Flujo de Ricci

Ecuación diferencial parcial

Varias etapas del flujo de Ricci en una variedad 2D.

En los campos matemáticos de la geometría diferencial y el análisis geométrico , el flujo de Ricci (/ˈr iː tʃ i / REE -chee , italiano : [ ˈrittʃi ] ) , a veces también denominado flujo de Ricci de Hamilton , es una cierta ecuación diferencial parcial para una métrica de Riemann . A menudo se dice que es análoga a la difusión del calor y la ecuación del calor , debido a similitudes formales en la estructura matemática de la ecuación. Sin embargo, no es lineal y exhibe muchos fenómenos que no están presentes en el estudio de la ecuación del calor.

El flujo de Ricci, llamado así por la presencia del tensor de Ricci en su definición, fue introducido por Richard Hamilton , quien lo utilizó durante la década de 1980 para demostrar nuevos resultados sorprendentes en la geometría de Riemann . Extensiones posteriores de los métodos de Hamilton por parte de varios autores dieron como resultado nuevas aplicaciones a la geometría, incluida la resolución de la conjetura de la esfera diferenciable por parte de Simon Brendle y Richard Schoen .

Siguiendo la posibilidad de que las singularidades de las soluciones del flujo de Ricci pudieran identificar los datos topológicos predichos por la conjetura de geometrización de William Thurston , Hamilton produjo una serie de resultados en la década de 1990 que estaban dirigidos hacia la resolución de la conjetura. En 2002 y 2003, Grigori Perelman presentó una serie de nuevos resultados fundamentales sobre el flujo de Ricci, incluida una variante novedosa de algunos aspectos técnicos del programa de Hamilton. El trabajo de Perelman ahora se considera ampliamente como la prueba de la conjetura de Thurston y la conjetura de Poincaré , considerada como un caso especial de la primera. Debe enfatizarse que la conjetura de Poincaré ha sido un problema abierto bien conocido en el campo de la topología geométrica desde 1904. Estos resultados de Hamilton y Perelman se consideran un hito en los campos de la geometría y la topología.

Definición matemática

En una variedad suave M , una métrica riemanniana suave g determina automáticamente el tensor de Ricci Ric ^g . Para cada elemento p de M , por definición g _p es un producto interno positivo definido en el espacio tangente T _p M en p . Si se da una familia de un parámetro de métricas riemannianas g _t , se puede considerar la derivada ⁠∂/∂​⁠ g _t , que luego asigna a cada valor particular de t y p una forma bilineal simétrica en T _p M . Dado que el tensor de Ricci de una métrica de Riemann también asigna a cada p una forma bilineal simétrica en T _p M , la siguiente definición es significativa.

• Dada una variedad suave M y un intervalo real abierto ( a , b ) , un flujo de Ricci asigna, a cada t en el intervalo ( a , b ) , una métrica riemanniana g _t en M tal que∂/∂​⁠ g _t = −2 Ric ^{g _t} .

El tensor de Ricci se considera a menudo como un valor promedio de las curvaturas seccionales o como una traza algebraica del tensor de curvatura de Riemann . Sin embargo, para el análisis de la existencia y unicidad de los flujos de Ricci, es extremadamente significativo que el tensor de Ricci se pueda definir, en coordenadas locales, mediante una fórmula que involucra la primera y la segunda derivadas del tensor métrico. Esto convierte al flujo de Ricci en una ecuación diferencial parcial definida geométricamente . El análisis de la elipticidad de la fórmula de coordenadas locales proporciona la base para la existencia de flujos de Ricci; consulte la siguiente sección para obtener el resultado correspondiente.

Sea k un número distinto de cero. Dado un flujo de Ricci g _t en un intervalo ( a , b ) , considere G _t = g _kt para t entre ⁠a/a⁠ y ⁠b/a⁠ . Entonces ⁠∂/∂​⁠ G _t = −2 k Ric ^{G _t} . Por lo tanto, con este cambio de parámetros muy trivial, el número −2 que aparece en la definición del flujo de Ricci podría reemplazarse por cualquier otro número distinto de cero. Por esta razón, el uso de −2 puede considerarse una convención arbitraria, aunque es una que esencialmente todos los artículos y exposiciones sobre el flujo de Ricci siguen. La única diferencia significativa es que si −2 se reemplazara por un número positivo, entonces el teorema de existencia discutido en la siguiente sección se convertiría en un teorema que produce un flujo de Ricci que se mueve hacia atrás (en lugar de hacia adelante) en los valores de los parámetros a partir de los datos iniciales.

