Cuasi-isometría

Función entre dos espacios métricos que sólo respeta su geometría a gran escala.

En matemáticas , una cuasiisometría es una función entre dos espacios métricos que respeta la geometría a gran escala de estos espacios e ignora sus detalles a pequeña escala. Dos espacios métricos son cuasi isométricos si existe una cuasi isometría entre ellos. La propiedad de ser cuasi isométrica se comporta como una relación de equivalencia en la clase de espacios métricos.

El concepto de cuasi-isometría es especialmente importante en la teoría geométrica de grupos , siguiendo los trabajos de Gromov . ^[1]

Esta red es casi isométrica al plano.

Definición

Supongamos que es una función (no necesariamente continua) de un espacio métrico a un segundo espacio métrico . Entonces se llama cuasi-isometría de a si existen constantes , y tales que se cumplan las dos propiedades siguientes: ^[2] ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle A\geq 1}$ ${\displaystyle B\geq 0}$ ${\displaystyle C\geq 0}$

1. Por cada dos puntos y en , la distancia entre sus imágenes es hasta la constante aditiva dentro de un factor de su distancia original. Más formalmente: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle M_{1}}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle A}$

   ${\displaystyle \forall x,y\in M_{1}:{\frac {1}{A}}\;d_{1}(x,y)-B\leq d_{2}(f(x),f(y))\leq A\;d_{1}(x,y)+B.}$

2. Cada punto de está dentro de la distancia constante de un punto de la imagen. Más formalmente: ${\displaystyle M_{2}}$ ${\displaystyle C}$

   ${\displaystyle \forall z\in M_{2}:\exists x\in M_{1}:d_{2}(z,f(x))\leq C.}$

Los dos espacios métricos y se llaman cuasi-isométricos si existe una cuasi-isometría de a . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Un mapa se denomina incrustación cuasi-isométrica si satisface la primera condición pero no necesariamente la segunda (es decir, es burdamente Lipschitz pero puede no ser burdamente sobreyectivo). En otras palabras, si a través del mapa, es cuasi-isométrico a un subespacio de . ${\displaystyle (M_{1},d_{1})}$ ${\displaystyle (M_{2},d_{2})}$

Se dice que dos espacios métricos M ₁ y M ₂ son cuasi isométricos , denotados , si existe una cuasi isometría . ${\displaystyle M_{1}{\underset {q.i.}{\sim }}M_{2}}$ ${\displaystyle f:M_{1}\to M_{2}}$

Ejemplos

El mapa entre el plano euclidiano y el plano con la distancia de Manhattan que envía cada punto hacia sí mismo es una cuasi-isometría: en él, las distancias se multiplican por un factor de como máximo . Tenga en cuenta que no puede haber isometría, ya que, por ejemplo, los puntos están a la misma distancia entre sí en la distancia de Manhattan, pero en el plano euclidiano, no hay 4 puntos que estén a la misma distancia entre sí. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle (1,0),(-1,0),(0,1),(0,-1)}$

El mapa (ambos con la métrica euclidiana ) que envía cada tupla de números enteros a sí misma es una cuasiisometría: las distancias se conservan exactamente y cada tupla real está a una distancia de una tupla de enteros. En la otra dirección, la función discontinua que redondea cada tupla de números reales a la tupla entera más cercana también es una cuasi-isometría: cada punto es llevado por este mapa a un punto dentro de una distancia de él, por lo que el redondeo cambia la distancia entre pares de puntos sumando o restando como máximo . ${\displaystyle f:\mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {n/4}}}$ ${\displaystyle 2{\sqrt {n/4}}}$

Todo par de espacios métricos finitos o acotados es cuasi isométrico. En este caso, toda función de un espacio a otro es una cuasiisometría.

Relación de equivalencia

Si es una cuasiisometría, entonces existe una cuasiisometría . De hecho, puede definirse dejando ser cualquier punto en la imagen de que esté a una distancia de y dejando ser cualquier punto en . ${\displaystyle f:M_{1}\mapsto M_{2}}$ ${\displaystyle g:M_{2}\mapsto M_{1}}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle g(x)}$ ${\displaystyle f^{-1}(y)}$

Dado que el mapa de identidad es una cuasi-isometría, y la composición de dos cuasi-isometrías es una cuasi-isometría, se deduce que la propiedad de ser cuasi-isométrica se comporta como una relación de equivalencia en la clase de espacios métricos.

Uso en teoría de grupos geométricos

Dado un conjunto generador finito S de un grupo G generado finitamente , podemos formar el gráfico de Cayley correspondiente de S y G. Este gráfico se convierte en un espacio métrico si declaramos que la longitud de cada arista es 1. Tomar un conjunto generador finito T diferente da como resultado un gráfico diferente y un espacio métrico diferente; sin embargo, los dos espacios son cuasi isométricos. ^[3] Esta clase de cuasi-isometría es, por tanto, una invariante del grupo G. Cualquier propiedad de los espacios métricos que sólo dependa de la clase de cuasiisometría de un espacio produce inmediatamente otro invariante de grupos, abriendo el campo de la teoría de grupos a los métodos geométricos.

