Módulo de continuidad

En análisis matemático , un módulo de continuidad es una función ω: [0, ∞] → [0, ∞] utilizada para medir cuantitativamente la continuidad uniforme de funciones. Entonces, una función f  : I → R admite ω como módulo de continuidad si y sólo si

${\displaystyle |f(x)-f(y)|\leq \omega (|x-y|),}$

para todo x e y en el dominio de f . Dado que se requiere que los módulos de continuidad sean infinitesimales en 0, una función resulta ser uniformemente continua si y sólo si admite un módulo de continuidad. Además, la relevancia de la noción viene dada por el hecho de que conjuntos de funciones que comparten el mismo módulo de continuidad son familias exactamente equicontinuas . Por ejemplo, el módulo ω( t ) := kt describe las funciones k-Lipschitz , los módulos ω( t ) := kt ^α describen la continuidad de Hölder , el módulo ω( t ) := kt (|log t |+1 ) describe la clase casi Lipschitz , y así sucesivamente. En general, el papel de ω es fijar alguna dependencia funcional explícita de ε sobre δ en la definición (ε, δ) de continuidad uniforme . Las mismas nociones se generalizan naturalmente a funciones entre espacios métricos . Además, una versión local adecuada de estas nociones permite describir cuantitativamente la continuidad en un punto en términos de módulos de continuidad.

Los módulos de continuidad cóncavos desempeñan un papel especial, especialmente en relación con las propiedades de extensión y con la aproximación de funciones uniformemente continuas. Para una función entre espacios métricos, equivale a admitir un módulo de continuidad que sea cóncavo, subaditivo, uniformemente continuo o sublineal (en el sentido de crecimiento ). En realidad, la existencia de tales módulos especiales de continuidad para una función uniformemente continua siempre está asegurada siempre que el dominio sea un subconjunto compacto o convexo de un espacio normado. Sin embargo, una función uniformemente continua en un espacio métrico general admite un módulo de continuidad cóncavo si y sólo si las razones

${\displaystyle {\frac {d_{Y}(f(x),f(x'))}{d_{X}(x,x')}}}$

están uniformemente acotados para todos los pares ( x , x ′ ) acotados desde la diagonal de X x X . Las funciones con esta última propiedad constituyen una subclase especial de las funciones uniformemente continuas, a las que en adelante nos referiremos como funciones especiales uniformemente continuas . Las funciones especiales uniformemente continuas de valor real en el espacio métrico X también se pueden caracterizar como el conjunto de todas las funciones que son restricciones a X de funciones uniformemente continuas sobre cualquier espacio normado que contenga isométricamente a X. Además , se puede caracterizar como el cierre uniforme de las funciones de Lipschitz en X.

Definicion formal

Formalmente, un módulo de continuidad es cualquier función creciente con valor real extendido ω : [0, ∞] → [0, ∞], que desaparece en 0 y es continua en 0, es decir

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\omega (t)=\omega (0)=0.}$

Los módulos de continuidad se utilizan principalmente para dar cuenta cuantitativa tanto de la continuidad en un punto como de la continuidad uniforme, para funciones entre espacios métricos, según las siguientes definiciones.

Una función f  : ( X , d _X ) → ( Y , d _Y ) admite ω como módulo de continuidad (local) en el punto x en X si y solo si,

${\displaystyle \forall x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}$

Además, f admite ω como módulo de continuidad (global) si y sólo si,

${\displaystyle \forall x,x'\in X:d_{Y}(f(x),f(x'))\leq \omega (d_{X}(x,x')).}$

De manera equivalente, se dice que ω es un módulo de continuidad (resp., en x ) para f , o en breve, f es ω-continuo (resp., en x ). Aquí tratamos principalmente la noción global.

