stringtranslate.com

Estado del titular

En matemáticas , una función real o compleja f en un espacio euclidiano de dimensión d satisface una condición de Hölder , o es continua de Hölder , cuando hay constantes reales C ≥ 0 , α > 0 , tales que para todo x e y en el dominio de f . De manera más general, la condición se puede formular para funciones entre dos espacios métricos cualesquiera . El número se denomina exponente de la condición de Hölder. Una función en un intervalo que satisface la condición con α > 1 es constante (ver prueba a continuación). Si α = 1 , entonces la función satisface una condición de Lipschitz . Para cualquier α > 0 , la condición implica que la función es uniformemente continua . La condición recibe su nombre de Otto Hölder .

Tenemos la siguiente cadena de inclusiones para funciones definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] de la recta real con a < b :

Continuamente diferenciable Lipschitz continua -Hölder continua uniformemente continua = continua ,

donde 0 < α ≤ 1 .

Espacios de Hölder

Los espacios de Hölder que consisten en funciones que satisfacen una condición de Hölder son básicos en áreas de análisis funcional relevantes para resolver ecuaciones diferenciales parciales y en sistemas dinámicos . El espacio de Hölder C k , α (Ω) , donde Ω es un subconjunto abierto de algún espacio euclidiano y k ≥ 0 un entero, consiste en aquellas funciones en Ω que tienen derivadas continuas hasta el orden k y tales que las derivadas parciales k -ésimas son continuas de Hölder con exponente α , donde 0 < α ≤ 1 . Este es un espacio vectorial topológico localmente convexo . Si el coeficiente de Hölder es finito, entonces se dice que la función f es (uniformemente) continua de Hölder con exponente α en Ω . En este caso, el coeficiente de Hölder sirve como una seminorma . Si el coeficiente de Hölder está simplemente acotado en subconjuntos compactos de Ω , entonces se dice que la función f es localmente continua en Hölder con exponente α en Ω .

Si la función f y sus derivadas hasta el orden k están acotadas en el cierre de Ω, entonces al espacio de Hölder se le puede asignar la norma donde β varía sobre índices múltiples y

Estas seminormas y normas se denotan a menudo simplemente como y o también como y para enfatizar la dependencia del dominio de f . Si Ω es abierto y acotado, entonces es un espacio de Banach con respecto a la norma .

Incorporación compacta de espacios de Hölder

Sea Ω un subconjunto acotado de algún espacio euclidiano (o, más generalmente, cualquier espacio métrico totalmente acotado) y sean 0 < α < β ≤ 1 dos exponentes de Hölder. Entonces, hay una función de inclusión obvia de los espacios de Hölder correspondientes: que es continua ya que, por definición de las normas de Hölder, tenemos:

Además, esta inclusión es compacta, lo que significa que los conjuntos acotados en la norma ‖ · ‖ 0,β son relativamente compactos en la norma ‖ · ‖ 0,α . Esta es una consecuencia directa del teorema de Ascoli-Arzelà . De hecho, sea ( u n ) una sucesión acotada en C 0,β (Ω) . Gracias al teorema de Ascoli-Arzelà podemos suponer sin pérdida de generalidad que u nu uniformemente, y también podemos suponer u = 0 . Entonces, debido a que

Ejemplos

Prueba

Consideremos el caso en el que . Entonces , por lo que el cociente de diferencias converge a cero cuando . Por lo tanto, existe y es cero en todas partes. El teorema del valor medio ahora implica que es constante. QED

Idea alternativa: Fijar y dividir en donde . Entonces como , debido a . Por lo tanto . QED

Propiedades

Véase también

Notas

  1. ^ Hardy, GH (1916). "Función no diferenciable de Weierstrass". Transacciones de la American Mathematical Society . 17 (3): 301–325. doi :10.2307/1989005. JSTOR  1989005.
  2. ^ Véase, por ejemplo, Han y Lin, Capítulo 3, Sección 1. Este resultado se debió originalmente a Sergio Campanato .

Referencias