Conexión Ehresmann

Construcción de geometría diferencial sobre haces de fibras.

En geometría diferencial , una conexión de Ehresmann (en honor al matemático francés Charles Ehresmann , quien formalizó por primera vez este concepto) es una versión de la noción de conexión , que tiene sentido en cualquier haz de fibras lisas . En particular, no se basa en la posible estructura vectorial del haz de fibras subyacente, aunque las conexiones lineales pueden considerarse como un caso especial. Otro caso especial importante de conexiones de Ehresmann son las conexiones principales en paquetes principales , que deben ser equivariantes en la acción principal del grupo de Lie .

Introducción

Una derivada covariante en geometría diferencial es un operador diferencial lineal que toma la derivada direccional de una sección de un paquete de vectores de manera covariante . También permite formular una noción de sección paralela de un paquete en la dirección de un vector: una sección s es paralela a lo largo de un vector si . Por tanto, una derivada covariante proporciona al menos dos cosas: un operador diferencial y una noción de lo que significa ser paralelo en cada dirección. Una conexión de Ehresmann elimina completamente el operador diferencial y define una conexión axiomáticamente en términos de las secciones paralelas en cada dirección (Ehresmann 1950). Específicamente, una conexión de Ehresmann selecciona un subespacio vectorial de cada espacio tangente al espacio total del haz de fibras, llamado espacio horizontal . Una sección es entonces horizontal (es decir, paralela) en la dirección en que se encuentra en un espacio horizontal. Aquí estamos considerando como una función desde la base hasta el haz de fibras , por lo que es el avance de los vectores tangentes. Los espacios horizontales juntos forman un subconjunto de vectores de . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \nabla _{X}s=0}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\rm {d}}s(X)}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\colon M\to E}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle {\rm {d}}s\colon TM\to TE}$ ${\displaystyle TE}$

Esto tiene el beneficio inmediato de ser definible en una clase de estructuras mucho más amplia que los simples paquetes de vectores. En particular, está bien definido en un haz de fibras general . Además, muchas de las características de la derivada covariante aún permanecen: transporte paralelo, curvatura y holonomía .

El ingrediente que falta en la conexión, además de la linealidad, es la covarianza . Con las derivadas covariantes clásicas, la covarianza es una característica a posteriori de la derivada. En su construcción se especifica la ley de transformación de los símbolos de Christoffel  , que no es covariante, y como resultado se sigue la covarianza general de la derivada . Para una conexión de Ehresmann, es posible imponer un principio de covarianza generalizado desde el principio introduciendo un grupo de Lie que actúa sobre las fibras del haz de fibras. La condición adecuada es exigir que los espacios horizontales sean, en cierto sentido, equivariantes respecto de la acción grupal.

El toque final de una conexión de Ehresmann es que se puede representar como una forma diferencial , de forma muy parecida a una forma de conexión . Si el grupo actúa sobre las fibras y la conexión es equivariante, entonces la forma también será equivariante. Además, la forma de conexión permite definir la curvatura también como forma de curvatura .

Definicion formal

Una conexión de Ehresmann es una elección de subespacio horizontal para cada , donde hay algún haz de fibras, generalmente un haz principal . ${\displaystyle H_{p}\subset T_{p}P}$ ${\displaystyle p\in P}$ ${\displaystyle P}$

Sea un haz de fibras lisas . ^[1] dejar ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$

${\displaystyle V=\ker(\operatorname {d} \pi \colon TE\to TM)}$

ser el haz vertical formado por los vectores "tangentes a las fibras" de E , es decir, la fibra de V en es . Este subconjunto de se define canónicamente incluso cuando no hay un subespacio canónico tangente al espacio base M. (Por supuesto, esta asimetría proviene de la definición misma de un haz de fibras, que "sólo tiene una proyección", mientras que un producto tendría dos). ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle V_{e}=T_{e}(E_{\pi (e)})}$ ${\displaystyle TE}$ ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$ ${\displaystyle E=M\times F}$

