En matemáticas , el teorema de clasificación de Thurston caracteriza los homeomorfismos de una superficie compacta orientable . El teorema de William Thurston completa el trabajo iniciado por Jakob Nielsen (1944).
Dado un homeomorfismo f : S → S , existe una aplicación g isotópica de f tal que se cumple al menos uno de los siguientes:
El caso en el que S es un toro (es decir, una superficie cuyo género es uno) se trata por separado (ver paquete de toros ) y se conocía antes del trabajo de Thurston. Si el género de S es dos o mayor, entonces S es naturalmente hiperbólico y las herramientas de la teoría de Teichmüller se vuelven útiles. En lo que sigue, asumimos que S tiene género al menos dos, ya que este es el caso que consideró Thurston. (Obsérvese, sin embargo, que los casos en los que S tiene límite o no es orientable siguen siendo definitivamente de interés).
Los tres tipos de esta clasificación no son mutuamente excluyentes, aunque un homeomorfismo pseudo-Anosov nunca es periódico ni reducible . Un homeomorfismo reducible g puede analizarse más a fondo cortando la superficie a lo largo de la unión conservada de curvas cerradas simples Γ . Cada una de las superficies compactas resultantes con límite se ve afectada por alguna potencia (es decir, composición iterada ) de g , y la clasificación se puede aplicar nuevamente a este homeomorfismo.
La clasificación de Thurston se aplica a homeomorfismos de superficies orientables de género ≥ 2, pero el tipo de homeomorfismo solo depende de su elemento asociado del grupo de clases de mapeo Mod(S) . De hecho, la prueba del teorema de clasificación conduce a un representante canónico de cada clase de mapeo con buenas propiedades geométricas. Por ejemplo:
La motivación original de Thurston para desarrollar esta clasificación fue encontrar estructuras geométricas en el mapeo de toros del tipo predicho por la conjetura de Geometrización . El toro de mapeo M g de un homeomorfismo g de una superficie S es la variedad 3 obtenida de S × [0,1] pegando S × {0} a S × {1} usando g . Si S tiene género al menos dos, la estructura geométrica de M g se relaciona con el tipo de g en la clasificación de la siguiente manera:
Los dos primeros casos son comparativamente fáciles, mientras que la existencia de una estructura hiperbólica en el toroide cartográfico de un homeomorfismo pseudo-Anosov es un teorema profundo y difícil (también debido a Thurston ). Las 3 variedades hiperbólicas que surgen de esta manera se llaman fibrosas porque son haces de superficie sobre el círculo , y estas variedades se tratan por separado en la prueba del teorema de geometrización de Thurston para las variedades de Haken . Las 3 variedades hiperbólicas fibrosas tienen una serie de propiedades patológicas e interesantes; por ejemplo, Cannon y Thurston demostraron que el subgrupo de superficie del grupo kleiniano emergente tiene un límite establecido que es una curva de llenado de esfera .
Los tres tipos de homeomorfismos de superficie también están relacionados con la dinámica del grupo de clases de mapeo Mod( S ) en el espacio de Teichmüller T ( S ). Thurston introdujo una compactación de T ( S ) que es homeomorfa a una bola cerrada, y a la que la acción de Mod( S ) se extiende naturalmente. El tipo de un elemento g del grupo de clases de mapeo en la clasificación de Thurston está relacionado con sus puntos fijos al actuar sobre la compactación de T ( S ):
Esto recuerda la clasificación de las isometrías hiperbólicas en tipos elípticos , parabólicos e hiperbólicos (que tienen estructuras de puntos fijos similares a los tipos periódicos , reducibles y pseudo-Anosov enumerados anteriormente).