Teorema de Arzelà-Ascoli

Cuando una familia de funciones reales y continuas tiene una subsecuencia uniformemente convergente

El teorema de Arzelà-Ascoli es un resultado fundamental del análisis matemático que proporciona las condiciones necesarias y suficientes para decidir si cada secuencia de una familia dada de funciones continuas con valores reales definida en un intervalo cerrado y acotado tiene una subsecuencia uniformemente convergente . La condición principal es la equicontinuidad de la familia de funciones. El teorema es la base de muchas pruebas en matemáticas, incluida la del teorema de existencia de Peano en la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias , el teorema de Montel en análisis complejo y el teorema de Peter-Weyl en análisis armónico y varios resultados relacionados con la compacidad de operadores integrales .

La noción de equicontinuidad fue introducida a finales del siglo XIX por los matemáticos italianos Cesare Arzelà y Giulio Ascoli . Ascoli (1883-1884), quien estableció la condición suficiente para la compacidad, y Arzelà (1895), quien estableció la condición necesaria y dio la primera presentación clara del resultado, demostró una forma débil del teorema. Fréchet (1906) demostró una generalización adicional del teorema a conjuntos de funciones continuas de valores reales con dominio en un espacio métrico compacto (Dunford y Schwartz 1958, p. 382). Las formulaciones modernas del teorema permiten que el dominio sea compacto de Hausdorff y que el rango sea un espacio métrico arbitrario. Existen formulaciones más generales del teorema que brindan las condiciones necesarias y suficientes para que una familia de funciones de un espacio de Hausdorff generado de manera compacta a un espacio uniforme sea compacta en la topología compacta-abierta ; véase Kelley (1991, página 234).

Declaración y primeras consecuencias

Por definición, una secuencia de funciones continuas en un intervalo I = [ a , b ] está uniformemente acotada si existe un número M tal que ${\displaystyle \{f_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$

${\displaystyle \left|f_{n}(x)\right|\leq M}$

para cada función f _n perteneciente a la secuencia, y cada x ∈ [ a , b ] . (Aquí, M debe ser independiente de n y x ).  

Se dice que la secuencia es uniformemente equicontinua si, para cada ε > 0 , existe un δ > 0 tal que

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|<\varepsilon }$

cuando sea | x − y | < δ  para todas las funciones f _n en la secuencia. (Aquí, δ puede depender de ε , pero no de x , y o n ).  

Una versión del teorema se puede enunciar de la siguiente manera:

Considere una secuencia de funciones continuas de valores reales {  f _n  } _{n ∈ N} definidas en un intervalo cerrado y acotado [ a , b ] de la recta real . Si esta secuencia es uniformemente acotada y uniformemente equicontinua , entonces existe una subsucesión {  f _{n k}  } _{k ∈ N} que converge uniformemente .

Lo contrario también es cierto, en el sentido de que si cada subsecuencia de {  f _n  } tiene una subsecuencia uniformemente convergente, entonces {  f _n  } es uniformemente acotada y equicontinua.

Prueba

La prueba se basa esencialmente en un argumento de diagonalización . El caso más simple es el de funciones con valores reales en un intervalo cerrado y acotado:

• Sea I = [ a , b ] ⊂ R un intervalo cerrado y acotado. Si F es un conjunto infinito de funciones f   : I → R uniformemente acotado y equicontinuo, entonces existe una secuencia f _n de elementos de F tal que f _n converge uniformemente en I . 

Fijar una enumeración { x _i } _{i ∈ N} de números racionales en I . Dado que F está uniformemente acotado, el conjunto de puntos { f ( x ₁ )} _{f ∈ F} está acotado y, por lo tanto, según el teorema de Bolzano-Weierstrass , existe una secuencia { f _{n 1} } de funciones distintas en F tal que { f _{n 1} ( x ₁ )} converge. Repitiendo el mismo argumento para la secuencia de puntos { f _{n 1} ( x ₂ )}, hay una subsecuencia { f _{n 2} } de { f _{n 1} } tal que { f _{n 2} ( x ₂ )} converge.

