Sir William Vallance Douglas Hodge FRS FRSE [ 2] ( / hɒdʒ / ; 17 de junio de 1903 – 7 de julio de 1975) fue un matemático británico, específicamente un geómetra . [3] [4]
Su descubrimiento de relaciones topológicas de largo alcance entre la geometría algebraica y la geometría diferencial —un área ahora llamada teoría de Hodge y perteneciente de manera más general a las variedades de Kähler— ha sido una influencia importante en el trabajo posterior en geometría.
Hodge nació en Edimburgo en 1903, el hijo menor y segundo de tres hijos de Archibald James Hodge (1869-1938), un investigador de registros en el mercado inmobiliario y socio de la firma Douglas and Company, y su esposa, Jane (nacida en 1875), hija del dueño de una confitería, William Vallance. [5] [6] [7] Vivían en 1 Church Hill Place en el distrito de Morningside . [8]
Asistió al George Watson's College y estudió en la Universidad de Edimburgo , donde se graduó con un máster en 1923. Con la ayuda de ET Whittaker , cuyo hijo JM Whittaker era amigo de la universidad, se matriculó como estudiante afiliado en el St John's College de Cambridge para estudiar el examen final de matemáticas . En Cambridge cayó bajo la influencia del geómetra HF Baker . Obtuvo el título de BA en Cambridge en 1925, recibió el máster en 1930 y el doctorado en ciencias (ScD) en 1950. [9]
En 1926 aceptó un puesto de profesor en la Universidad de Bristol y comenzó a trabajar en la interfaz entre la escuela italiana de geometría algebraica , en particular los problemas planteados por Francesco Severi , y los métodos topológicos de Solomon Lefschetz . Esto le dio reputación, pero condujo a cierto escepticismo inicial por parte de Lefschetz. Según las memorias de Atiyah , Lefschetz y Hodge en 1931 tuvieron una reunión en las habitaciones de Max Newman en Cambridge, para tratar de resolver los problemas. Al final, Lefschetz se convenció. [2] En 1928 fue elegido miembro de la Royal Society de Edimburgo . Sus proponentes fueron Sir Edmund Taylor Whittaker , Ralph Allan Sampson , Charles Glover Barkla y Sir Charles Galton Darwin . Fue galardonado con el Premio Gunning Victoria Jubilee de la Sociedad para el período de 1964 a 1968. [10]
En 1930, Hodge obtuvo una beca de investigación en el St John's College de Cambridge. Pasó el año 1931-2 en la Universidad de Princeton , donde se encontraba Lefschetz, visitando también a Oscar Zariski en la Universidad Johns Hopkins . En esa época también estaba asimilando el teorema de De Rham y definiendo la operación de estrella de Hodge . Esto le permitiría definir formas armónicas y, por lo tanto, refinar la teoría de De Rham.
A su regreso a Cambridge, le ofrecieron un puesto de profesor universitario en 1933. Se convirtió en profesor Lowndean de Astronomía y Geometría en Cambridge , puesto que ocupó entre 1936 y 1970. Fue el primer director del DPMMS .
Fue rector del Pembroke College de Cambridge entre 1958 y 1970 y vicepresidente de la Royal Society entre 1959 y 1965. Fue nombrado caballero en 1959. Entre otros honores, recibió el Premio Adams en 1937 y la Medalla Copley de la Royal Society en 1974.
Murió en Cambridge el 7 de julio de 1975.
El teorema del índice de Hodge fue un resultado de la teoría de los números de intersección para curvas en una superficie algebraica : determina la signatura de la forma cuadrática correspondiente . Este resultado fue buscado por la escuela italiana de geometría algebraica , pero fue demostrado por los métodos topológicos de Lefschetz .
La teoría y aplicaciones de las integrales armónicas [11] resumió el desarrollo de Hodge durante la década de 1930 de su teoría general. Esta comienza con la existencia para cualquier métrica de Kähler de una teoría de laplacianos – se aplica a una variedad algebraica V (supuesta compleja , proyectiva y no singular ) porque el espacio proyectivo en sí mismo lleva una métrica de este tipo. En términos de cohomología de De Rham , una clase de cohomología de grado k está representada por una k -forma α en V ( C ). No hay un representante único; pero al introducir la idea de la forma armónica (Hodge todavía las llamaba 'integrales'), que son soluciones de la ecuación de Laplace , se puede obtener α única . Esto tiene la consecuencia importante e inmediata de dividir
en subespacios
de acuerdo con el número p de diferenciales holomorfas dz i encajadas para formar α (el espacio cotangente está generado por dz i y sus conjugados complejos). Las dimensiones de los subespacios son los números de Hodge .
Esta descomposición de Hodge se ha convertido en una herramienta fundamental. No sólo las dimensiones h p , q refinan los números de Betti , al dividirlos en partes con un significado geométrico identificable; sino que la descomposición en sí misma, como una "bandera" variable en un espacio vectorial complejo, tiene un significado en relación con los problemas de módulos . En términos generales, la teoría de Hodge contribuye tanto a la clasificación discreta como a la continua de las variedades algebraicas.
Desarrollos posteriores realizados por otros condujeron en particular a una idea de estructura de Hodge mixta en variedades singulares y a profundas analogías con la cohomología étale .
La conjetura de Hodge sobre los espacios "medios" H p , p sigue sin resolverse, en general. Es uno de los siete problemas del Premio del Milenio creados por el Instituto de Matemáticas Clay .
Hodge también escribió, junto con Daniel Pedoe , una obra de tres volúmenes, Métodos de geometría algebraica , sobre geometría algebraica clásica, con mucho contenido concreto, aunque ilustrando lo que Élie Cartan llamó "la depravación de los índices" en su notación de componentes. Según Atiyah , esto tenía como objetivo actualizar y reemplazar los Principios de geometría de HF Baker .
En 1929 se casó con Kathleen Anne Cameron. [12]