El parámetro t se suele denominar tiempo , aunque esto sólo forma parte de la terminología informal estándar en el campo matemático de las ecuaciones diferenciales parciales. No es una terminología físicamente significativa. De hecho, en la interpretación estándar de la teoría cuántica de campos del flujo de Ricci en términos del grupo de renormalización , el parámetro t corresponde a la longitud o la energía, en lugar del tiempo. ^[1]

Flujo de Ricci normalizado

Supóngase que M es una variedad compacta y lisa, y sea g _t un flujo de Ricci para t en el intervalo ( a , b ) . Defina Ψ: ( a , b )  →  (0, ∞) de modo que cada una de las métricas de Riemann Ψ( t ) g _t tenga volumen 1; esto es posible ya que M es compacta. (De manera más general, sería posible si cada métrica de Riemann g _t tuviera volumen finito.) Luego defina F : ( a , b )  →  (0, ∞) como la antiderivada de Ψ que se anula en a . Como Ψ es de valor positivo, F es una biyección sobre su imagen (0, S ) . Ahora las métricas de Riemann G _s   = Ψ( F ⁻¹ ( s )) g _{F ⁻¹ ( s )} , definidas para los parámetros s  ∈ (0, S ) , satisfacen Aquí R denota curvatura escalar . Esto se llama ecuación de flujo de Ricci normalizado . Por lo tanto, con un cambio de escala explícitamente definido Ψ y una reparametrización de los valores de los parámetros, un flujo de Ricci se puede convertir en un flujo de Ricci normalizado. Lo inverso también se cumple, invirtiendo los cálculos anteriores. $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial s}}G_{s}=-2\operatorname {Ric} ^{G_{s}}+{\frac {2}{n}}{\frac {\int _{M}R^{G_{s}}\,d\mu _{G_{s}}}{\int _{M}d\mu _{G_{s}}}}G_{s}.}$$

La razón principal para considerar el flujo de Ricci normalizado es que permite una formulación conveniente de los principales teoremas de convergencia para el flujo de Ricci. Sin embargo, no es esencial hacerlo y, para prácticamente todos los propósitos, es suficiente considerar el flujo de Ricci en su forma estándar. Además, el flujo de Ricci normalizado no suele tener sentido en variedades no compactas.

Existencia y singularidad

Sea una variedad cerrada y suave, y sea cualquier métrica riemanniana suave en . Haciendo uso del teorema de la función implícita de Nash-Moser , Hamilton (1982) demostró el siguiente teorema de existencia: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle M}$

• Existe un número positivo y un flujo de Ricci parametrizado por tal que converge a en la topología a medida que disminuye a 0. ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle C^{\infty }}$ ${\displaystyle t}$

Demostró el siguiente teorema de unicidad:

• Si y son dos flujos de Ricci como en el teorema de existencia anterior, entonces para todos ${\displaystyle \{g_{t}:t\in (0,T)\}}$ ${\displaystyle \{{\widetilde {g}}_{t}:t\in (0,{\widetilde {T}})\}}$ ${\displaystyle g_{t}={\widetilde {g}}_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,\min\{T,{\widetilde {T}}\}).}$

El teorema de existencia proporciona una familia de métricas de Riemann suaves con un parámetro. De hecho, cualquier familia de un parámetro de este tipo también depende de manera suave del parámetro. Precisamente, esto dice que, en relación con cualquier gráfico de coordenadas suave en , la función es suave para cualquier . ${\displaystyle (U,\phi )}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{ij}:U\times (0,T)\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle i,j=1,\dots ,n}$

Posteriormente, Dennis DeTurck dio una prueba de los resultados anteriores que utiliza en su lugar el teorema de la función implícita de Banach. ^[2] Su trabajo es esencialmente una versión riemanniana más simple de la conocida prueba e interpretación de Yvonne Choquet-Bruhat sobre el buen planteamiento de las ecuaciones de Einstein en la geometría lorentziana.

