite superior uniforme para | f ( x ) − f ( y )| / | f ( x ) − f ( z )| en el caso de una tripleta con | x − z | = | x − y |, uniformemente pequeña. En este caso hay un punto w a una distancia mayor que 1 de x , y y z . Aplicando la desigualdad cuasi-Möbius a x , w , y y z se obtiene el límite superior requerido.

Un homeomorfismo f del círculo unitario puede extenderse a un homeomorfismo F del disco unitario cerrado que es difeomorfismo en su interior. Douady y Earle (1986), generalizando resultados anteriores de Ahlfors y Beurling, produjeron una extensión de este tipo con las propiedades adicionales de que conmuta con la acción de SU(1,1) mediante transformaciones de Möbius y es cuasiconforme si f es cuasisimétrica. (Tukia (1985) también encontró un método menos elemental de forma independiente: el enfoque de Tukia tiene la ventaja de que también se puede aplicar en dimensiones superiores). Cuando f es un difeomorfismo del círculo, la extensión de Alexander proporciona otra forma de extender f :

${\displaystyle \displaystyle {F(r,\theta )=r\exp[i\psi (r)g(\theta )+i(1-\psi (r))\theta ],}}$

donde ψ es una función suave con valores en [0,1], igual a 0 cerca de 0 y 1 cerca de 1, y

${\displaystyle \displaystyle {f(e^{i\theta })=e^{ig(\theta )},}}$

con g ( θ + 2 π ) = g ( θ ) + 2 π . Partyka, Sakan y Zając (1999) ofrecen un estudio de varios métodos de extensión, incluidas variantes de la extensión de Ahlfors-Beurling que son suaves o analíticas en el disco unitario abierto.

En el caso de un difeomorfismo, la extensión de Alexander F puede continuarse hasta cualquier disco mayor | z | < R con R > 1. En consecuencia, en el disco unitario

${\displaystyle \displaystyle {\|\mu \|_{\infty }<1,\,\,\,\mu (z)=F_{\overline {z}}/F_{z}.}}$

Esto también es cierto para las otras extensiones cuando f es sólo cuasisimétrica.

Ahora, extendamos μ a un coeficiente de Beltrami sobre la totalidad de C fijándolo igual a 0 para | z | ≥ 1. Sea G la solución correspondiente de la ecuación de Beltrami. Sea F ₁ ( z ) = G ∘ F ⁻¹ ( z ) para | z | ≤ 1 y F ₂ ( z ) = G ( z ) para | z | ≥ 1. Por lo tanto, F ₁ y F ₂ son aplicaciones holomorfas univalentes de | z | < 1 y | z | > 1 sobre el interior y el exterior de una curva de Jordan. Se extienden continuamente a homeomorfismos f _i del círculo unitario sobre la curva de Jordan en el borde. Por construcción, satisfacen la condición de soldadura conforme :

${\displaystyle \displaystyle {f=f_{1}^{-1}\circ f_{2}.}}$

Véase también

• Mapeo cuasiconformal
• Teorema de mapeo de Riemann medible
• Coordenadas isotérmicas

Notas

1. Spivak 1999, pp. 314–317, que son las pp. 455–460 en la primera o segunda edición, pero tenga en cuenta que hay un error tipográfico en la ecuación (**) en la página 315 o 457. El lado derecho, dado como −β/α, debería ser −α/β.
2. Ver:
   • Astala, Iwaniec y Martin 2009
   • Bers, John y Schechter 1979
   • Ahlfors 1966
   • Glutsyuk 2008
   • Douady y Buff 2000
3. Ver:
   • Bers, John y Schechter 1979
   • Glutsyuk 2008
4. Ver:
   • Ahlfors 1966, pág. 9
   • Imayoshi y Taniguchi 1992, pág. 88
5. Ahlfors 1966, pág. 98
6. Ver
   • Ahlfors 1966, pág. 99
   • Bers, John y Schechter 1979, pág. 277
7. Ver:
   • Douady y Buff 2000
   • Glutsyuk 2008
   • Ahlfors 1966
8. Astala, Iwaniec y Martin 2009
9. Ver:
   • Ahlfors 1966
   • Douady y Buff 2000
10. Douady y Buff 2000, págs. 319-320
11. Douady y Buff 2000, págs. 319-320
12. Ahlfors 1966, págs. 97-98
13. Douady y Buff 2000, pág. 321
14. Ver:
    • Ahlfors 1966
    • Imayoshi y Taniguchi 1992
    • Lehto 1987
    • Lehto y Virtanen 1973
    • Douady y Buff 2000, págs. 321–322
15. *Astala, Iwaniec y Martin 2009
16. desde 1961
17. Sibner 1965
18. Tukia y Väisälä 1980
19. Väisälä 1984

Referencias

• Ahlfors, Lars V. (1955), Conformidad con respecto a las métricas de Riemann , Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. AI, vol. 206
• Ahlfors, Lars V. (1966), Conferencias sobre aplicaciones cuasiconformales , Van Nostrand
• Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz ; Martin, Gaven (2009), Ecuaciones diferenciales parciales elípticas y aplicaciones cuasiconformales en el plano , Princeton Mathematical Series, vol. 48, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-13777-3
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