Por inducción, este proceso puede continuar indefinidamente, por lo que existe una cadena de subsecuencias.

${\displaystyle \left\{f_{n_{1}}\right\}\supseteq \left\{f_{n_{2}}\right\}\supseteq \cdots }$

tal que, para cada k = 1, 2, 3, ..., la subsecuencia { f _{n k} } converge en x ₁ , ..., x _k . Ahora forme la subsecuencia diagonal { f } cuyo m ésimo término f _m es el m ésimo término en la m ésima subsecuencia { f _{n m} }. Por construcción, f _m converge en cada punto racional de I.

Por lo tanto, dado cualquier ε > 0 y x _k racional en I , existe un número entero N = N ( ε , x _k ) tal que

${\displaystyle |f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|<{\tfrac {\varepsilon }{3}},\qquad n,m\geq N.}$

Dado que la familia F es equicontinua, para este ε fijo y para cada x en I , existe un intervalo abierto U _x que contiene x tal que

${\displaystyle |f(s)-f(t)|<{\tfrac {\varepsilon }{3}}}$

para todo f  ∈  F y todo s ,  t en I tal que s , t ∈ U _x .

El conjunto de intervalos U _x , x  ∈ I , forma una cubierta abierta de I . Dado que I   es cerrado y acotado, según el teorema de Heine-Borel I es compacto , lo que implica que esta cobertura admite una subcubierta finita U ₁ ,..., U _J. Existe un número entero K tal que cada intervalo abierto U _j , 1 ≤ j ≤ J , contiene un racional x _k con 1 ≤ k ≤ K . Finalmente, para cualquier t  ∈  I , existen j y k de modo que t y x _k pertenecen al mismo intervalo U _j . Para esta elección de k ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\left|f_{n}(t)-f_{m}(t)\right|&\leq \left|f_{n}(t)-f_{n}(x_{k})\right|+|f_{n}(x_{k})-f_{m}(x_{k})|+|f_{m}(x_{k})-f_{m}(t)|\\&<{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}+{\tfrac {\varepsilon }{3}}\end{aligned}}}$

para todo norte , m > N = max{ N ( ε , x ₁ ), ..., N ( ε , x _K )}. En consecuencia, la secuencia { f _n } es uniformemente de Cauchy y, por tanto, converge a una función continua, como se afirma. Esto completa la prueba.

Ejemplos inmediatos

Funciones diferenciables

Las hipótesis del teorema se satisfacen mediante una secuencia uniformemente acotada {  f _n  } de funciones diferenciables con derivadas uniformemente acotadas. De hecho, la acotación uniforme de las derivadas implica, según el teorema del valor medio , que para todo x e y ,

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|,}$

donde K es el supremo de las derivadas de funciones en la secuencia y es independiente de n . Entonces, dado ε > 0 , sea δ =ε/2 milpara verificar la definición de equicontinuidad de la secuencia. Esto demuestra el siguiente corolario:

• Sea { f _n } una secuencia uniformemente acotada de funciones diferenciables con valores reales en [ a , b ] tal que las derivadas { f _n ′} estén uniformemente acotadas. Entonces existe una subsecuencia { f _{n k} } que converge uniformemente en [ a , b ] .

Si, además, la secuencia de segundas derivadas también está uniformemente acotada, entonces las derivadas también convergen uniformemente (hasta una subsecuencia), y así sucesivamente. Otra generalización es válida para funciones continuamente diferenciables . Supongamos que las funciones f _n son continuamente diferenciables con derivadas f′ _n . Supongamos que f _n ′ son uniformemente equicontinuas y uniformemente acotadas, y que la secuencia {  f _n  } está acotada puntualmente (o simplemente acotada en un solo punto). Entonces hay una subsecuencia de {  f _n  } que converge uniformemente en una función continuamente diferenciable.  