Como consecuencia del teorema de existencia y unicidad de Hamilton, cuando se dan los datos , se puede hablar sin ambigüedades del flujo de Ricci en con datos iniciales , y se puede optar por tomar su valor máximo posible, que podría ser infinito. El principio detrás de prácticamente todas las aplicaciones principales del flujo de Ricci, en particular en la prueba de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización, es que, a medida que se acerca a este valor máximo, el comportamiento de las métricas puede revelar y reflejar información profunda sobre . ${\displaystyle (M,g_{0})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle T}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle M}$

Teoremas de convergencia

En Andrews y Hopper (2011) y Brendle (2010) se dan exposiciones completas de los siguientes teoremas de convergencia.

Sea ( M , g ₀ ) una variedad riemanniana cerrada y uniforme . Bajo cualquiera de las tres condiciones siguientes:

• M es bidimensional
• M es tridimensional y g ₀ tiene curvatura de Ricci positiva
• M tiene dimensión mayor que tres y la métrica del producto en ( M , g ₀ ) × ℝ tiene curvatura isótropa positiva

El flujo de Ricci normalizado con datos iniciales g ₀ existe para todo tiempo positivo y converge suavemente, a medida que t tiende al infinito, a una métrica de curvatura constante.

El resultado tridimensional se debe a Hamilton (1982). La prueba de Hamilton, inspirada y modelada libremente a partir del artículo de James Eells y Joseph Sampson de 1964 sobre la convergencia del flujo de calor del mapa armónico ^[3] , incluía muchas características novedosas, como una extensión del principio de máximo al contexto de 2-tensores simétricos. Su artículo (junto con el de Eells−Sampson) es uno de los más citados en el campo de la geometría diferencial. Hay una exposición de su resultado en Chow, Lu & Ni (2006, Capítulo 3).

En términos de la prueba, el caso bidimensional se ve apropiadamente como una colección de tres resultados diferentes, uno para cada uno de los casos en los que la característica de Euler de M es positiva, cero o negativa. Como lo demostró Hamilton (1988), el caso negativo se maneja mediante el principio del máximo, mientras que el caso cero se maneja mediante estimaciones integrales; el caso positivo es más sutil, y Hamilton se ocupó del subcaso en el que g ₀ tiene una curvatura positiva combinando una adaptación sencilla de la estimación del gradiente de Peter Li y Shing-Tung Yau al flujo de Ricci junto con una innovadora "estimación de entropía". El caso positivo completo fue demostrado por Bennett Chow (1991), en una extensión de las técnicas de Hamilton. Dado que cualquier flujo de Ricci en una variedad bidimensional está confinado a una sola clase conforme , se puede reformular como una ecuación diferencial parcial para una función escalar en la variedad fija de Riemann ( M , g ₀ ) . Como tal, el flujo de Ricci en este contexto también se puede estudiar mediante métodos puramente analíticos; En consecuencia, existen pruebas alternativas no geométricas del teorema de convergencia bidimensional.

