Soporte Schouten–Nijenhuis

En geometría diferencial , el corchete de Schouten-Nijenhuis , también conocido como corchete de Schouten , es un tipo de corchete de Lie graduado definido en campos multivectoriales en una variedad suave que extiende el corchete de Lie de campos vectoriales .

Existen dos versiones diferentes, ambas denominadas con el mismo nombre, lo que genera cierta confusión. La versión más común se define sobre cuerpos multivectoriales alternados y los convierte en un álgebra de Gerstenhaber , pero también existe otra versión definida sobre cuerpos multivectoriales simétricos, que es más o menos lo mismo que el corchete de Poisson sobre el fibrado cotangente . Fue inventado por Jan Arnoldus Schouten (1940, 1953) y sus propiedades fueron investigadas por su alumno Albert Nijenhuis (1955). Está relacionado con el corchete de Nijenhuis-Richardson y el corchete de Frölicher-Nijenhuis, pero no es lo mismo .

Definición y propiedades

Un campo multivectorial alterno es una sección del álgebra exterior sobre el fibrado tangente de una variedad . Los campos multivectoriales alterno forman un anillo superconmutativo graduado con el producto de y escrito como (algunos autores usan ). Esto es dual al álgebra habitual de formas diferenciales por el apareamiento en elementos homogéneos: ${\displaystyle \wedge ^{\bullet }TM}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle ab}$ ${\displaystyle a\wedge b}$ ${\displaystyle \Omega ^{\bullet }(M)}$

${\displaystyle \omega (a_{1}a_{2}\dots a_{p})=\left\{{\begin{matrix}\omega (a_{1},\dots ,a_{p})&(\omega \in \Omega ^{p}M)\\0&(\omega \not \in \Omega ^{p}M)\end{matrix}}\right.}$

El grado de un multivector en se define como . ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \Lambda ^{p}TM}$ ${\displaystyle |A|=p}$

El corchete de Schouten-Nijenhuis antisimétrico es la única extensión del corchete de Lie de los campos vectoriales a un corchete graduado en el espacio de campos multivectoriales alternados que convierte los campos multivectoriales alternados en un álgebra de Gerstenhaber . Se da en términos del corchete de Lie de los campos vectoriales por

${\displaystyle [a_{1}\cdots a_{m},b_{1}\cdots b_{n}]=\sum _{i,j}(-1)^{i+j}[a_{i},b_{j}]a_{1}\cdots a_{i-1}a_{i+1}\cdots a_{m}b_{1}\cdots b_{j-1}b_{j+1}\cdots b_{n}}$

para campos vectoriales , y ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle b_{j}}$

${\displaystyle [f,a_{1}\cdots a_{m}]=-\iota _{df}(a_{1}\cdots a_{m})}$

Para campos vectoriales y funciones suaves , donde es el operador de producto interior común . Tiene las siguientes propiedades. ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \iota _{df}}$

• ${\displaystyle (ab)c=a(bc)}$(el producto es asociativo);
• ${\displaystyle ab=(-1)^{|a||b|}ba}$(el producto es (super) conmutativo);
• ${\displaystyle |ab|=|a|+|b|}$(el producto tiene grado 0);
• ${\displaystyle |[a,b]|=|a|+|b|-1}$(el grupo Schouten-Nijenhuis tiene grado −1);
• ${\displaystyle [a,bc]=[a,b]c+(-1)^{|b|(|a|-1)}b[a,c]}$(Identidad de Poisson);
• ${\displaystyle [a,b]=-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,a]}$(antisimetría del corchete de Schouten-Nijenhuis);
• ${\displaystyle [[a,b],c]=[a,[b,c]]-(-1)^{(|a|-1)(|b|-1)}[b,[a,c]]}$(Identidad Jacobi para el grupo Schouten-Nijenhuis);
• Si y son funciones (multivectores homogéneos de grado 0), entonces ; ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle [f,g]=0}$
• Si es un campo vectorial, entonces es la derivada de Lie habitual del campo multivectorial a lo largo de , y en particular si y son campos vectoriales, entonces el corchete de Schouten-Nijenhuis es el corchete de Lie habitual de los campos vectoriales. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle [a,b]=L_{a}b}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$

El corchete de Schouten-Nijenhuis convierte los cuerpos multivectoriales en una superálgebra de Lie si se cambia la gradación a una de paridad opuesta (de modo que se intercambian los subespacios pares e impares), aunque con esta nueva gradación ya no es un anillo superconmutativo. En consecuencia, la identidad de Jacobi también puede expresarse en la forma simétrica

${\displaystyle (-1)^{(|a|-1)(|c|-1)}[a,[b,c]]+(-1)^{(|b|-1)(|a|-1)}[b,[c,a]]+(-1)^{(|c|-1)(|b|-1)}[c,[a,b]]=0.\,}$

Generalizaciones

Existe una generalización común del corchete de Schouten-Nijenhuis para campos multivectoriales alternados y el corchete de Frölicher-Nijenhuis debido a Vinogradov (1990).

También se puede definir una versión del corchete de Schouten-Nijenhuis para campos multivectoriales simétricos de manera similar. Los campos multivectoriales simétricos se pueden identificar con funciones en el espacio cotangente de que son polinómicas en la fibra, y bajo esta identificación el corchete de Schouten-Nijenhuis simétrico corresponde al corchete de Poisson de funciones en la variedad simpléctica . Existe una generalización común del corchete de Schouten-Nijenhuis para campos multivectoriales simétricos y el corchete de Frölicher-Nijenhuis debido a Dubois-Violette y Peter W. Michor (1995). ${\displaystyle T^{*}M}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle T^{*}M}$

Referencias

• Dubois-Violette, Michel; Michor, Peter W. (1995). "Una generalización común del corchete de Frölicher–Nijenhuis y del corchete de Schouten para campos multivectoriales simétricos". Indag. Math . 6 (1): 51–66. arXiv : alg-geom/9401006 . doi :10.1016/0019-3577(95)98200-u.
• Marle, Charles-Michel (1997). "El corchete de Schouten-Nijenhuis y los productos interiores" (PDF) . Revista de geometría y física . 23 (3–4): 350–359. Bibcode :1997JGP....23..350M. CiteSeerX  10.1.1.27.5358 . doi :10.1016/s0393-0440(97)80009-5.
• Nijenhuis, A. (1955). "Identidades de tipo Jacobi para concomitantes diferenciales bilineales de ciertos campos tensoriales I". Indagaciones Mathematicae . 17 : 390–403. doi :10.1016/S1385-7258(55)50054-0. hdl : 10338.dmlcz/102420 .
• Schouten, JA (1940). "Über Differentialkonkomitanten dos Weier kontravarianten Grössen". Indag. Matemáticas . 2 : 449–452.
• Schouten, JA (1953). "Sobre los operadores diferenciales de primer orden en el cálculo tensorial". En Cremonese (ed.). Convegno Int. Geom. Diff. Italia . págs. 1–7.
• Vinogradov, AM (1990). "Unificación de corchetes Schouten-Nijenhuis y Frölicher-Nijenhuis, cohomología y operadores superdiferenciales". soviético. Matemáticas. Zametki . 47 .

Enlaces externos

• Soporte de Nicola Ciccoli Schouten-Nijenhuis en notas sobre De Poisson a la geometría cuántica