En matemáticas , el corchete de Frölicher-Nijenhuis es una extensión del corchete de Lie de campos vectoriales a formas diferenciales con valores vectoriales en una variedad diferenciable .
Es útil en el estudio de conexiones , en particular la conexión de Ehresmann , así como en el estudio más general de proyecciones en el fibrado tangente . Fue introducido por Alfred Frölicher y Albert Nijenhuis (1956) y está relacionado con el trabajo de Schouten (1940).
Está relacionado, pero no es lo mismo, con el grupo Nijenhuis-Richardson y el grupo Schouten-Nijenhuis .
Definición
Sea Ω*( M ) el haz de álgebras exteriores de formas diferenciales en una variedad suave M . Ésta es un álgebra graduada en la que las formas se clasifican por grado:
![{\displaystyle \Omega ^{*}(M)=\bigoplus _ {k=0}^{\infty }\Omega ^{k}(M).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una derivación graduada de grado ℓ es un mapeo
![{\displaystyle D:\Omega ^{*}(M)\to \Omega ^{*+l}(M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
que es lineal con respecto a constantes y satisface
![{\displaystyle D(\alpha \wedge \beta )=D(\alpha )\wedge \beta +(-1)^{\ell \deg(\alpha )}\alpha \wedge D(\beta ).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Así, en particular, el producto interior con un vector define una derivación graduada de grado ℓ = −1, mientras que la derivada exterior es una derivación graduada de grado ℓ = 1.
El espacio vectorial de todas las derivaciones de grado ℓ se denota por Der ℓ Ω*( M ). La suma directa de estos espacios es un espacio vectorial graduado cuyos componentes homogéneos constan de todas las derivaciones graduadas de un grado determinado; se denota
![{\displaystyle \mathrm {Der} \,\Omega ^{*}(M)=\bigoplus _{k=-\infty }^{\infty }\mathrm {Der} _{k}\,\Omega ^{ *}(METRO).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Esto forma una superálgebra de Lie graduada bajo el anticonmutador de derivaciones definidas en derivaciones homogéneas D 1 y D 2 de grados d 1 y d 2 , respectivamente, por
![{\displaystyle [D_{1},D_{2}]=D_{1}\circ D_{2}-(-1)^{d_{1}d_{2}}D_{2}\circ D_{1 }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Cualquier forma diferencial K con valores vectoriales en Ω k ( M , T M ) con valores en el paquete tangente de M define una derivación graduada de grado k − 1, denotada por i K , y llamada operador de inserción. Para ω ∈ Ω ℓ ( METRO ),
![{\displaystyle i_{K}\,\omega (X_{1},\dots ,X_{k+\ell -1})={\frac {1}{k!(\ell -1)!}}\sum _{\sigma \in {S}_{k+\ell -1}}{\textrm {signo}}\,\sigma \cdot \omega (K(X_{\sigma (1)},\dots ,X_{ \sigma (k)}),X_{\sigma (k+1)},\dots ,X_{\sigma (k+\ell -1)})}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
La derivada de Nijenhuis-Lie a lo largo de K ∈ Ω k ( M , T M ) se define por
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]=i_{K}\,{\circ }\,d-(-1)^{k-1}d\ ,{\circ }\,i_{K}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
donde d es la derivada exterior e i K es el operador de inserción.
El corchete de Frölicher-Nijenhuis se define como la forma diferencial única con valores vectoriales
![{\displaystyle [\cdot ,\cdot ]_{FN}:\Omega ^{k}(M,\mathrm {T} M)\times \Omega ^{\ell }(M,\mathrm {T} M) \to \Omega ^{k+\ell }(M,\mathrm {T} M):(K,L)\mapsto [K,L]_{FN}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
tal que
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{[K,L]_{FN}}=[{\mathcal {L}}_{K},{\mathcal {L}}_{L}].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Por eso,
![{\displaystyle [K,L]_{FN}=-(-1)^{kl}[L,K]_{FN}.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si k = 0, de modo que K ∈ Ω 0 ( M , T M ) es un campo vectorial, se recupera la fórmula de homotopía habitual para la derivada de Lie.
