Mapa cuasisimétrico

En matemáticas , un homeomorfismo cuasisimétrico entre espacios métricos es un mapa que generaliza mapas de bi-Lipschitz . Mientras que los mapas de Bi-Lipschitz reducen o expanden el diámetro de un conjunto en no más que un factor multiplicativo, los mapas cuasisimétricos satisfacen la propiedad geométrica más débil de preservar los tamaños relativos de los conjuntos: si dos conjuntos A y B tienen diámetros t y ya no son que la distancia t , entonces la relación de sus tamaños cambia en no más que una constante multiplicativa. Estos mapas también están relacionados con mapas cuasiconformes , ya que en muchas circunstancias son de hecho equivalentes. ^[1]

Definición

Sean ( X ,  d _X ) y ( Y ,  d _Y ) dos espacios métricos . Un homeomorfismo f : X  →  Y se dice que es η-cuasimétrico si hay una función creciente η  : [0, ∞) → [0, ∞) tal que para cualquier triple x ,  y ,  z de puntos distintos en X , tenemos tener

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x),f(y))}{d_{Y}(f(x),f(z))}}\leq \eta \left({\frac {d_{X}(x,y)}{d_{X}(x,z)}}\right).}$

Propiedades básicas

Los inversos son cuasisimétricos.

Si f  :  X  →  Y es un mapa cuasisimétrico η invertible como el anterior, entonces su mapa inverso es -cuasisimétrico, donde ${\displaystyle \eta '}$ ${\textstyle \eta '(t)=1/\eta ^{-1}(1/t).}$

Los mapas cuasisimétricos preservan los tamaños relativos de los conjuntos

Si y son subconjuntos de y es un subconjunto de , entonces ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle {\frac {\eta ^{-1}({\frac {\operatorname {diam} B}{\operatorname {diam} A}})}{2}}\leq {\frac {\operatorname {diam} f(B)}{\operatorname {diam} f(A)}}\leq 2\eta \left({\frac {\operatorname {diam} B}{\operatorname {diam} A}}\right).}$

Ejemplos

Mapas débilmente cuasisimétricos

Se dice que un mapa f:X→Y es H-débilmente cuasisimétrico para algunos si para todos los triples de puntos distintos en , entonces ${\displaystyle H>0}$ ${\displaystyle x,y,z}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq H|f(x)-f(z)|\;\;\;{\text{ whenever }}\;\;\;|x-y|\leq |x-z|}$

No todos los mapas débilmente cuasisimétricos son cuasisimétricos. Sin embargo, si está conectado y y se está duplicando , entonces todos los mapas débilmente cuasisimétricos son cuasisimétricos. El atractivo de este resultado es que demostrar la cuasisimetría débil es mucho más fácil que demostrar la cuasisimetría directamente, y en muchos entornos naturales las dos nociones son equivalentes. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

mapas δ-monótonos

Un mapa monótono f : H  →  H en un espacio de Hilbert H es δ-monótono si para todo x e y en H ,

${\displaystyle \langle f(x)-f(y),x-y\rangle \geq \delta |f(x)-f(y)|\cdot |x-y|.}$

Para comprender lo que significa geométricamente esta condición, supongamos f (0) = 0 y considere la estimación anterior cuando y  = 0. Entonces implica que el ángulo entre el vector x y su imagen f ( x ) permanece entre 0 y arccos  δ  <  π /2.

Estos mapas son cuasisimétricos, aunque son una subclase mucho más estrecha de mapas cuasisimétricos. Por ejemplo, mientras que un mapa cuasisimétrico general en el plano complejo podría mapear la línea real a un conjunto de dimensiones de Hausdorff estrictamente mayor que uno, un δ -monótono siempre mapeará la línea real a un gráfico rotado de una función de Lipschitz L :ℝ → ℝ. ^[2]

Medidas de duplicación

la verdadera linea

Los homeomorfismos cuasisimétricos de la línea real consigo misma pueden caracterizarse en términos de sus derivadas. ^[3] Un homeomorfismo creciente f :ℝ → ℝ es cuasisimétrico si y sólo si existe una constante C  > 0 y una medida de duplicación μ en la recta real tal que