Hechos elementales

• Si f tiene ω como módulo de continuidad y ω ₁ ≥ ω, entonces f admite ω ₁ también como módulo de continuidad.
• Si f  : X → Y y g  : Y → Z son funciones entre espacios métricos con módulos respectivamente ω ₁ y ω ₂ entonces el mapa de composición tiene módulo de continuidad . ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$ ${\displaystyle \omega _{2}\circ \omega _{1}}$
• Si f y g son funciones desde el espacio métrico X hasta el espacio de Banach Y , con módulos respectivamente ω ₁ y ω ₂ , entonces cualquier combinación lineal af + bg tiene módulo de continuidad | a |ω ₁ +| segundo |ω ₂ . En particular, el conjunto de todas las funciones de X a Y que tienen ω como módulo de continuidad es un subconjunto convexo del espacio vectorial C ( X , Y ), cerrado bajo convergencia puntual .
• Si f y g son funciones acotadas de valor real en el espacio métrico X , con módulos respectivamente ω ₁ y ω ₂ , entonces el producto puntual fg tiene módulo de continuidad . ${\displaystyle \|g\|_{\infty }\omega _{1}+\|f\|_{\infty }\omega _{2}}$
• Si es una familia de funciones de valor real en el espacio métrico X con módulo de continuidad común ω, entonces la envolvente inferior , respectivamente, la envolvente superior , es una función de valor real con módulo de continuidad ω, siempre que tenga un valor finito en cada punto. Si ω tiene un valor real, es suficiente que la envolvente sea finita en al menos un punto de X. ${\displaystyle \{f_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }}$ ${\displaystyle \inf _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$ ${\displaystyle \sup _{\lambda \in \Lambda }f_{\lambda }}$

Observaciones

• Algunos autores no requieren monotonicidad y otros requieren propiedades adicionales como que ω sea continua. Sin embargo, si f admite un módulo de continuidad en la definición más débil, también admite un módulo de continuidad que es creciente e infinitamente diferenciable en (0, ∞). Por ejemplo,
  $${\displaystyle \omega _{1}(t):=\sup _{s\leq t}\omega (s)}$$
  es creciente, y ω ₁ ≥ ω;
  $${\displaystyle \omega _{2}(t):={\frac {1}{t}}\int _{t}^{2t}\omega _{1}(s)ds}$$
  también es continua, y ω ₂ ≥ ω ₁ ,
  y una variante adecuada de la definición anterior también hace que ω ₂ sea infinitamente diferenciable en [0, ∞].
• Cualquier función uniformemente continua admite un módulo de continuidad mínimo ω _f , que a veces se denomina módulo de continuidad (óptimo) de f :
  $${\displaystyle \omega _{f}(t):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x\in X,x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$$
  De manera similar, cualquier función continua en el punto x admite un módulo mínimo de continuidad en x , ω _f ( t ; x ) ( el módulo de continuidad (óptimo) de f en x ):
  $${\displaystyle \omega _{f}(t;x):=\sup\{d_{Y}(f(x),f(x')):x'\in X,d_{X}(x,x')\leq t\},\quad \forall t\geq 0.}$$
  Sin embargo, estas nociones restringidas no son tan relevantes, ya que en la mayoría de los casos el módulo óptimo de f no se puede calcular explícitamente, sino que sólo se puede limitar desde arriba (por cualquier módulo de continuidad de f ). Además, las principales propiedades de los módulos de continuidad conciernen directamente a la definición ilimitada.
• En general, el módulo de continuidad de una función uniformemente continua en un espacio métrico debe tomar el valor +∞. Por ejemplo, la función f  : N → R tal que f ( n ) := n ² es uniformemente continua con respecto a la métrica discreta en N , y su módulo mínimo de continuidad es ω _f ( t ) = +∞ para cualquier t ≥1, y ω _f ( t ) = 0 en caso contrario. Sin embargo, la situación es diferente para funciones uniformemente continuas definidas en subconjuntos compactos o convexos de espacios normados.