El argumento de la diagonalización también se puede utilizar para mostrar que una familia de funciones infinitamente diferenciables, cuyas derivadas de cada orden están uniformemente acotadas, tiene una subsecuencia uniformemente convergente, todas cuyas derivadas también son uniformemente convergentes. Esto es particularmente importante en la teoría de las distribuciones.

Funciones continuas de Lipschitz y Hölder

El argumento dado anteriormente prueba un poco más, específicamente

• Si {  f _n  } es una secuencia uniformemente acotada de funciones con valores reales en [ a , b ] tal que cada f es continua de Lipschitz con la misma constante de Lipschitz K :

${\displaystyle \left|f_{n}(x)-f_{n}(y)\right|\leq K|x-y|}$

para todo x , y ∈ [ a , b ] y todo f _n , entonces hay una subsecuencia que converge uniformemente en [ a , b ] .  

La función límite también es continua de Lipschitz con el mismo valor K para la constante de Lipschitz. Un ligero refinamiento es

• Un conjunto F de funciones f en [ a , b ] que está uniformemente acotado y satisface una condición de Hölder de orden α , 0 < α ≤ 1 , con una constante fija M ,  

${\displaystyle \left|f(x)-f(y)\right|\leq M\,|x-y|^{\alpha },\qquad x,y\in [a,b]}$

es relativamente compacto en C([ a , b ]) . En particular, la bola unitaria del espacio de Hölder C ^{0, α} ([ a , b ]) es compacta en C([ a , b ]) .

Esto es válido de manera más general para funciones escalares en un espacio métrico compacto X que satisface una condición de Hölder con respecto a la métrica en X.

Generalizaciones

Espacios euclidianos

El teorema de Arzelà-Ascoli se cumple, de manera más general, si las funciones f _n toman valores en el espacio euclidiano d -dimensional R ^d , y la demostración es muy simple: basta con aplicar la versión con valores R del teorema de Arzelà-Ascoli d veces para extraer una subsecuencia que converge uniformemente en la primera coordenada, luego una subsubsecuencia que converge uniformemente en las dos primeras coordenadas, y así sucesivamente. Los ejemplos anteriores se generalizan fácilmente al caso de funciones con valores en el espacio euclidiano.  

Espacios métricos compactos y espacios compactos de Hausdorff

Las definiciones de acotación y equicontinuidad se pueden generalizar al establecimiento de espacios métricos compactos arbitrarios y, más generalmente aún, espacios compactos de Hausdorff . Sea X un espacio compacto de Hausdorff y sea C ( X ) el espacio de funciones continuas de valor real en X . Se dice que un subconjunto F ⊂ C ( X ) es equicontinuo si para cada x  ∈ X y cada ε > 0 , x tiene una vecindad U _x tal que

${\displaystyle \forall y\in U_{x},\forall f\in \mathbf {F} :\qquad |f(y)-f(x)|<\varepsilon .}$

Un conjunto F ⊂ C ( X , R ) se dice que está acotado puntualmente si para cada x  ∈ X ,

${\displaystyle \sup\{|f(x)|:f\in \mathbf {F} \}<\infty .}$

Una versión del teorema se cumple también en el espacio C ( X ) de funciones continuas de valor real en un espacio compacto de Hausdorff X (Dunford y Schwartz 1958, §IV.6.7):

Sea X un espacio compacto de Hausdorff. Entonces un subconjunto F de C ( X ) es relativamente compacto en la topología inducida por la norma uniforme si y sólo si es equicontinuo y acotado puntualmente.

El teorema de Arzelà-Ascoli es, por tanto, un resultado fundamental en el estudio del álgebra de funciones continuas en un espacio compacto de Hausdorff .

Son posibles varias generalizaciones del resultado citado anteriormente. Por ejemplo, las funciones pueden asumir valores en un espacio métrico o en un espacio vectorial topológico (Hausdorff) con sólo cambios mínimos en la declaración (ver, por ejemplo, Kelley & Namioka (1982, §8), Kelley (1991, Capítulo 7)). :

Sea X un espacio compacto de Hausdorff e Y un espacio métrico. Entonces F ⊂ C ( X , Y ) es compacto en la topología compacta-abierta si y solo si es equicontinuo , puntualmente relativamente compacto y cerrado.

