(G,X)-colector

En geometría , si X es una variedad con la acción de un grupo topológico G mediante difeomorfismos analíticos, la noción de una estructura ( G , X ) en un espacio topológico es una forma de formalizarla siendo localmente isomorfa a X con su G - estructura invariante; Los espacios con una estructura ( G , X ) son siempre variedades y se denominan variedades ( G , X ) . Esta noción se usa a menudo siendo G un grupo de Lie y X un espacio homogéneo para G. Ejemplos fundamentales son las variedades hiperbólicas y las variedades afines .

Definición y ejemplos

Definicion formal

Sea una variedad diferencial conexa y un subgrupo del grupo de difeomorfismos de los cuales actúan analíticamente en el siguiente sentido: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$

si y hay un subconjunto abierto no vacío tal que sean iguales cuando se restringen a entonces ${\displaystyle g_{1},g_{2}\in G}$ ${\displaystyle U\subset X}$ ${\displaystyle g_{1},g_{2}}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle g_{1}=g_{2}}$

(Esta definición está inspirada en la propiedad de continuación analítica de los difeomorfismos analíticos en una variedad analítica ).

Una estructura en un espacio topológico es una estructura múltiple en cuyos mapas de atlas tienen valores y a los que pertenecen mapas de transición . Esto significa que existe: ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

• una cubierta por conjuntos abiertos (es decir ); ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle U_{i},i\in I}$ ${\displaystyle M=\bigcup _{i\in I}U_{i}}$
• incrustaciones abiertas llamadas gráficos; ${\displaystyle \varphi _{i}:U_{i}\to X}$

tal que cada mapa de transición es la restricción de un difeomorfismo en . ${\displaystyle \varphi _{i}\circ \varphi _{j}^{-1}:\varphi _{j}(U_{i}\cap U_{j})\to \varphi _{i}(U_{i}\cap U_{j})}$ ${\displaystyle G}$

Dos de estas estructuras son equivalentes cuando están contenidas en una máxima, de manera equivalente cuando su unión es también una estructura (es decir, los mapas y son restricciones de difeomorfismos en ). ${\displaystyle (U_{i},\varphi _{i}),(V_{j},\psi _{j})}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle \varphi _{i}\circ \psi _{j}^{-1}}$ ${\displaystyle \psi _{j}\circ \varphi _{i}^{-1}}$ ${\displaystyle G}$

Ejemplos riemannianos

Si es un grupo de Lie y una variedad de Riemann con una acción fiel de por isometrías entonces la acción es analítica. Generalmente se considera el grupo de isometría completo de . Entonces la categoría de variedades es equivalente a la categoría de variedades de Riemann que son localmente isométricas (es decir, cada punto tiene una vecindad isométrica a un subconjunto abierto de ). ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

A menudo, los ejemplos de son homogéneos , por ejemplo, se puede tomar con una métrica invariante a la izquierda. Un ejemplo particularmente simple es el grupo de isometrías euclidianas . Entonces una variedad es simplemente una variedad plana . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle X=G}$ ${\displaystyle X=\mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (G,X)}$

Un ejemplo particularmente interesante es cuando se trata de un espacio simétrico riemanniano , por ejemplo un espacio hiperbólico . El ejemplo más simple es el plano hiperbólico , cuyo grupo de isometría es isomorfo a . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G=\mathrm {PGL} _{2}(\mathbb {R} )}$

Ejemplos pseudo-riemannianos

Cuando es el espacio de Minkowski y el grupo de Lorentz la noción de estructura es la misma que la de una variedad Lorentziana plana . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (G,X)}$

Otros ejemplos

Cuando es el espacio afín y el grupo de transformaciones afines, entonces se obtiene la noción de variedad afín . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Cuando es el espacio proyectivo real de n dimensiones y se obtiene la noción de estructura proyectiva. ^[1] ${\displaystyle X=\mathbb {P} ^{n}(\mathbb {R} )}$ ${\displaystyle G=\mathrm {PGL} _{n+1}(\mathbb {R} )}$