Módulos especiales de continuidad

Los módulos especiales de continuidad también reflejan ciertas propiedades globales de funciones como la extensibilidad y la aproximación uniforme. En esta sección nos ocupamos principalmente de módulos de continuidad que son cóncavos , subaditivos , uniformemente continuos o sublineales. Estas propiedades son esencialmente equivalentes en el sentido de que, para un módulo ω (más precisamente, su restricción en [0, ∞)) cada uno de los siguientes implica lo siguiente:

• ω es cóncava;
• ω es subaditivo;
• ω es uniformemente continua;
• ω es sublineal, es decir, existen constantes a y b tales que ω( t ) ≤ at + b para todo t ;
• ω está dominado por un módulo cóncavo, es decir, existe un módulo de continuidad cóncavo tal que para todo t . ${\displaystyle {\tilde {\omega }}}$ ${\displaystyle \omega (t)\leq {\tilde {\omega }}(t)}$

Así, para una función f entre espacios métricos equivale a admitir un módulo de continuidad que sea cóncavo, subaditivo, uniformemente continuo o sublineal. En este caso, la función f a veces se denomina aplicación especial uniformemente continua . Esto siempre es cierto en el caso de dominios compactos o convexos. De hecho, un mapa uniformemente continuo f  : C → Y definido en un conjunto convexo C de un espacio normado E siempre admite un módulo de continuidad subaditivo ; en particular, de valor real como función ω : [0, ∞) → [0, ∞). De hecho, es inmediato comprobar que el módulo de continuidad óptimo ω _f definido anteriormente es subaditivo si el dominio de f es convexo: tenemos, para todos los s y t :

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{f}(s+t)&=\sup _{|x-x'|\leq t+s}d_{Y}(f(x),f(x'))\\&\leq \sup _{|x-x'|\leq t+s}\left\{d_{Y}\left(f(x),f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right)\right)+d_{Y}\left(f\left(x-t{\frac {x-x'}{|x-x'|}}\right),f(x')\right)\right\}\\&\leq \omega _{f}(t)+\omega _{f}(s).\end{aligned}}}$

Tenga en cuenta que, como consecuencia inmediata, cualquier función uniformemente continua en un subconjunto convexo de un espacio normado tiene un crecimiento sublineal: hay constantes a y b tales que | f ( x )| ≤a |​ x |+ b para todo x . Sin embargo, una función uniformemente continua en un espacio métrico general admite un módulo de continuidad cóncavo si y sólo si las razones están uniformemente acotadas para todos los pares ( x , x ′) con distancia acotada desde cero; esta condición ciertamente se satisface con cualquier función acotada y uniformemente continua; por tanto, en particular, por cualquier función continua en un espacio métrico compacto. ${\displaystyle d_{Y}(f(x),f(x'))/d_{X}(x,x')}$

Módulos sublineales y perturbaciones acotadas de Lipschitz

Se puede encontrar fácilmente un módulo de continuidad sublineal para cualquier función uniformemente continua que sea una perturbación acotada de una función de Lipschitz: si f es una función uniformemente continua con módulo de continuidad ω, y g es una función k de Lipschitz con una distancia uniforme r de f , entonces f admite el módulo sublineal de continuidad min{ω( t ), 2 r + kt }. Por el contrario, al menos para funciones de valores reales, cualquier función especial uniformemente continua es una perturbación acotada y uniformemente continua de alguna función de Lipschitz; de hecho, más es cierto como se muestra a continuación (aproximación de Lipschitz).

Módulos subaditivos y extensibilidad.

La propiedad anterior para funciones uniformemente continuas en dominios convexos admite una especie de recíproco al menos en el caso de funciones con valores reales: es decir, toda función especial uniformemente continua con valores reales f  : X → R definida en un espacio métrico X , que es un subespacio métrico de un espacio normado mi , admite extensiones sobre mi que conserva cualquier módulo subaditivo ω de f . La menor y la mayor de dichas extensiones son respectivamente:

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{*}(x)&:=\sup _{y\in X}\left\{f(y)-\omega (|x-y|)\right\},\\f^{*}(x)&:=\inf _{y\in X}\left\{f(y)+\omega (|x-y|)\right\}.\end{aligned}}}$