El caso de dimensiones superiores tiene una historia más larga. Poco después del resultado innovador de Hamilton, Gerhard Huisken extendió sus métodos a dimensiones superiores, mostrando que si g ₀ tiene una curvatura positiva casi constante (en el sentido de pequeñez de ciertos componentes de la descomposición de Ricci ), entonces el flujo de Ricci normalizado converge suavemente a una curvatura constante. Hamilton (1986) encontró una formulación novedosa del principio del máximo en términos de atrapamiento por conjuntos convexos, lo que condujo a un criterio general que relaciona la convergencia del flujo de Ricci de métricas de curvatura positiva con la existencia de "conjuntos de pinzamiento" para una cierta ecuación diferencial ordinaria multidimensional . Como consecuencia, pudo resolver el caso en el que M es tetradimensional y g ₀ tiene un operador de curvatura positiva. Veinte años después, Christoph Böhm y Burkhard Wilking encontraron un nuevo método algebraico para construir "conjuntos de pinzamiento", eliminando así el supuesto de tetradimensionalidad del resultado de Hamilton (Böhm & Wilking 2008). Simon Brendle y Richard Schoen demostraron que la positividad de la curvatura isótropa se conserva mediante el flujo de Ricci en una variedad cerrada; al aplicar el método de Böhm y Wilking, pudieron derivar un nuevo teorema de convergencia del flujo de Ricci (Brendle y Schoen 2009). Su teorema de convergencia incluía como caso especial la resolución del teorema de la esfera diferenciable , que en ese momento había sido una conjetura de larga data. El teorema de convergencia dado anteriormente se debe a Brendle (2008), que incluye los resultados de convergencia de dimensión superior anteriores de Huisken, Hamilton, Böhm y Wilking, y Brendle y Schoen.

Corolarios

Los resultados en dimensiones tres y superiores muestran que cualquier variedad cerrada y uniforme M que admita una métrica g ₀ del tipo dado debe ser una forma espacial de curvatura positiva. Dado que estas formas espaciales se comprenden en gran medida gracias al trabajo de Élie Cartan y otros, se pueden extraer corolarios como

• Supóngase que M es una variedad tridimensional cerrada y suave que admite una métrica riemanniana suave de curvatura de Ricci positiva. Si M es simplemente conexa, entonces debe ser difeomorfa con respecto a la 3-esfera.

De modo que si se pudiera demostrar directamente que cualquier variedad tridimensional lisa y cerrada simplemente conexa admite una métrica riemanniana lisa de curvatura de Ricci positiva , se seguiría inmediatamente la conjetura de Poincaré . Sin embargo, tal como se entienden las cosas en la actualidad, este resultado sólo se conoce como un corolario (trivial) de la conjetura de Poincaré, y no al revés.

Posibles extensiones

Dado cualquier n mayor que dos, existen muchas variedades suaves cerradas n -dimensionales que no tienen ninguna métrica riemanniana suave de curvatura constante. Por lo tanto, no se puede esperar poder simplemente eliminar las condiciones de curvatura de los teoremas de convergencia anteriores. Podría ser posible reemplazar las condiciones de curvatura por algunas alternativas, pero la existencia de variedades compactas como el espacio proyectivo complejo , que tiene una métrica de operador de curvatura no negativa (la métrica del Estudio de Fubini ) pero ninguna métrica de curvatura constante, hace que no esté claro hasta qué punto se podrían empujar estas condiciones. Del mismo modo, la posibilidad de formular resultados de convergencia análogos para métricas riemannianas de curvatura negativa se complica por la existencia de variedades riemannianas cerradas cuya curvatura es arbitrariamente cercana a constante y, sin embargo, no admiten métricas de curvatura constante. ^[4]

Desigualdades de Li-Yau

Utilizando una técnica iniciada por Peter Li y Shing-Tung Yau para ecuaciones diferenciales parabólicas en variedades de Riemann, Hamilton (1993a) demostró la siguiente "desigualdad de Li-Yau". ^[5]

• Sea una variedad suave y sea una solución del flujo de Ricci con tal que cada una sea completa con curvatura acotada. Además, supongamos que cada una tiene un operador de curvatura no negativo. Entonces, para cualquier curva con , se tiene ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle t\in (0,T)}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}R^{g(t)}(\gamma (t)){\big )}+{\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))}{t}}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Ric} ^{g(t)}(\gamma '(t),\gamma '(t))\geq 0.}$$

Perelman (2002) mostró la siguiente desigualdad alternativa de Li-Yau.

