forma de curvatura

En geometría diferencial , la forma de curvatura describe la curvatura de una conexión en un haz principal . El tensor de curvatura de Riemann en la geometría de Riemann puede considerarse como un caso especial.

Definición

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y P → B sea un paquete G principal . Sea ω una conexión de Ehresmann en P (que es una forma univaluada en P ). ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

Entonces la forma de curvatura es la forma de 2 valores en P definida por ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \Omega =d\omega +{1 \over 2}[\omega \wedge \omega ]=D\omega .}$

(En otra convención, 1/2 no aparece). Aquí significa derivada exterior , se define en el artículo " Forma valorada en álgebra de Lie " y D denota la derivada covariante exterior . En otros términos, ^[1] ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle [\cdot \wedge \cdot ]}$

${\displaystyle \,\Omega (X,Y)=d\omega (X,Y)+{1 \over 2}[\omega (X),\omega (Y)]}$

donde X , Y son vectores tangentes a P .

También hay otra expresión para Ω: si X , Y son campos vectoriales horizontales en P , entonces ^[2]

${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=-\omega ([X,Y])=-[X,Y]+h[X,Y]}$

donde hZ significa el componente horizontal de Z , a la derecha identificamos un campo vectorial vertical y un elemento de álgebra de Lie que lo genera ( campo vectorial fundamental ), y es el inverso del factor de normalización usado por convención en la fórmula para la derivada exterior . ${\displaystyle \sigma \in \{1,2\}}$

Se dice que una conexión es plana si su curvatura desaparece: Ω = 0. De manera equivalente, una conexión es plana si el grupo de estructuras se puede reducir al mismo grupo subyacente pero con la topología discreta.

Forma de curvatura en un paquete de vectores

Si E → B es un paquete de vectores, entonces también se puede pensar en ω como una matriz de 1 formas y la fórmula anterior se convierte en la ecuación estructural de E. Cartan:

${\displaystyle \,\Omega =d\omega +\omega \wedge \omega ,}$

¿Dónde está el producto cuña ? Más precisamente, si y denota componentes de ω y Ω correspondientemente (por lo que cada uno es una forma 1 habitual y cada uno es una forma 2 habitual), entonces ${\displaystyle \wedge }$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\omega ^{i}}_{j}}$ ${\displaystyle {\Omega ^{i}}_{j}}$

${\displaystyle \Omega _{j}^{i}=d{\omega ^{i}}_{j}+\sum _{k}{\omega ^{i}}_{k}\wedge {\omega ^{k}}_{j}.}$

For example, for the tangent bundle of a Riemannian manifold, the structure group is O(n) and Ω is a 2-form with values in the Lie algebra of O(n), i.e. the antisymmetric matrices. In this case the form Ω is an alternative description of the curvature tensor, i.e.

${\displaystyle \,R(X,Y)=\Omega (X,Y),}$

using the standard notation for the Riemannian curvature tensor.

Bianchi identities

If ${\displaystyle \theta }$ is the canonical vector-valued 1-form on the frame bundle, the torsion ${\displaystyle \Theta }$ of the connection form ${\displaystyle \omega }$ is the vector-valued 2-form defined by the structure equation

${\displaystyle \Theta =d\theta +\omega \wedge \theta =D\theta ,}$

where as above D denotes the exterior covariant derivative.

The first Bianchi identity takes the form

${\displaystyle D\Theta =\Omega \wedge \theta .}$

The second Bianchi identity takes the form

${\displaystyle \,D\Omega =0}$

and is valid more generally for any connection in a principal bundle.

The Bianchi identities can be written in tensor notation as: ${\displaystyle R_{abmn;\ell }+R_{ab\ell m;n}+R_{abn\ell ;m}=0.}$

The contracted Bianchi identities are used to derive the Einstein tensor in the Einstein field equations, the bulk of general theory of relativity.^{[clarification needed]}

Notes

1. since ${\displaystyle [\omega \wedge \omega ](X,Y)={\frac {1}{2}}([\omega (X),\omega (Y)]-[\omega (Y),\omega (X)])}$. Here we use also the ${\displaystyle \sigma =2}$ Kobayashi convention for the exterior derivative of a one form which is then ${\displaystyle d\omega (X,Y)={\frac {1}{2}}(X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y]))}$
2. Proof: ${\displaystyle \sigma \Omega (X,Y)=\sigma d\omega (X,Y)=X\omega (Y)-Y\omega (X)-\omega ([X,Y])=-\omega ([X,Y]).}$

References

• Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry, Vol.I, Chapter 2.5 Curvature form and structure equation, p 75, Wiley Interscience.

See also

• Connection (principal bundle)
• Basic introduction to the mathematics of curved spacetime
• Contracted Bianchi identities
• Einstein tensor
• Einstein field equations
• General theory of relativity
• Chern-Simons form
• Curvature of Riemannian manifolds
• Gauge theory