Como se señaló, cualquier módulo de continuidad subaditivo es uniformemente continuo: de hecho, se admite como un módulo de continuidad. Por lo tanto, f _∗ y f* son respectivamente envolventes inferior y superior de familias ω-continuas; por lo tanto, todavía ω-continuo. Por cierto, según Kuratowski, cualquier espacio métrico es isométrico a un subconjunto de un espacio normado. Por lo tanto, las funciones especiales uniformemente continuas de valores reales son esencialmente las restricciones de funciones uniformemente continuas en espacios normados. En particular, esta construcción proporciona una prueba rápida del teorema de extensión de Tietze en espacios métricos compactos. Sin embargo, para mapeos con valores en espacios de Banach más generales que R , la situación es bastante más complicada; El primer resultado no trivial en esta dirección es el teorema de Kirszbraun .

Módulos cóncavos y aproximación de Lipschitz

Cada función especial uniformemente continua de valor real f  : X → R definida en el espacio métrico X es uniformemente aproximable mediante funciones de Lipschitz. Además, la velocidad de convergencia en términos de las constantes de Lipschitz de las aproximaciones está estrictamente relacionada con el módulo de continuidad de f . Precisamente, sea ω el módulo de continuidad cóncavo mínimo de f , que es

${\displaystyle \omega (t)=\inf {\big \{}at+b\,:\,a>0,\,b>0,\,\forall x\in X,\,\forall x'\in X\,\,|f(x)-f(x')|\leq ad(x,x')+b{\big \}}.}$

Sea δ( s ) la distancia uniforme entre la función f y el conjunto Lip _s de todas las funciones de valor real de Lipschitz en C que tengan la constante de Lipschitz s  :

${\displaystyle \delta (s):=\inf {\big \{}\|f-u\|_{\infty ,X}\,:\,u\in \mathrm {Lip} _{s}{\big \}}\leq +\infty .}$

Entonces las funciones ω( t ) y δ( s ) pueden relacionarse entre sí mediante una transformación de Legendre : más precisamente, las funciones 2δ( s ) y −ω(−t ) (adecuadamente extendidas a +∞ fuera de sus dominios de finitud). ) son un par de funciones convexas conjugadas, ^[1] para

${\displaystyle 2\delta (s)=\sup _{t\geq 0}\left\{\omega (t)-st\right\},}$

${\displaystyle \omega (t)=\inf _{s\geq 0}\left\{2\delta (s)+st\right\}.}$

Dado que ω( t ) = o(1) para t → 0 ⁺ , se deduce que δ( s ) = o(1) para s → +∞, eso significa exactamente que f es uniformemente aproximable mediante funciones de Lipschitz. En consecuencia, una aproximación óptima viene dada por las funciones

${\displaystyle f_{s}:=\delta (s)+\inf _{y\in X}\{f(y)+sd(x,y)\},\quad \mathrm {for} \ s\in \mathrm {dom} (\delta ):}$

cada función f _s tiene constante de Lipschitz s y

${\displaystyle \|f-f_{s}\|_{\infty ,X}=\delta (s);}$

de hecho, es la mayor función s -Lipschitz la que realiza la distancia δ( s ). Por ejemplo, las funciones de valor real de α-Hölder en un espacio métrico se caracterizan como aquellas funciones que pueden aproximarse uniformemente mediante funciones de s -Lipschitz con velocidad de convergencia, mientras que las funciones casi de Lipschitz se caracterizan por una velocidad de convergencia exponencial. ${\displaystyle O(s^{-{\frac {\alpha }{1-\alpha }}}),}$ ${\displaystyle O(e^{-as}).}$

Ejemplos de uso

• Sea f  : [ a , b ] → R una función continua. En la prueba de que f es integrable de Riemann , normalmente se limita la distancia entre las sumas de Riemann superior e inferior con respecto a la partición de Riemann P  := { t ₀ , ..., t _n } en términos del módulo de continuidad de f y la malla del tabique P (que es el número ) ${\textstyle |P|:=\max _{0\leq i<n}(t_{i+1}-t_{i})}$
  $${\displaystyle S^{*}(f;P)-S_{*}(f;P)\leq (b-a)\omega (|P|).}$$
• Para ver un ejemplo de uso en la serie de Fourier, consulte Prueba de Dini .