• Sea una variedad cerrada y suave , y sea una solución del flujo de Ricci. Considérese la ecuación de calor invertida para las formas , es decir ; dados y , considérese la solución particular que, tras la integración, converge débilmente a la medida delta de Dirac a medida que aumenta a . Entonces, para cualquier curva con , se tiene donde . ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle g_{t}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\tfrac {\partial }{\partial t}}\omega +\Delta ^{g(t)}\omega =0}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle t_{0}\in (0,T)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t_{0}}$ ${\displaystyle \gamma :[t_{1},t_{2}]\to M}$ ${\displaystyle [t_{1},t_{2}]\subset (0,T)}$ $${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\big (}f(\gamma (t),t){\big )}+{\frac {f{\big (}\gamma (t),t{\big )}}{2(t_{0}-t)}}\leq {\frac {R^{g(t)}(\gamma (t))+|\gamma '(t)|_{g(t)}^{2}}{2}}.}$$ ${\displaystyle \omega =(4\pi (t_{0}-t))^{-n/2}e^{-f}{\text{d}}\mu _{g(t)}}$

Ambas desigualdades notables son de profunda importancia para la demostración de la conjetura de Poincaré y la conjetura de geometrización. Los términos del lado derecho de la desigualdad de Li-Yau de Perelman motivan la definición de su funcional de "longitud reducida", cuyo análisis conduce a su "teorema de no colapso". El teorema de no colapso permite la aplicación del teorema de compacidad de Hamilton (Hamilton 1995) para construir "modelos de singularidad", que son flujos de Ricci en nuevas variedades tridimensionales. Debido a la estimación de Hamilton-Ivey, estos nuevos flujos de Ricci tienen una curvatura no negativa. La desigualdad de Li-Yau de Hamilton puede entonces aplicarse para ver que la curvatura escalar es, en cada punto, una función no decreciente (no negativa) del tiempo. Este es un resultado poderoso que permite que se expongan muchos argumentos adicionales. Al final, Perelman demuestra que cualquiera de sus modelos de singularidad es asintóticamente como un solitón de Ricci de gradiente completamente encogido, que está completamente clasificado (véase la sección anterior).

Véase Chow, Lu y Ni (2006, capítulos 10 y 11) para obtener detalles sobre la desigualdad Li-Yau de Hamilton; los libros Chow et al. (2008) y Müller (2006) contienen exposiciones de ambas desigualdades anteriores.

Ejemplos

Curvatura constante y métricas de Einstein

Sea una variedad riemanniana que es Einstein , es decir que existe un número tal que . Entonces es un flujo de Ricci con , ya que entonces ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle {\text{Ric}}^{g}=\lambda g}$ ${\displaystyle g_{t}=(1-2\lambda t)g}$ ${\displaystyle g_{0}=g}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}g_{t}=-2\lambda g=-2\operatorname {Ric} ^{g}=-2\operatorname {Ric} ^{g_{t}}.}$

Si es cerrado, entonces, según el teorema de unicidad de Hamilton mencionado anteriormente, este es el único flujo de Ricci con datos iniciales . Se ve, en particular, que: ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle g}$

• Si es positivo, entonces el flujo de Ricci se "contrae" ya que el factor de escala es menor que 1 para positivo ; además, se ve que solo puede ser menor que , por lo que es una métrica de Riemann. Este es el ejemplo más simple de una "singularidad de tiempo finito". ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1-2\lambda t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle 1/2\lambda }$ ${\displaystyle g_{t}}$
• Si es cero, lo que es sinónimo de ser Ricci-plano, entonces es independiente del tiempo, por lo que el intervalo máximo de existencia es toda la recta real. ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle g_{t}}$
• Si es negativo, entonces el flujo de Ricci se "expande" ya que el factor de escala es mayor que 1 para todos los positivos ; además, se ve que puede tomarse arbitrariamente grande. Se dice que el flujo de Ricci, para esta métrica inicial, es "inmortal". ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle 1-2\lambda t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle t}$

En cada caso, dado que las métricas de Riemann asignadas a diferentes valores de difieren solo por un factor de escala constante, se puede ver que el flujo de Ricci normalizado existe para todo el tiempo y es constante en ; en particular, converge suavemente (a su valor constante) como . ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle G_{s}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle s\to \infty }$

La condición de Einstein tiene como caso especial el de la curvatura constante; de ​​ahí que los ejemplos particulares de la esfera (con su métrica estándar) y del espacio hiperbólico aparezcan como casos especiales de lo anterior.

