Teorema de uniformización

La superficie de Riemann simplemente conectada es equivalente a un disco abierto, un plano complejo o una esfera.

En matemáticas, el teorema de uniformización establece que cada superficie de Riemann simplemente conectada es conformemente equivalente a una de tres superficies de Riemann: el disco unitario abierto , el plano complejo o la esfera de Riemann . El teorema es una generalización del teorema de mapeo de Riemann desde subconjuntos abiertos del plano simplemente conectados hasta superficies de Riemann arbitrarias simplemente conectadas.

Dado que toda superficie de Riemann tiene una cubierta universal que es una superficie de Riemann simplemente conexa, el teorema de uniformización lleva a una clasificación de las superficies de Riemann en tres tipos: aquellas que tienen la esfera de Riemann como cubierta universal ("elíptica"), aquellas que tienen el plano como cubierta universal ("parabólicas") y los que tienen el disco unitario como cubierta universal ("hiperbólicas"). Además, cada superficie de Riemann admite una métrica de Riemann de curvatura constante , donde la curvatura puede tomarse como 1 en el caso elíptico, 0 en el parabólico y -1 en el hiperbólico.

El teorema de uniformización también produce una clasificación similar de 2 variedades de Riemann orientables cerradas en casos elípticos / parabólicos / hiperbólicos. Cada una de estas variedades tiene una métrica de Riemann conformemente equivalente con curvatura constante, donde se puede considerar que la curvatura es 1 en el caso elíptico, 0 en el parabólico y -1 en el hiperbólico.

Historia

Felix Klein  (1883) y Henri Poincaré  (1882) conjeturaron el teorema de uniformización para (las superficies de Riemann de) curvas algebraicas. Henri Poincaré (1883) extendió esto a funciones analíticas multivaluadas arbitrarias y dio argumentos informales a su favor. Las primeras demostraciones rigurosas del teorema general de uniformización las dieron Poincaré  (1907) y Paul Koebe  (1907a, 1907b, 1907c). Paul Koebe dio más tarde varias pruebas y generalizaciones más. La historia se describe en Gray (1994); En de Saint-Gervais (2016) (el seudónimo tipo Bourbaki del grupo de quince matemáticos que produjeron conjuntamente esta publicación) se ofrece una descripción completa de la uniformización hasta los artículos de 1907 de Koebe y Poincaré con pruebas detalladas .

Clasificación de superficies de Riemann conectadas.

Cada superficie de Riemann es el cociente de la acción libre, propia y holomorfa de un grupo discreto sobre su cobertura universal y esta cobertura universal, siendo una superficie de Riemann simplemente conexa, es holomorfamente isomórfica (también se dice: "conforme equivalente" o "biholomórfica") a uno de los siguientes:

1. la esfera de riemann
2. el plano complejo
3. el disco unitario en el plano complejo.

Para superficies compactas de Riemann, aquellas con cobertura universal del disco unitario son precisamente las superficies hiperbólicas de género mayor que 1, todas con grupo fundamental no abeliano; las que cubren universalmente el plano complejo son las superficies de Riemann del género 1, es decir, los toros complejos o curvas elípticas con grupo fundamental Z ² ; y aquellos con cobertura universal de la esfera de Riemann son los de género cero, es decir, la propia esfera de Riemann, con grupo fundamental trivial.

Clasificación de 2 variedades de Riemann orientadas cerradas

En una variedad 2 orientada, una métrica de Riemann induce una estructura compleja utilizando el paso a coordenadas isotérmicas . Si la métrica de Riemann se da localmente como

${\displaystyle ds^{2}=E\,dx^{2}+2F\,dx\,dy+G\,dy^{2},}$

entonces en la coordenada compleja z = x + i y , toma la forma

${\displaystyle ds^{2}=\lambda |dz+\mu \,d{\overline {z}}|^{2},}$

dónde

${\displaystyle \lambda ={\frac {1}{4}}\left(E+G+2{\sqrt {EG-F^{2}}}\right),\ \ \mu ={\frac {1}{4\lambda }}(E-G+2iF),}$

de modo que λ y μ sean suaves con λ > 0 y | µ | < 1. En coordenadas isotérmicas ( u , v ) la métrica debe tomar la forma

