Soporte Nijenhuis-Richardson

Estructura del álgebra de Lie gradual

En matemáticas , el corchete algebraico o corchete de Nijenhuis-Richardson es una estructura de álgebra de Lie graduada en el espacio de formas multilineales alternas de un espacio vectorial a sí mismo, introducida por A. Nijenhuis y RW Richardson, Jr (1966, 1967). Está relacionado con el corchete de Frölicher-Nijenhuis y el corchete de Schouten-Nijenhuis , pero no es lo mismo .

Definición

La principal motivación para introducir el corchete fue desarrollar un marco uniforme para discutir todas las posibles estructuras del álgebra de Lie en un espacio vectorial y, posteriormente, las deformaciones de estas estructuras. Si V es un espacio vectorial y p ≥ −1 es un entero, sea

${\displaystyle \operatorname {Alt} ^{p}(V)=({\bigwedge }^{p+1}V^{*})\otimes V}$

sea ​​el espacio de todas las aplicaciones antisimétricas ( p + 1) -multilineales de V a sí mismo. La suma directa Alt( V ) es un espacio vectorial graduado . Una estructura de álgebra de Lie sobre V está determinada por una aplicación bilineal antisimétrica μ  : V × V → V . Es decir, μ es un elemento de Alt ¹ ( V ). Además, μ debe obedecer a la identidad de Jacobi . El corchete de Nijenhuis-Richardson proporciona una manera sistemática de expresar esta identidad en la forma [ μ , μ ] = 0 .

En detalle, el corchete es una operación de corchete bilineal definida en Alt( V ) de la siguiente manera. En elementos homogéneos P ∈ Alt ^p ( V ) y Q ∈ Alt ^q ( V ) , el corchete de Nijenhuis–Richardson [ P , Q ] ^∧ ∈ Alt ^{p + q} ( V ) está dado por

${\displaystyle [P,Q]^{\land }=i_{P}Q-(-1)^{pq}i_{Q}P.}$

Aquí el producto interior i _P se define por

${\displaystyle (i_{P}Q)(X_{0},X_{1},\ldots ,X_{p+q})=\sum _{\sigma \in {\text{Sh}}_{q+1,p}}\mathrm {sgn} (\sigma )P(Q(X_{\sigma (0)},X_{\sigma (1)},\ldots ,X_{\sigma (q)}),X_{\sigma (q+1)},\ldots ,X_{\sigma (p+q)})}$

donde denota ( q+1 , p )-barajadas de los índices, es decir, permutaciones de tales que y . ${\displaystyle {\text{Sh}}_{q+1,p}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \{0,\ldots ,p+q\}}$ ${\displaystyle \sigma (0)<\cdots <\sigma (q)}$ ${\displaystyle \sigma (q+1)<\cdots <\sigma (p+q)}$

En elementos no homogéneos, el soporte se extiende por bilinealidad.

Derivaciones del anillo de formas

El corchete de Nijenhuis-Richardson se puede definir en las formas vectoriales Ω ^* ( M , T ( M )) en una variedad suave M de una manera similar. Las formas vectoriales actúan como derivaciones en el anillo supercommutativo Ω ^* ( M ) de formas en M al llevar K a la derivación i _K , y el corchete de Nijenhuis-Richardson corresponde entonces al conmutador de dos derivaciones. Esto identifica Ω ^* ( M , T ( M )) con el álgebra de derivaciones que se desvanecen en funciones suaves. No todas las derivaciones son de esta forma; para la estructura del anillo completo de todas las derivaciones, véase el artículo Corchete de Frölicher-Nijenhuis .

Tanto el corchete de Nijenhuis-Richardson como el de Frölicher-Nijenhuis convierten Ω ^* ( M , T ( M )) en una superálgebra graduada, pero tienen grados diferentes.

Referencias

• Lecomte, Pierre; Michor, Peter W.; Schicketanz, Hubert (1992). "El álgebra multigrado de Nijenhuis-Richardson, su propiedad universal y aplicación". J. Pure Appl. Algebra . 77 (1): 87–102. arXiv : math/9201257 . doi :10.1016/0022-4049(92)90032-B.
• Michor, PW (2001) [1994], "Corchete de Frölicher–Nijenhuis", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
• Michor, PW; Schicketanz, H. (1989). "Una cohomología para formas diferenciales con valores vectoriales". Ann. Global Anal. Geom . 7 (3): 163–9. arXiv : math.DG/9201255 . doi :10.1007/BF00128296. S2CID  14688631.
• Nijenhuis, A.; Richardson, R. (1966). "Cohomología y deformaciones en álgebras de Lie graduadas". Bull. Amer. Math. Soc . 72 : 1–29. CiteSeerX  10.1.1.333.2736 . doi :10.1090/S0002-9904-1966-11401-5. MR  0195995.
• Nijenhuis, A.; Richardson, R. (1967). "Deformación de estructuras del álgebra de Lie". J. Math. Mech . 17 (1): 89–105. JSTOR  24902154.