De manera más general, el lema de Švarc-Milnor establece que si un grupo G actúa adecuadamente de manera discontinua con un cociente compacto en un espacio geodésico adecuado X, entonces G es cuasi isométrico de X (lo que significa que cualquier gráfico de Cayley para G lo es). Esto da nuevos ejemplos de grupos cuasi isométricos entre sí:

• Si G' es un subgrupo de índice finito en G, entonces G' es casi isométrico para G ;
• Si G y H son los grupos fundamentales de dos variedades hiperbólicas compactas de la misma dimensión d, entonces ambas son cuasi isométricas del espacio hiperbólico H ^d y, por tanto, entre sí; por otro lado, hay infinitas clases de cuasiisometría de grupos fundamentales de volumen finito. ^[4]

Cuasigeodésicas y el lema de Morse

Una cuasi geodésica en un espacio métrico es una incrustación cuasi isométrica de en . Más precisamente un mapa tal que existe para que ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi :\mathbb {R} \to X}$ ${\displaystyle C,K>0}$

${\displaystyle \forall s,t\in \mathbb {R} :C^{-1}|s-t|-K\leq d(\phi (t),\phi (s))\leq C|s-t|+K}$

se llama -cuasi-geodésico. Obviamente, las geodésicas (parametrizadas por la longitud del arco) son cuasigeodésicas. El hecho de que en algunos espacios lo contrario sea aproximadamente cierto, es decir, que cada cuasi geodésica permanezca dentro de una distancia limitada de una geodésica verdadera, se denomina lema Morse (que no debe confundirse con el lema Morse en topología diferencial). Formalmente la declaración es: ${\displaystyle (C,K)}$

Sea y un espacio δ-hiperbólico adecuado . Existe tal que para cualquier -cuasi-geodésica existe una geodésica tal que para todos . ${\displaystyle \delta ,C,K>0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (C,K)}$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle d(\phi (t),L)\leq M}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$

Es una herramienta importante en la teoría de grupos geométricos. Una aplicación inmediata es que cualquier cuasiisometría entre espacios hiperbólicos propios induce un homeomorfismo entre sus límites. Este resultado es el primer paso en la demostración del teorema de rigidez de Mostow .

Además, este resultado ha resultado útil para analizar el diseño de interacción del usuario en aplicaciones similares a Google Maps . ^[5]

Ejemplos de invariantes de cuasi-isometría de grupos

Los siguientes son algunos ejemplos de propiedades de gráficos de Cayley de grupo que son invariantes bajo cuasiisometría: ^[2]

hiperbolicidad

Un grupo se llama hiperbólico si uno de sus gráficos de Cayley es un espacio δ-hiperbólico para algún δ. Al traducir entre diferentes definiciones de hiperbolicidad, el valor particular de δ puede cambiar, pero las nociones resultantes de un grupo hiperbólico resultan ser equivalentes.

Los grupos hiperbólicos tienen un problema verbal que se puede resolver . Son biautomáticos y automáticos : ^[6] de hecho, son fuertemente geodésicamente automáticos , es decir, hay una estructura automática en el grupo, donde el lenguaje aceptado por el aceptador de palabras es el conjunto de todas las palabras geodésicas.

Crecimiento

La tasa de crecimiento de un grupo con respecto a un grupo electrógeno simétrico describe el tamaño de las bolas del grupo. Cada elemento del grupo se puede escribir como un producto de generadores, y la tasa de crecimiento cuenta la cantidad de elementos que se pueden escribir como un producto de longitud n .

Según el teorema de Gromov , un grupo de crecimiento polinómico es prácticamente nilpotente , es decir, tiene un subgrupo nilpotente de índice finito . En particular, el orden de crecimiento del polinomio tiene que ser un número natural y de hecho . ${\displaystyle k_{0}}$ ${\displaystyle \#(n)\sim n^{k_{0}}}$

Si crece más lentamente que cualquier función exponencial, G tiene una tasa de crecimiento subexponencial . Cualquier grupo de este tipo es susceptible . ${\displaystyle \#(n)}$

Termina

Los extremos de un espacio topológico son, en términos generales, los componentes conectados del "límite ideal" del espacio. Es decir, cada extremo representa una forma topológicamente distinta de moverse hacia el infinito dentro del espacio. Agregar un punto en cada extremo produce una compactación del espacio original, conocida como compactificación final .

Los extremos de un grupo finitamente generado se definen como los extremos del correspondiente gráfico de Cayley ; esta definición es independiente de la elección de un grupo electrógeno finito. Cada grupo infinito generado finitamente tiene 0, 1, 2 o una cantidad infinita de extremos, y el teorema de Stallings sobre los extremos de los grupos proporciona una descomposición para grupos con más de un extremo.