Historia

Steffens (2006, p. 160) atribuye el primer uso de omega para el módulo de continuidad a Lebesgue (1909, p. 309/p. 75), donde omega se refiere a la oscilación de una transformada de Fourier. De la Vallée Poussin (1919, pp. 7-8) menciona ambos nombres (1) "módulo de continuidad" y (2) "módulo de oscilación" y luego concluye "pero elegimos (1) llamar la atención sobre el uso que hará con ello".

El grupo de traducción de funciones L p y módulos de continuidad L p .

Sea 1 ≤ p ; sea ​​f  : R ⁿ → R una función de clase L ^p , y sea h ∈ R ⁿ . La h - traducción de f , la función definida por (τ _h f )( x ) := f ( x − h ), pertenece a la clase L ^p ; además, si 1 ≤ p < ∞, entonces como ǁ h ǁ → 0 tenemos:

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}=o(1).}$

Por lo tanto, dado que las traslaciones son en realidad isometrías lineales, también

${\displaystyle \|\tau _{v+h}f-\tau _{v}f\|_{p}=o(1),}$

como ǁ h ǁ → 0, uniformemente en v ∈ R ⁿ .

En otras palabras, el mapa h → τ _h define un grupo fuertemente continuo de isometrías lineales de L ^p . En el caso p = ∞ la propiedad anterior no se cumple en general: en realidad, se reduce exactamente a la continuidad uniforme y define las funciones continuas uniformes. Esto lleva a la siguiente definición, que generaliza la noción de módulo de continuidad de funciones uniformemente continuas: un módulo de continuidad L ^p para una función medible f  : X → R es un módulo de continuidad ω : [0, ∞] → [0, ∞] tal que

${\displaystyle \|\tau _{h}f-f\|_{p}\leq \omega (h).}$

De esta manera, los módulos de continuidad también dan una explicación cuantitativa de la propiedad de continuidad compartida por todas las funciones L ^p .

Módulo de continuidad de órdenes superiores.

Se puede ver que la definición formal del módulo utiliza la noción de diferencia finita de primer orden:

${\displaystyle \omega _{f}(\delta )=\omega (f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}(f,x)\right|.}$

Si reemplazamos esa diferencia con una diferencia de orden n , obtenemos un módulo de continuidad de orden n :

${\displaystyle \omega _{n}(f,\delta )=\sup \limits _{x;|h|<\delta ;}\left|\Delta _{h}^{n}(f,x)\right|.}$

Ver también

• Análisis constructivo
• Módulo de convergencia

Referencias

1. Transformada de Legendre y aproximación de Lipschitz

• Choquet, G. (1964). Curso de Análisis. Tomo II, Topología (en francés). París: Masson et C. ^ie .
• Efimov, AV (2001) [1994], "Continuidad, módulo de", Enciclopedia de Matemáticas , Springer, ISBN 1-4020-0609-8
• Lebesgue, H. (1909). "Sur les integrales singulares". Ana. fac. Ciencia. Univ. Tolosa. vol. 3. págs. 25-117. {{cite book}}: Faltante o vacío |title=( ayuda ) Reproducido en: Lebesgue, Henri. Œuvres scientifiques (en francés). vol. 3. págs. 259–351.
• Poussin, cap. de la Vallée (1952). L'approximation des fonctions d'une variable réelle (en francés) (Reimpresión de la edición de 1919). París: Gauthier-Villars.
• Benyamini, Y; Lindenstrauss, J (1998). Análisis funcional geométrico no lineal: Volumen 1 (Publicaciones del coloquio, Vol. 48 ed.). Providence, RI: Sociedad Estadounidense de Matemáticas.
• Steffens, K.-G. (2006). La historia de la teoría de la aproximación . Boston: Birkhäuser. ISBN 0-8176-4353-2.