Aquí relativamente compacto puntualmente significa que para cada x  ∈  X , el conjunto F _x = {  f  ( x ) :   f   ∈ F } es relativamente compacto en Y .

En el caso de que Y sea completo , la prueba dada anteriormente se puede generalizar de una manera que no dependa de la separabilidad del dominio. En un espacio compacto de Hausdorff X , por ejemplo, la equicontinuidad se utiliza para extraer, para cada ε = 1/ n , una cobertura abierta finita de X tal que la oscilación de cualquier función de la familia sea menor que ε en cada conjunto abierto en la cubierta. El papel de los racionales puede entonces desempeñarse mediante un conjunto de puntos extraídos de cada conjunto abierto en cada una de las numerosas coberturas contables obtenidas de esta manera, y la parte principal de la demostración procede exactamente como antes. Se utiliza un argumento similar como parte de la prueba de la versión general que no supone que Y esté completo .

Funciones en espacios no compactos

El teorema de Arzela-Ascoli se generaliza a funciones que no son compactas. Particularmente importantes son los casos en los que hay un espacio vectorial topológico . Recordemos que si es un espacio topológico y es un espacio uniforme (como cualquier espacio métrico o cualquier grupo topológico , metrizable o no), existe la topología de convergencia compacta sobre el conjunto de funciones ; está configurado de modo que una secuencia (o más generalmente un filtro o red ) de funciones converja si y sólo si converge uniformemente en cada subconjunto compacto de . Sea el subespacio formado por funciones continuas, equipado con la topología de convergencia compacta. Entonces una forma del teorema de Arzèla-Ascoli es la siguiente: ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ ${\displaystyle X\rightarrow Y}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$

Sea un espacio topológico, un espacio uniforme de Hausdorff y un conjunto equicontinuo de funciones continuas tales que sea relativamente compacto para cada una . Entonces es relativamente compacto en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle H\subset {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$ ${\displaystyle H(x)}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H\subset {\mathcal {C}}_{c}(X,Y)}$

Este teorema proporciona inmediatamente las declaraciones más especializadas anteriores en los casos en que es compacto y la estructura uniforme está dada por una métrica. Existen algunas otras variantes en términos de topología de convergencia precompacta u otras topologías relacionadas en . También es posible extender la declaración a funciones que solo son continuas cuando se restringen a los conjuntos de una cobertura de subconjuntos compactos. Para más detalles se puede consultar Bourbaki (1998), Capítulo X, § 2, n.º 5. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathfrak {F}}(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$

Funciones no continuas

Las soluciones de esquemas numéricos para ecuaciones parabólicas suelen ser constantes por partes y, por tanto, no continuas en el tiempo. Sin embargo, como sus saltos tienden a volverse pequeños a medida que avanza el paso de tiempo , es posible establecer propiedades de convergencia uniformes en el tiempo utilizando una generalización a funciones no continuas del teorema clásico de Arzelà-Ascoli (ver, por ejemplo, Droniou & Eymard (2016). , Apéndice)). ${\displaystyle 0}$

Denotar por el espacio de funciones desde hasta dotado de la métrica uniforme ${\displaystyle S(X,Y)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle d_{S}(v,w)=\sup _{t\in X}d_{Y}(v(t),w(t)).}$

Luego tenemos lo siguiente:

Sea un espacio métrico compacto y un espacio métrico completo. Sea una secuencia tal que exista una función y una secuencia que satisfaga ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle S(X,Y)}$ ${\displaystyle \omega :X\times X\to [0,\infty ]}$ ${\displaystyle \{\delta _{n}\}_{n\in \mathbb {N} }\subset [0,\infty )}$