Si dos gráficos localmente finitos conectados son cuasi isométricos, entonces tienen el mismo número de extremos. ^[7] En particular, dos grupos cuasi isométricos finitamente generados tienen el mismo número de extremos.

Docilidad

Un grupo susceptible es un grupo topológico localmente compacto G que lleva una especie de operación de promedio en funciones acotadas que es invariante bajo traducción por elementos del grupo. La definición original, en términos de una medida (o media) invariante finitamente aditiva en subconjuntos de G , fue introducida por John von Neumann en 1929 bajo el nombre alemán "messbar" ("medible" en inglés) en respuesta a la propuesta de Banach-Tarski. paradoja . En 1949, Mahlon M. Day introdujo la traducción al inglés "amenable", aparentemente como un juego de palabras. ^[8]

En teoría de grupos discretos , donde G tiene la topología discreta , se utiliza una definición más simple. En este contexto, un grupo es aceptable si se puede decir qué proporción de G ocupa cualquier subconjunto dado.

Si un grupo tiene una secuencia de Følner , automáticamente se acepta.

Cono asintótico

Un ultralímite es una construcción geométrica que asigna a una secuencia de espacios métricos X _n un espacio métrico límite. Una clase importante de ultralímites son los llamados conos asintóticos de espacios métricos. Sea ( X , d ) un espacio métrico, sea ω un ultrafiltro no principal y sea p _n  ∈  X una secuencia de puntos base. Entonces el ω –ultralímite de la secuencia se llama cono asintótico de X con respecto a ω y y se denota . A menudo se considera constante la secuencia del punto base, p _n = p para algún p ∈ X ; en este caso el cono asintótico no depende de la elección de p ∈ X y se denota por o just . ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle (X,{\frac {d}{n}},p_{n})}$ ${\displaystyle (p_{n})_{n}\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d,(p_{n})_{n})\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X,d)\,}$ ${\displaystyle Cone_{\omega }(X)\,}$

La noción de cono asintótico juega un papel importante en la teoría de grupos geométricos, ya que los conos asintóticos (o, más precisamente, sus tipos topológicos y tipos bi-Lipschitz ) proporcionan invariantes cuasiisométricos de espacios métricos en general y de grupos finitamente generados en particular. ^[9] Los conos asintóticos también resultan ser una herramienta útil en el estudio de grupos relativamente hiperbólicos y sus generalizaciones. ^[10]

Ver también

• isometria
• estructura gruesa

Referencias

1. Bridson, Martin R. (2008), "Teoría de grupos geométrica y combinatoria", en Gowers, Timothy ; Barrow-Green, junio; Líder, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, págs. 431–448, ISBN 978-0-691-11880-2
2. P. de la Harpe, Temas de teoría de grupos geométricos . Conferencias de Matemáticas de Chicago. Prensa de la Universidad de Chicago, Chicago, IL, 2000. ISBN 0-226-31719-6 
3. RB Sher y RJ Daverman (2002), Manual de topología geométrica , Holanda Septentrional. ISBN 0-444-82432-4 . 
4. Schwartz, Richard (1995). "La clasificación cuasi-isométrica de celosías de rango uno". IHÉ.S. Publicaciones Matemáticas . 82 : 133–168. doi :10.1007/BF02698639. S2CID  67824718.
5. Baryshnikov, Yuliy; Ghrist, Robert (8 de mayo de 2023). "Navegando por la curvatura negativa de Google Maps". El inteligente matemático . doi :10.1007/s00283-023-10270-w. ISSN  0343-6993.
6. Charney, Ruth (1992), "Los grupos Artin de tipo finito son biautomáticos", Mathematische Annalen , 292 : 671–683, doi :10.1007/BF01444642, S2CID  120654588
7. Stephen G. Brick (1993). "Cuasi-isometrías y extremos de grupos". Revista de Álgebra Pura y Aplicada . 86 (1): 23–33. doi :10.1016/0022-4049(93)90150-R.
8. El primer uso publicado de la palabra por parte de Day se encuentra en su resumen de una reunión de verano de AMS en 1949, Medios sobre semigrupos y grupos, Bull. AMS 55 (1949) 1054–1055. Muchos libros de texto sobre amabilidad, como el de Volker Runde, sugieren que Day eligió la palabra como un juego de palabras.
9. John huevas. Conferencias sobre geometría gruesa. Sociedad Estadounidense de Matemáticas , 2003. ISBN 978-0-8218-3332-2 
10. Cornelia Druţu y Mark Sapir (con un apéndice de Denis Osin y Mark Sapir ), Espacios clasificados por árboles y conos asintóticos de grupos. Topología , Volumen 44 (2005), núm. 5, págs. 959-1058.