Solitones de Ricci

Los solitones de Ricci son flujos de Ricci que pueden cambiar su tamaño pero no su forma hasta llegar a los difeomorfismos.

• Los cilindros S ^k × R ^l (para k ≥ 2) se contraen de manera similar bajo el flujo de Ricci hasta difeomorfismos
• Un ejemplo bidimensional significativo es el solitón cigarro , que se obtiene mediante la métrica ( dx ²  +  dy ² )/( e ^{4 t}  +  x ²  +  y ² ) en el plano euclidiano. Aunque esta métrica se contrae bajo el flujo de Ricci, su geometría permanece igual. Tales soluciones se denominan solitones de Ricci estacionarios.
• Un ejemplo de un solitón de Ricci estacionario tridimensional es el solitón de Bryant , que es rotacionalmente simétrico, tiene curvatura positiva y se obtiene al resolver un sistema de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una construcción similar funciona en cualquier dimensión.
• Existen numerosas familias de variedades de Kähler, invariantes bajo una acción U ( n ) y biracionales respecto de C ⁿ , que son solitones de Ricci. Estos ejemplos fueron construidos por Cao y Feldman-Ilmanen-Knopf. (Chow-Knopf 2004)
• Bamler-Cifarelli-Conlon-Deruelle descubrió recientemente un ejemplo de cuatro dimensiones que presenta únicamente simetría de toro.

Un solitón de Ricci que se encoge en gradiente consta de una variedad riemanniana suave ( M , g ) y f  ∈  C ^∞ ( M ) tal que

${\displaystyle \operatorname {Ric} ^{g}+\operatorname {Hess} ^{g}f={\frac {1}{2}}g.}$

Uno de los principales logros de Perelman (2002) fue demostrar que, si M es una variedad suave tridimensional cerrada, entonces las singularidades de tiempo finito del flujo de Ricci en M se modelan sobre solitones de Ricci con encogimiento de gradiente completo (posiblemente sobre variedades subyacentes distintas de M ). En 2008, Huai-Dong Cao , Bing-Long Chen y Xi-Ping Zhu completaron la clasificación de estos solitones, mostrando:

• Supóngase que ( M , g , f ) es un solitón de Ricci de gradiente completo que se encoge con dim( M ) = 3. Si M es simplemente conexo, entonces la variedad de Riemann ( M , g ) es isométrica a , , o , cada una con sus métricas de Riemann estándar. Esto fue demostrado originalmente por Perelman (2003a) con algunas suposiciones condicionales adicionales. Nótese que si M no es simplemente conexo, entonces se puede considerar la cobertura universal y entonces el teorema anterior se aplica a ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle S^{3}}$ ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \pi :M'\to M,}$ ${\displaystyle (M',\pi ^{\ast }g,f\circ \pi ).}$

Todavía no existe una buena comprensión de los solitones de Ricci que se encogen por gradiente en dimensiones superiores.

Relación con la uniformización y la geometrización

El primer trabajo de Hamilton sobre el flujo de Ricci se publicó al mismo tiempo que la conjetura de geometrización de William Thurston , que se refiere a la clasificación topológica de variedades suaves tridimensionales. ^[6] La idea de Hamilton era definir un tipo de ecuación de difusión no lineal que tendería a suavizar las irregularidades en la métrica. Thurston ya había identificado formas canónicas adecuadas; las posibilidades, llamadas geometrías del modelo de Thurston , incluyen la tridimensional S ³ , el espacio euclidiano tridimensional E ³ , el espacio hiperbólico tridimensional H ³ , que son homogéneas e isótropas , y cinco variedades de Riemann ligeramente más exóticas, que son homogéneas pero no isótropas. (Esta lista está estrechamente relacionada con, pero no es idéntica a, la clasificación de Bianchi de las álgebras de Lie reales tridimensionales en nueve clases).

Hamilton logró demostrar que cualquier variedad lisa y cerrada de tres dimensiones que admita una métrica de curvatura Ricci positiva también admite una geometría de Thurston única, es decir, una métrica esférica, que efectivamente actúa como un punto fijo de atracción bajo el flujo de Ricci, renormalizado para preservar el volumen. (Bajo el flujo de Ricci no renormalizado, la variedad colapsa a un punto en tiempo finito). Sin embargo, esto no prueba la conjetura de geometrización completa, debido al supuesto restrictivo sobre la curvatura.