Definición mediante subespacios horizontales

Una conexión de Ehresmann es un subconjunto suave de , llamado paquete horizontal de la conexión, que es complementario de V , en el sentido de que define una descomposición de suma directa . ^[2] Más detalladamente, el paquete horizontal tiene las siguientes propiedades. ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle TE}$ ${\displaystyle TE=H\oplus V}$

• Para cada punto , hay un subespacio vectorial del espacio tangente a en , llamado subespacio horizontal de la conexión en . ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle H_{e}}$ ${\displaystyle T_{e}E}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle e}$
• ${\displaystyle H_{e}}$depende suavemente de . ${\displaystyle e}$
• Para cada , . ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle H_{e}\cap V_{e}=\{0\}}$
• Cualquier vector tangente en (para cualquier ) es la suma de una componente horizontal y vertical, de modo que . ${\displaystyle T_{e}E}$ ${\displaystyle e\in E}$ ${\displaystyle T_{e}E=H_{e}+V_{e}}$

En términos más sofisticados, tal asignación de espacios horizontales que satisfacen estas propiedades corresponde precisamente a una sección suave del haz de chorros J ¹ E → E .

Definición a través de un formulario de conexión

De manera equivalente, sea Φ la proyección sobre el paquete vertical V a lo largo de H (de modo que H = ker Φ ). Esto está determinado por la descomposición de la suma directa anterior de TE en partes horizontales y verticales y, a veces, se denomina forma de conexión de la conexión de Ehresmann. Por lo tanto , Φ es un homomorfismo de haz de vectores de TE a sí mismo con las siguientes propiedades (de proyecciones en general):

• Φ2 = Φ ;^​
• Φ es la identidad en V = Im Φ .

Por el contrario, si Φ es un endomorfismo de haz vectorial de TE que satisface estas dos propiedades, entonces H = ker Φ es el subconjunto horizontal de una conexión de Ehresmann.

Finalmente, tenga en cuenta que Φ , al ser una aplicación lineal de cada espacio tangente a sí mismo, también puede considerarse como una forma 1 con valor TE en E. Esta será una perspectiva útil en las próximas secciones.

Transporte paralelo mediante ascensores horizontales

Una conexión de Ehresmann también prescribe una manera de elevar curvas desde el colector base M hacia el espacio total del haz de fibras E de modo que las tangentes a la curva sean horizontales. ^{[2] [3]} Estos ascensores horizontales son un análogo directo del transporte paralelo para otras versiones del formalismo de conexión.

Específicamente, supongamos que γ ( t ) es una curva suave en M que pasa por el punto x  =  γ (0). Sea e  ∈  E _x un punto de la fibra sobre x . Una elevación de γ a través de e es una curva en el espacio total E tal que ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(t)}$

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=e}$, y ${\displaystyle \pi ({\tilde {\gamma }}(t))=\gamma (t).}$

Una elevación es horizontal si, además, cada tangente de la curva se encuentra en el subconjunto horizontal de TE :

${\displaystyle {\tilde {\gamma }}'(t)\in H_{{\tilde {\gamma }}(t)}.}$

Se puede demostrar utilizando el teorema de rango-nulidad aplicado a π y Φ que cada vector X ∈ T _x M tiene una elevación horizontal única para un vector . En particular, el campo tangente a γ genera un campo vectorial horizontal en el espacio total del paquete de retroceso γ * E. Según el teorema de Picard-Lindelöf , este campo vectorial es integrable . Por lo tanto, para cualquier curva γ y punto e sobre x  =  γ (0), existe una elevación horizontal única de γ a través de e durante un tiempo pequeño t . ${\displaystyle {\tilde {X}}\in T_{e}E}$

Tenga en cuenta que, para las conexiones generales de Ehresmann, la elevación horizontal depende de la trayectoria. Cuando dos curvas suaves en M , que coinciden en γ ₁ (0) =  γ ₂ (0) =  x ₀ y también se cruzan en otro punto x ₁  ∈  M , se elevan horizontalmente hacia E a través del mismo e  ∈  π ⁻¹ ( x ₀ ), generalmente pasarán por diferentes puntos de π ⁻¹ ( x ₁ ). Esto tiene consecuencias importantes para la geometría diferencial de los haces de fibras: el espacio de secciones de H no es una subálgebra de Lie del espacio de campos vectoriales en E , porque no está (en general) cerrado bajo el corchete de Lie de campos vectoriales . Este fallo de cierre bajo el bracket Lie se mide por la curvatura .