Mapa en desarrollo y exhaustividad.

mapa en desarrollo

Sea una variedad que esté conexa (como un espacio topológico). El mapa en desarrollo es un mapa desde la cobertura universal hasta el cual sólo está bien definido hasta su composición por un elemento de . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$

Un mapa en desarrollo se define de la siguiente manera: ^[2] fije y sea cualquier otro punto, un camino desde hasta y (donde hay una vecindad suficientemente pequeña de ) un mapa obtenido al componer un gráfico de con la proyección . Podemos utilizar la continuación analítica para extenderla de modo que su dominio incluya . Dado que es simplemente conexo, el valor de así obtenido no depende de la elección original de , y llamamos al mapa (bien definido) un mapa en desarrollo para la estructura. Depende de la elección del punto base y del gráfico, pero sólo hasta la composición por un elemento de . ${\displaystyle p\in {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle q\in {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle \varphi :U\to X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}\to M}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle \varphi (q)}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle \varphi :{\tilde {M}}\to X}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle G}$

Monodromía

Dado un mapa en desarrollo , la monodromía u holonomía ^[3] de una estructura es el morfismo único que satisface ${\displaystyle \varphi }$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle h:\pi _{1}(M)\to G}$

${\displaystyle \forall \gamma \in \pi _{1}(M),p\in {\tilde {M}}:\varphi (\gamma \cdot p)=h(\gamma )\cdot \varphi (p)}$.

Depende de la elección de un mapa en desarrollo, pero sólo hasta un automorfismo interno de . ${\displaystyle G}$

Estructuras completas ( G , X )

Se dice que una estructura es completa si tiene un mapa en desarrollo que también es un mapa de cobertura (esto no depende de la elección del mapa en desarrollo ya que se diferencian por un difeomorfismo). Por ejemplo, si es simplemente conexo, la estructura está completa si y sólo si el mapa en desarrollo es un difeomorfismo. ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle X}$

Ejemplos

Estructuras riemannianas ( G , X )

Si es una variedad de Riemann y su grupo completo de isometría, entonces una estructura está completa si y sólo si la variedad de Riemann subyacente es geodésicamente completa (equivalentemente métricamente completa). En particular, en este caso, si el espacio subyacente de una variedad es compacto, entonces esta última se completa automáticamente. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle G}$ ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle (G,X)}$

En el caso de que sea el plano hiperbólico, el mapa en desarrollo es el mismo mapa dado por el teorema de uniformización . ${\displaystyle X}$

Otros casos

En general, la compacidad del espacio no implica la integridad de una estructura. Por ejemplo, una estructura afín en el toroide está completa si y sólo si el mapa de monodromía tiene su imagen dentro de las traslaciones . Pero hay muchos toros afines que no satisfacen esta condición, por ejemplo, cualquier cuadrilátero con sus lados opuestos pegados por un mapa afín produce una estructura afín en el toro, que está completa si y sólo si el cuadrilátero es un paralelogramo. ${\displaystyle (G,X)}$

Los espaciotiempos de Margulis dan ejemplos interesantes de variedades afines completas y no compactas.

( G , X ) -estructuras como conexiones

En el trabajo de Charles Ehresmann, las estructuras en una variedad se consideran conexiones planas de Ehresmann sobre haces de fibras con fibras por encima , cuyos mapas de monodromía se encuentran en . ${\displaystyle (G,X)}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle G}$

Notas

1. Dumas, David (2009). "Estructuras proyectivas complejas". En Papadopoulos, Athanase (ed.). Manual de teoría de Teichmüller, volumen II . Matemáticas europeas. soc.
2. Thurston 1997, Capítulo 3.4.
3. Thurston 1997, pág. 141.

Referencias

• Thurston, William (1997). Geometría y topología tridimensional. vol. 1 . Prensa de la Universidad de Princeton.