${\displaystyle ds^{2}=\rho (du^{2}+dv^{2})}$

con ρ > 0 suave. La coordenada compleja w = u + i v satisface

${\displaystyle \rho \,|dw|^{2}=\rho |w_{z}|^{2}\left|dz+{w_{\overline {z}} \over w_{z}}\,d{\overline {z}}\right|^{2},}$

de modo que las coordenadas ( u , v ) serán isotérmicas localmente siempre que la ecuación de Beltrami

${\displaystyle {\partial w \over \partial {\overline {z}}}=\mu {\partial w \over \partial z}}$

tiene una solución localmente difeomorfa, es decir, una solución con jacobiano que no desaparece.

Estas condiciones pueden expresarse de manera equivalente en términos de la derivada exterior y el operador estrella de Hodge ∗ . ^[1] u y v serán coordenadas isotérmicas si ∗ du = dv , donde ∗ se define en diferenciales por ∗( p dx + q dy ) = − q dx + p dy . Sea ∆ = ∗ d ∗ d el operador de Laplace-Beltrami . Según la teoría elíptica estándar, se puede elegir que u sea armónico cerca de un punto dado, es decir, Δ u = 0 , con du que no desaparece. Según el lema de Poincaré, dv = ∗ du tiene una solución local v exactamente cuando d (∗ du ) = 0 . Esta condición es equivalente a Δ u = 0 , por lo que siempre se puede resolver localmente. Dado que du es distinto de cero y el cuadrado del operador estrella de Hodge es −1 en formas 1, du y dv deben ser linealmente independientes, de modo que u y v den coordenadas isotérmicas locales.

La existencia de coordenadas isotérmicas se puede demostrar mediante otros métodos, por ejemplo utilizando la teoría general de la ecuación de Beltrami , como en Ahlfors (2006), o mediante métodos elementales directos, como en Chern (1955) y Jost (2006).

De esta correspondencia con superficies compactas de Riemann, se sigue una clasificación de 2 variedades de Riemann orientables cerradas. Cada uno de ellos es conformemente equivalente a una única variedad cerrada de curvatura constante , por lo que es un cociente de uno de los siguientes por una acción libre de un subgrupo discreto de un grupo de isometría :

1. la esfera (curvatura +1)
2. el plano euclidiano (curvatura 0)
3. el plano hiperbólico (curvatura −1).

• 
  género 0
• 
  género 1
• 
  género 2
• 
  género 3

El primer caso da la 2 esferas, la única 2 variedades con curvatura positiva constante y, por tanto, característica de Euler positiva (igual a 2). El segundo da todas las 2 variedades planas, es decir, los tori , que tienen la característica de Euler 0. El tercer caso cubre todas las 2 variedades de curvatura negativa constante, es decir, las 2 variedades hiperbólicas , todas las cuales tienen la característica de Euler negativa. La clasificación es consistente con el teorema de Gauss-Bonnet , que implica que para una superficie cerrada con curvatura constante, el signo de esa curvatura debe coincidir con el signo de la característica de Euler. La característica de Euler es igual a 2 – 2 g , donde g es el género de la variedad 2, es decir, el número de "agujeros".

Métodos de prueba

Muchas demostraciones clásicas del teorema de uniformización se basan en la construcción de una función armónica de valor real en la superficie de Riemann simplemente conectada, posiblemente con una singularidad en uno o dos puntos y, a menudo, correspondiente a una forma de la función de Green . Se emplean ampliamente cuatro métodos para construir la función armónica: el método de Perron ; el método alterno de Schwarz ; principio de Dirichlet ; y el método de proyección ortogonal de Weyl . En el contexto de las 2 variedades cerradas de Riemann, varias pruebas modernas invocan ecuaciones diferenciales no lineales en el espacio de métricas conformemente equivalentes. Éstos incluyen la ecuación de Beltrami de la teoría de Teichmüller y una formulación equivalente en términos de mapas armónicos ; la ecuación de Liouville , ya estudiada por Poincaré; y Ricci fluyen junto con otros flujos no lineales.