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}=[i_{K},d]=i_{K}\,{\circ }\,d+d\,{\circ }\,i_{K }.}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si k = ℓ =1, de modo que K,L ∈ Ω 1 ( M , T M ), se tiene para cualquier campo vectorial X e Y
![{\displaystyle [K,L]_{FN}(X,Y)=[KX,LY]+[LX,KY]+(KL+LK)[X,Y]-K([LX,Y]+[ X,LY])-L([KX,Y]+[X,KY]).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Si k =0 y ℓ =1, de modo que K=Z ∈ Ω 0 ( M , T M ) es un campo vectorial y L ∈ Ω 1 ( M , T M ), se tiene para cualquier campo vectorial X
![{\displaystyle [Z,L]_{FN}(X)=[Z,LX]-L[Z,X].}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Una fórmula explícita para el corchete de Frölicher-Nijenhuis de y (para las formas φ y ψ y los campos vectoriales X e Y ) viene dada por![{\displaystyle \phi \otimes X}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \psi \otimes Y}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle \left.\right.[\phi \otimes X,\psi \otimes Y]_{FN}=\phi \wedge \psi \otimes [X,Y]+\phi \wedge {\mathcal {L }}_{X}\psi \otimes Y-{\mathcal {L}}_{Y}\phi \wedge \psi \otimes X+(-1)^{\deg(\phi )}(d\phi \ cuña i_{X}(\psi )\otimes Y+i_{Y}(\phi )\wedge d\psi \otimes X).}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
Derivaciones del anillo de formas
Cada derivación de Ω * ( M ) se puede escribir como
![{\displaystyle i_{L}+{\mathcal {L}}_{K}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
para elementos únicos K y L de Ω * ( M , T M ). El paréntesis de Lie de estas derivaciones se proporciona a continuación.
- Las derivaciones de la forma forman la superálgebra de Lie de todas las derivaciones que conmutan con d . El corchete viene dado por
![{\displaystyle {\mathcal {L}}_{K}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K_{1}}, {\mathcal {L}}_{K_{2}}]={\mathcal {L}}_{[K_{1}, K_ {2}]}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- donde el corchete de la derecha es el corchete de Frölicher-Nijenhuis. En particular, el corchete de Frölicher-Nijenhuis define una estructura de álgebra de Lie graduada en , que extiende el corchete de Lie de los campos vectoriales .
![{\displaystyle \Omega (M,\mathrm {T} M)}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- Las derivaciones de la forma forman la superálgebra de Lie de todas las derivaciones que desaparecen en funciones Ω 0 ( M ). El corchete viene dado por
![{\ Displaystyle i_ {L}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
![{\displaystyle [i_{L_{1}},i_{L_{2}}]=i_{[L_{1},L_{2}]^{\land }}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- donde el corchete de la derecha es el corchete de Nijenhuis-Richardson .
- El grupo de derivaciones de diferentes tipos viene dado por
![{\displaystyle [{\mathcal {L}}_{K},i_{L}]=i_{[K,L]}-(-1)^{kl}{\mathcal {L}}_{i_{ L}K}}](data:image/gif;base64,R0lGODlhAQABAIAAAAAAAP///yH5BAEAAAAALAAAAAABAAEAAAIBRAA7)
- para K en Ω k ( M , T M ), L en Ω l+1 ( M , T M ).
Aplicaciones
El tensor de Nijenhuis de una estructura casi compleja J es el corchete de Frölicher-Nijenhuis de J consigo mismo. Una estructura casi compleja es una estructura compleja si y sólo si el tensor de Nijenhuis es cero.
Con el corchete de Frölicher-Nijenhuis es posible definir la curvatura y cocurvatura de una forma 1 con valor vectorial que es una proyección . Esto generaliza el concepto de curvatura de una conexión .
Existe una generalización común del grupo Schouten-Nijenhuis y el grupo Frölicher-Nijenhuis; para obtener más detalles, consulte el artículo sobre el soporte Schouten-Nijenhuis .
Referencias
- Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1956), "Teoría de las formas diferenciales valoradas por vectores. Parte I", Indagationes Mathematicae , 18 : 338–360, doi :10.1016/S1385-7258(56)50046-7.
- Frölicher, A.; Nijenhuis, A. (1960), "Invariancia de operaciones de forma vectorial bajo asignaciones", Commentarii Mathematici Helvetici , 34 : 227–248, doi :10.1007/bf02565938, S2CID 122349574.
- PW Michor (2001) [1994], "Soporte Frölicher-Nijenhuis", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Schouten, JA (1940), "Über Differentialkonkomitanten zweier kontravarianten Grössen", Indagationes Mathematicae , 2 : 449–452.