${\displaystyle \lim _{d_{X}(t,t')\to 0}\omega (t,t')=0,\quad \lim _{n\to \infty }\delta _{n}=0,}$

${\displaystyle \forall (t,t')\in X\times X,\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\quad d_{Y}(v_{n}(t),v_{n}(t'))\leq \omega (t,t')+\delta _{n}.}$

Supongamos también que, para todos , es relativamente compacto en . Entonces es relativamente compacto y cualquier límite de en este espacio está en . ${\displaystyle t\in X}$ ${\displaystyle \{v_{n}(t):n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle S(X,Y)}$ ${\displaystyle \{v_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle C(X,Y)}$

Necesidad

Mientras que la mayoría de las formulaciones del teorema de Arzelà-Ascoli afirman condiciones suficientes para que una familia de funciones sea (relativamente) compacta en alguna topología, estas condiciones también suelen ser necesarias. Por ejemplo, si un conjunto F es compacto en C ( X ), el espacio de Banach de funciones continuas de valor real en un espacio compacto de Hausdorff con respecto a su norma uniforme, entonces está acotado en la norma uniforme en C ( X ) y en particular está limitado puntualmente. Sea N ( ε , U ) el conjunto de todas las funciones en F cuya oscilación sobre un subconjunto abierto U ⊂ X es menor que ε :

${\displaystyle N(\varepsilon ,U)=\{f\mid \operatorname {osc} _{U}f<\varepsilon \}.}$

Para un x ∈ X y ε fijos , los conjuntos N ( ε , U ) forman una cobertura abierta de F ya que U varía en todas las vecindades abiertas de x . La elección de una subcobertura finita da equicontinuidad.

Más ejemplos

• A cada función g que es p -integrable en [0, 1] , con 1 < p ≤ ∞ , asociar la función G definida en [0, 1] por

${\displaystyle G(x)=\int _{0}^{x}g(t)\,\mathrm {d} t.}$

Sea F el conjunto de funciones G correspondientes a funciones g en la bola unitaria del espacio L ^p ([0, 1]) . Si q es el conjugado de Hölder de p , definido por1/pag+1/q= 1 , entonces la desigualdad de Hölder implica que todas las funciones en F satisfacen una condición de Hölder con α =1/qy constante M = 1 .

De ello se deduce que F es compacto en C ([0, 1]) . Esto significa que la correspondencia g → G define un operador lineal compacto T entre los espacios de Banach L ^p ([0, 1]) y C ([0, 1]) . Componiendo con la inyección de C ([0, 1]) en L ^p ([0, 1]) , se ve que T actúa de forma compacta desde L ^p ([0, 1]) hacia sí mismo. El caso p = 2 puede verse como un ejemplo simple del hecho de que la inyección desde el espacio de Sobolev en L ² (Ω) , para Ω un conjunto abierto acotado en R ^d , es compacta. ${\displaystyle H_{0}^{1}(\Omega )}$

• Cuando T es un operador lineal compacto de un espacio de Banach X a un espacio de Banach Y , su transpuesta T ^∗ es compacta del dual (continuo) Y ^∗ a X ^∗ . Esto puede comprobarse mediante el teorema de Arzelà-Ascoli.

De hecho, la imagen T ( B ) de la bola unitaria cerrada B de X está contenida en un subconjunto compacto K de Y. La bola unitaria B ^∗ de Y ^∗ define, restringiendo de Y a K , un conjunto F de funciones continuas (lineales) en K que es acotado y equicontinuo. Por Arzelà–Ascoli, para cada secuencia { y^∗
_norte}, en B ^∗ , hay una subsecuencia que converge uniformemente en K , y esto implica que la imagen de esa subsecuencia es Cauchy en X ^∗ . ${\displaystyle T^{*}(y_{n_{k}}^{*})}$