${\displaystyle f(x)=C+\int _{0}^{x}\,d\mu (t).}$

espacio euclidiano

Un resultado análogo se cumple en el espacio euclidiano. Supongamos que C  = 0 y reescribimos la ecuación anterior para f como

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} }\left({\frac {x-t}{|x-t|}}+{\frac {t}{|t|}}\right)d\mu (t).}$

Escribiéndolo de esta manera, podemos intentar definir un mapa usando esta misma integral, pero en su lugar integrar (lo que ahora es un integrando con valor vectorial) sobre ℝ ⁿ : si μ es una medida de duplicación en ℝ ⁿ y

${\displaystyle \int _{|x|>1}{\frac {1}{|x|}}\,d\mu (x)<\infty }$

luego el mapa

${\displaystyle f(x)={\frac {1}{2}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\left({\frac {x-y}{|x-y|}}+{\frac {y}{|y|}}\right)\,d\mu (y)}$

es cuasisimétrico (de hecho, es δ -monótono para algunos δ dependiendo de la medida μ ). ^[4]

Cuasisimetría y cuasiconformidad en el espacio euclidiano

Sean y subconjuntos abiertos de ℝ ⁿ . Si f  : Ω → Ω´ es η -cuasisimétrico, entonces también es K - cuasiconforme , donde es una constante que depende de . ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle \Omega '}$ ${\displaystyle K>0}$ ${\displaystyle \eta }$

Por el contrario, si f  : Ω → Ω´ es K -cuasiconforme y está contenida en , entonces es η -cuasisimétrica en , donde depende sólo de  . ${\displaystyle B(x,2r)}$ ${\displaystyle \Omega }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle B(x,2r)}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle K}$

Mapas cuasi-Möbius

Una condición relacionada pero más débil es la noción de mapas cuasi-Möbius donde en lugar de la relación sólo se considera la relación cruzada: ^[5]

Definición

Sean ( X ,  d _X ) y ( Y ,  d _Y ) dos espacios métricos y sea η  : [0, ∞) → [0, ∞) una función creciente. Un homeomorfismo η -cuasi-Möbius f : X  →  Y es un homeomorfismo para el cual por cada cuádruple x ,  y ,  z ,  t de puntos distintos en X , tenemos

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x),f(z))d_{Y}(f(y),f(t))}{d_{Y}(f(x),f(y))d_{Y}(f(z),f(t))}}\leq \eta \left({\frac {d_{X}(x,z)d_{X}(y,t)}{d_{X}(x,y)d_{X}(z,t)}}\right).}$

Ver también

• Extensión Douady-Earle

Referencias

1. Heinonen, Juha (2001). Conferencias sobre análisis de espacios métricos . Texto universitario. Nueva York: Springer-Verlag. págs.x+140. ISBN 978-0-387-95104-1.
2. Kovalev, Leonid V. (2007). "Geometría cuasiconforme de asignaciones monótonas". Revista de la Sociedad Matemática de Londres . 75 (2): 391–408. CiteSeerX 10.1.1.194.2458 . doi :10.1112/jlms/jdm008. 
3. Beurling, A.; Ahlfors, L. (1956). "La correspondencia de límites bajo mapeos cuasiconformes". Acta Matemáticas . 96 : 125-142. doi : 10.1007/bf02392360 .
4. Kovalev, Leonidas; Maldonado, Diego; Wu, Jang-Mei (2007). "Duplicación de medidas, monotonicidad y cuasiconformidad". Matemáticas. Z.​ 257 (3): 525–545. arXiv : matemáticas/0611110 . doi :10.1007/s00209-007-0132-5. S2CID  119716883.
5. Buyalo, Sergei; Schroeder, Viktor (2007). Elementos de geometría asintótica . Monografías de EMS en Matemáticas. Sociedad Matemática Estadounidense. pag. 209.ISBN​ 978-3-03719-036-4.