Propiedades

Curvatura

Sea Φ una conexión de Ehresmann. Entonces la curvatura de Φ viene dada por ^[2]

${\displaystyle R={\tfrac {1}{2}}[\varPhi ,\varPhi ]}$

donde [-,-] denota el corchete de Frölicher-Nijenhuis de Φ ∈ Ω ¹ ( E , TE ) consigo mismo. Por lo tanto, R ∈ Ω ² ( E , TE ) es la forma doble en E con valores en TE definidos por

${\displaystyle R(X,Y)=\varPhi \left([(\mathrm {id} -\varPhi )X,(\mathrm {id} -\varPhi )Y]\right)}$,

o, en otros términos,

${\displaystyle R\left(X,Y\right)=\left[X_{H},Y_{H}\right]_{V}}$,

donde X = X _H + X _V denota la descomposición de la suma directa en componentes H y V , respectivamente. A partir de esta última expresión para la curvatura, se ve que desaparece idénticamente si, y sólo si, el subconjunto horizontal es integrable con Frobenius . Por tanto , la curvatura es la condición de integrabilidad para que el subhaz horizontal produzca secciones transversales del haz de fibras E → M.

La curvatura de una conexión de Ehresmann también satisface una versión de la identidad de Bianchi :

${\displaystyle \left[\varPhi ,R\right]=0}$

donde nuevamente [-,-] es el corchete de Frölicher-Nijenhuis de Φ ∈ Ω ¹ ( E , TE ) y R ∈ Ω ² ( E , TE ).

Lo completo

Una conexión Ehresmann permite que las curvas tengan elevaciones horizontales únicas a nivel local . Para una conexión Ehresmann completa , se puede elevar una curva horizontalmente sobre todo su dominio.

holonomía

La planitud de la conexión corresponde localmente a la integrabilidad de Frobenius de los espacios horizontales. En el otro extremo, la curvatura que no desaparece implica la presencia de holonomía de la conexión. ^[4]

Casos especiales

Haces principales y conexiones principales

Una forma de conexión de haz principal puede considerarse como un operador de proyección en el paquete tangente del paquete principal . El núcleo de la forma de conexión lo dan los subespacios horizontales de la conexión de Ehresmann asociada. ${\displaystyle \omega }$ ${\displaystyle TP}$ ${\displaystyle P}$

Supongamos que E es un paquete G principal suave sobre M . Entonces una conexión de Ehresmann H sobre E se dice que es una conexión principal (Ehresmann) ^[3] si es invariante con respecto a la acción G sobre E en el sentido de que

${\displaystyle H_{eg}=\mathrm {d} (R_{g})_{e}(H_{e})}$para cualquier e ∈ E y g ∈ G ; aquí denota el diferencial de la acción correcta de g en E en e . ${\displaystyle \mathrm {d} (R_{g})_{e}}$

Los subgrupos de un parámetro de G actúan verticalmente sobre E. El diferencial de esta acción permite identificar el subespacio con el álgebra de Lie g del grupo G , digamos mediante mapa . La forma de conexión Φ de la conexión de Ehresmann puede verse entonces como una forma 1 ω en E con valores en g definidos por ω ( X ) = ι ( Φ ( X )). ${\displaystyle V_{e}}$ ${\displaystyle \iota \colon V_{e}\to {\mathfrak {g}}}$

Así reinterpretada, la forma de conexión ω satisface las dos propiedades siguientes:

• Se transforma de manera equivariante bajo la acción G : para todo h ∈ G , donde R _h ^* es el retroceso bajo la acción correcta y Ad es la representación adjunta de G en su álgebra de Lie. ${\displaystyle R_{h}^{*}\omega ={\hbox{Ad}}(h^{-1})\omega }$
• Asigna campos vectoriales verticales a sus elementos asociados del álgebra de Lie: ω ( X ) = ι ( X ) para todo X ∈ V .