• Cuando f es holomorfa en un disco abierto D ₁ = B ( z ₀ , r ) , con módulo acotado por M , entonces (por ejemplo mediante la fórmula de Cauchy ) su derivada f  ′ tiene módulo acotado por   2M​/ren el disco más pequeño D ₂ = B ( z ₀ ,r/2). Si una familia de funciones holomorfas en D ₁ está limitada por M en D ₁ , se deduce que la familia F de restricciones a D ₂ es equicontinua en D ₂ . Por lo tanto, se puede extraer una secuencia que converge uniformemente en D ₂ . Este es un primer paso en la dirección del teorema de Montel .
• Sea dotado de la métrica uniforme Supongamos que es una secuencia de soluciones de una determinada ecuación diferencial parcial (PDE), donde la PDE asegura las siguientes estimaciones a priori: es equicontinua para todos , es equicontinua para todos y, para todos y todos , es lo suficientemente pequeño cuando es lo suficientemente pequeño. Luego, por el teorema de Fréchet-Kolmogorov , podemos concluir que es relativamente compacto en . Por lo tanto, podemos, mediante (una generalización del) teorema de Arzelà-Ascoli, concluir que es relativamente compacto en ${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$ ${\displaystyle \textstyle \sup _{t\in [0,T]}\|v(\cdot ,t)-w(\cdot ,t)\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}.}$ ${\displaystyle u_{n}=u_{n}(x,t)\subset C([0,T];L^{1}(\mathbb {R} ^{N}))}$ ${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle x\mapsto u_{n}(x,t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle (t,t')\in [0,T]\times [0,T]}$ ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \|u_{n}(\cdot ,t)-u_{n}(\cdot ,t')\|_{L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}}$ ${\displaystyle |t-t'|}$ ${\displaystyle \{x\mapsto u_{n}(x,t):n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{N})}$ ${\displaystyle \{u_{n}:n\in \mathbb {N} \}}$ ${\displaystyle C([0,T],L^{1}(\mathbb {R} ^{N})).}$

Ver también

• Teorema de selección de Helly
• Teorema de Fréchet-Kolmogorov

Referencias

• Arzelà, Cesare (1895), "Sulle funzioni di linee", Mem. Accad. Ciencia. Ist. Bolonia Cl. Ciencia. Fis. Estera. , 5 (5): 55–74.
• Arzelà, Cesare (1882–1883), "Un'osservazione intorno alle serie di funzioni", Rend. Dell'Acad. R. Delle Sci. dell'Istituto di Bolonia : 142-159.
• Ascoli, G. (1883–1884), "Le curve limite di una varietà data di curve", Atti della R. Accad. Dei Lincei Memoria della Cl. Ciencia. Fis. Estera. Nat. , 18 (3): 521–586.
• Bourbaki, Nicolas (1998), Topología general. Capítulos 5 a 10 , Elementos de las matemáticas, Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-64563-4, señor  1726872.
• Dieudonné, Jean (1988), Fundamentos del análisis moderno , Academic Press, ISBN 978-0-12-215507-9
• Droniou, Jérôme; Eymard, Robert (2016), "Convergencia uniforme en el tiempo de métodos numéricos para ecuaciones parabólicas degeneradas no lineales", Numer. Matemáticas. , 132 (4): 721–766, arXiv : 2003.09067 , doi : 10.1007/s00211-015-0733-6, S2CID  5287603.
• Dunford, Nelson; Schwartz, Jacob T. (1958), Operadores lineales, volumen 1 , Wiley-Interscience.
• Fréchet, Maurice (1906), "Sur quelques point du calcul fonctionnel", Rend. Circo. Estera. Palermo , 22 : 1–74, doi :10.1007/BF03018603, hdl :10338.dmlcz/100655, S2CID  123251660.
• Teorema de Arzelà-Ascoli en la Enciclopedia de Matemáticas
• Kelley, JL (1991), Topología general , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90125-1
• Kelley, JL; Namioka, I. (1982), Espacios topológicos lineales , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90169-5
• Rudin, Walter (1976), Principios del análisis matemático , McGraw-Hill, ISBN 978-0-07-054235-8

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