El teorema de Rado muestra que cada superficie de Riemann es automáticamente contable en segundos . Aunque el teorema de Rado se utiliza a menudo en las pruebas del teorema de uniformización, algunas demostraciones se han formulado de modo que el teorema de Rado se convierta en una consecuencia. La segunda contabilización es automática para superficies compactas de Riemann.

Métodos del espacio de Hilbert

En 1913, Hermann Weyl publicó su libro de texto clásico "Die Idee der Riemannschen Fläche", basado en sus conferencias de Göttingen de 1911 a 1912. Fue el primer libro que presentó la teoría de las superficies de Riemann en un entorno moderno y, a lo largo de sus tres ediciones, ha seguido siendo influyente. Dedicada a Felix Klein , la primera edición incorporó el tratamiento de Hilbert del problema de Dirichlet utilizando técnicas espaciales de Hilbert ; Las contribuciones de Brouwer a la topología; y la prueba de Koebe del teorema de uniformización y sus mejoras posteriores. Mucho más tarde, Weyl (1940) desarrolló su método de proyección ortogonal que dio un enfoque simplificado al problema de Dirichlet, también basado en el espacio de Hilbert; esa teoría, que incluía el lema de Weyl sobre regularidad elíptica , estaba relacionada con la teoría de las integrales armónicas de Hodge ; y ambas teorías fueron incluidas en la teoría moderna de los operadores elípticos y los espacios L ² de Sobolev . En la tercera edición de su libro de 1955, traducido al inglés en Weyl (1964), Weyl adoptó la definición moderna de variedad diferencial, con preferencia a las triangulaciones , pero decidió no utilizar su método de proyección ortogonal. Springer (1957) siguió la explicación de Weyl del teorema de uniformización, pero utilizó el método de proyección ortogonal para tratar el problema de Dirichlet. Kodaira (2007) describe el enfoque en el libro de Weyl y también cómo acortarlo utilizando el método de proyección ortogonal. Un relato relacionado se puede encontrar en Donaldson (2011).

Flujos no lineales

Richard S. Hamilton demostró que el flujo de Ricci normalizado sobre una superficie cerrada uniformiza la métrica (es decir, el flujo converge a una métrica de curvatura constante). Sin embargo, su demostración se basó en el teorema de uniformización. El paso que faltaba involucraba el flujo de Ricci en las 2 esferas: Chen, Lu y Tian (2006) proporcionaron un método para evitar apelar al teorema de uniformización (para el género 0); ^[2] En Andrews & Bryan (2010) se ofrece una breve descripción independiente del flujo de Ricci en la 2-esfera.

Generalizaciones

Koebe demostró el teorema de uniformización general de que si una superficie de Riemann es homeomorfa a un subconjunto abierto de la esfera compleja (o de manera equivalente, si cada curva de Jordan la separa), entonces es conformemente equivalente a un subconjunto abierto de la esfera compleja.

En 3 dimensiones, existen 8 geometrías, llamadas las ocho geometrías de Thurston . No todas las variedades 3 admiten una geometría, pero la conjetura de geometrización de Thurston probada por Grigori Perelman afirma que cada variedad 3 se puede cortar en piezas que sean geometrizables.

El teorema de uniformización simultánea de Lipman Bers muestra que es posible uniformar simultáneamente dos superficies compactas de Riemann del mismo género >1 con el mismo grupo cuasi-fucsiano .

El teorema de mapeo de Riemann medible muestra de manera más general que el mapa de un subconjunto abierto de la esfera compleja en el teorema de uniformización puede elegirse como un mapa cuasiconforme con cualquier coeficiente de Beltrami mensurable acotado.

Ver también

• teorema de uniformización p-ádica

Notas

1. DeTurck y Kazdan 1981; Taylor 1996a, págs. 377–378
2. Brendle 2010

Referencias

Referencias históricas

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principio de dirichlet

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Mapas armónicos

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ecuación de liouville

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enlaces externos

• Transformación conforme: del círculo al cuadrado.