Por el contrario, se puede demostrar que dicha forma 1 con valor g en un paquete principal genera una distribución horizontal que satisface las propiedades antes mencionadas.

Dada una trivialización local, se puede reducir ω a los campos vectoriales horizontales (en esta trivialización). Define una forma 1 ω' en M mediante retroceso . La forma ω' determina ω completamente, pero depende de la elección de la trivialización. (Esta forma a menudo también se denomina forma de conexión y se denota simplemente por ω ).

Paquetes de vectores y derivadas covariantes.

Supongamos que E es un paquete de vectores suave sobre M. Entonces, una conexión de Ehresmann H sobre E se dice que es una conexión lineal (Ehresmann) si H _e depende linealmente de e ∈ E _x para cada x ∈ M . Para precisar esto, sea S _λ la multiplicación escalar por λ en E . Entonces H es lineal si y sólo si para cualquier e ∈ E y escalar λ. ${\displaystyle H_{\lambda e}=\mathrm {d} (S_{\lambda })_{e}(H_{e})}$

Dado que E es un paquete de vectores, su paquete vertical V es isomorfo a π * E. Por lo tanto, si s es una sección de E , entonces Φ ( d s ): TM → s * V = s * π * E = E. Es un morfismo de paquete de vectores y, por lo tanto, está dado por una sección ∇ s del paquete de vectores Hom ( TM , E ). El hecho de que la conexión de Ehresmann sea lineal implica que además se verifica para toda función según la regla de Leibniz, es decir , y por tanto es una derivada covariante de s . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \nabla (fs)=f\nabla (s)+d(f)\otimes s}$

Por el contrario, una derivada covariante ∇ en un paquete de vectores define una conexión lineal de Ehresmann al definir H _e , para e ∈ E con x = π ( e ), como la imagen d s _x ( T _x M ) donde s es una sección de E con s ( x ) = e y ∇ _X s = 0 para todo X ∈ T _x M .

Tenga en cuenta que (por razones históricas) el término lineal , cuando se aplica a conexiones, a veces se usa (como la palabra afín  ; consulte Conexión afín ) para referirse a conexiones definidas en el haz tangente o en el haz de marcos .

Paquetes asociados

Una conexión de Ehresmann sobre un haz de fibras (dotado de un grupo estructural) da lugar en ocasiones a una conexión de Ehresmann sobre un haz asociado . Por ejemplo, una conexión (lineal) en un paquete de vectores E , pensada para dar un paralelismo de E como se indicó anteriormente, induce una conexión en el paquete de marcos asociado PE de E. Por el contrario, una conexión en PE da lugar a una conexión (lineal) en E siempre que la conexión en PE sea equivariante con respecto a la acción del grupo lineal general sobre los marcos (y por tanto una conexión principal ). No siempre es posible que una conexión de Ehresmann induzca, de forma natural, una conexión en un haz asociado. Por ejemplo, una conexión de Ehresmann no equivariante en un conjunto de cuadros de un conjunto de vectores puede no inducir una conexión en el conjunto de vectores.

Supongamos que E es un paquete asociado de P , de modo que E = P × _G F. Una conexión G en E es una conexión de Ehresmann tal que el mapa de transporte paralelo τ : F _x → F _x′ viene dado por una transformación G de las fibras (sobre puntos x y x ′ suficientemente cercanos en M unidos por una curva) . ^[5]

Dada una conexión principal en P , se obtiene una conexión G en el haz de fibras asociado E = P × _G F mediante retroceso .

Por el contrario, dada una conexión G en E , es posible recuperar la conexión principal en el paquete principal asociado P. Para recuperar esta conexión principal, se introduce la noción de trama sobre la fibra típica F . Dado que G es un grupo de Lie de dimensión finita ^{[6] que actúa eficazmente sobre} F , debe existir una configuración finita de puntos ( y ₁ ,..., y _m ) dentro de F tal que la órbita G R = {( gy ₁ ,..., gimnasio _m ) | g ∈ G } es un espacio principal homogéneo de G . Se puede pensar que R da una generalización de la noción de un marco para la acción G en F. Tenga en cuenta que, dado que R es un espacio principal homogéneo para G , el haz de fibras E ( R ) asociado a E con la fibra típica R es (equivalente a ) el haz principal asociado a E. Pero también es un subconjunto del conjunto de productos m veces de E consigo mismo. La distribución de espacios horizontales en E induce una distribución de espacios en este paquete de productos. Dado que los mapas de transporte paralelo asociados a la conexión son mapas G , preservan el subespacio E ( R ), por lo que la conexión G desciende a una conexión G principal en E ( R ).

En resumen, existe una correspondencia uno a uno (hasta la equivalencia) entre los descensos de las conexiones principales a los haces de fibras asociados y las conexiones G en los haces de fibras asociados. Por este motivo, en la categoría de haces de fibras con un grupo estructural G , la conexión principal contiene toda la información relevante para las conexiones G de los haces asociados. Por lo tanto, a menos que exista una razón imperiosa para considerar conexiones en paquetes asociados (como ocurre, por ejemplo, en el caso de las conexiones de Cartan ), normalmente se trabaja directamente con la conexión principal.

Notas

1. Estas consideraciones se aplican igualmente a la situación más general en la que se trata de una inmersión sobreyectiva : es decir, E es una variedad fibrosa sobre M. En una generalización alternativa, debida a Lang (1999) y Eliason (1967), se permite que E y M sean variedades de Banach , siendo E un haz de fibras sobre M como se indicó anteriormente. ${\displaystyle \pi \colon E\to M}$
2. Kolář, Michor y Slovák (1993), pág. ^{[ página necesaria ]} .
3. Kobayashi y Nomizu (1996a), pág. ^{[ página necesaria ]} , vol. 1.
4. La holonomía de las conexiones de Ehresmann en haces de fibras a veces se denomina holonomía de Ehresmann-Reeb u holonomía de hojas en referencia al primer estudio detallado que utilizó conexiones de Ehresmann para estudiar foliaciones (Reeb 1952)
5. Véase también Lumiste (2001b), "Conexiones en un colector".
6. Por conveniencia, asumimos que G es de dimensión finita, aunque esta suposición puede descartarse con seguridad con modificaciones menores.

Referencias

• Ehresmann, Charles (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable (PDF) , Colloque de Topologie, Bruselas, Georges Thone, Lieja; Masson & cie, París, págs. 29-55
• Ehresmann, Charles (1952), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable (PDF) , Séminaire N. Bourbaki, vol. 24, págs. 153-168
• Eliason, H (1967), "Geometría de variedades de mapas", Journal of Differential Geometry , 1 : 169–194
• Kobayashi, Shoshichi (1957), "Teoría de las conexiones", Ann. Estera. Pura aplicación. , 43 : 119–194, doi : 10.1007/BF02411907 , SEÑOR  0096276, S2CID  120972987
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996a), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
• Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996b), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 2 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-15732-8
• Kolář, Ivan; Micor, Pedro; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) el 30 de marzo de 2017 , consultado el 25 de abril de 2007
• Lang, Serge (1999), Fundamentos de geometría diferencial , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98593-X
• Lumiste, Ülo (2001a) [1994], "Conexión en un haz de fibras", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Lumiste, Ülo (2001b) [1994], "Conexiones en una variedad", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Reeb, Georges (1952), Sur surees propriétés topologiques des variétés feuilletées , París: Herman

Otras lecturas

• Raoul Bott (1970) "Obstrucción topológica a la integrabilidad", Proc. Síntoma. Matemática pura. , 16 Amer. Matemáticas. Soc., Providencia, RI.
• Kubarski, enero; Pradines, Jean; Rybicki, Tomasz; Wolak, Robert, eds. (2007). Geometría y topología de variedades: el legado matemático de Charles Ehresmann con motivo del centenario de su cumpleaños. Publicaciones del Centro Banach. vol. 76. Varsovia: Academia Polaca de Ciencias . SEÑOR  2284825.