De hecho, un triunfo de la geometría del siglo XIX fue la demostración del teorema de uniformización , la clasificación topológica análoga de las variedades bidimensionales lisas, en la que Hamilton demostró que el flujo de Ricci efectivamente desarrolla una variedad bidimensional de curva negativa en un toro bidimensional con múltiples agujeros que es localmente isométrico al plano hiperbólico. Este tema está estrechamente relacionado con temas importantes del análisis, la teoría de números, los sistemas dinámicos, la física matemática e incluso la cosmología.

Obsérvese que el término "uniformización" sugiere una especie de suavizado de irregularidades en la geometría, mientras que el término "geometrización" sugiere colocar una geometría en una variedad lisa. La geometría se utiliza aquí de una manera precisa similar a la noción de geometría de Klein (véase la conjetura de geometrización para más detalles). En particular, el resultado de la geometrización puede ser una geometría que no sea isótropa . En la mayoría de los casos, incluidos los casos de curvatura constante, la geometría es única. Un tema importante en esta área es la interacción entre formulaciones reales y complejas. En particular, muchas discusiones sobre uniformización hablan de curvas complejas en lugar de variedades reales de dos.

Singularidades

Hamilton demostró que una variedad compacta de Riemann siempre admite una solución de flujo de Ricci de tiempo corto. Más tarde, Shi generalizó el resultado de existencia de tiempo corto a variedades completas de curvatura acotada. ^[7] En general, sin embargo, debido a la naturaleza altamente no lineal de la ecuación de flujo de Ricci, las singularidades se forman en tiempo finito. Estas singularidades son singularidades de curvatura, lo que significa que a medida que uno se acerca al tiempo singular la norma del tensor de curvatura explota hasta el infinito en la región de la singularidad. Un problema fundamental en el flujo de Ricci es comprender todas las posibles geometrías de singularidades. Cuando se tiene éxito, esto puede conducir a conocimientos sobre la topología de las variedades. Por ejemplo, analizar la geometría de regiones singulares que pueden desarrollarse en el flujo de Ricci 3d, es el ingrediente crucial en la prueba de Perelman de las conjeturas de Poincaré y de geometrización. ${\displaystyle |\operatorname {Rm} |}$

Explosión de límites de singularidades

Para estudiar la formación de singularidades es útil, como en el estudio de otras ecuaciones diferenciales no lineales, considerar los límites de explosión. Intuitivamente hablando, uno se acerca a la región singular del flujo de Ricci reescalando el tiempo y el espacio. Bajo ciertas suposiciones, el flujo ampliado tiende a un flujo de Ricci limitante , llamado modelo de singularidad . Los modelos de singularidad son flujos de Ricci antiguos, es decir, pueden extenderse infinitamente hacia el pasado. Comprender los posibles modelos de singularidad en el flujo de Ricci es un esfuerzo de investigación activo. ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t)),t\in (-\infty ,0]}$

A continuación, esbozamos el procedimiento de explosión con más detalle: Sea un flujo de Ricci que desarrolla una singularidad cuando . Sea una secuencia de puntos en el espacio-tiempo tal que ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T),}$ ${\displaystyle t\rightarrow T}$ ${\displaystyle (p_{i},t_{i})\in M\times [0,T)}$

${\displaystyle K_{i}:=\left|\operatorname {Rm} (g_{t_{i}})\right|(p_{i})\rightarrow \infty }$

como . Luego se consideran las métricas reescaladas parabólicamente ${\displaystyle i\rightarrow \infty }$

${\displaystyle g_{i}(t)=K_{i}g\left(t_{i}+{\frac {t}{K_{i}}}\right),\quad t\in [-K_{i}t_{i},0]}$

Debido a la simetría de la ecuación de flujo de Ricci bajo dilataciones parabólicas, las métricas también son soluciones de la ecuación de flujo de Ricci. En el caso de que ${\displaystyle g_{i}(t)}$

${\displaystyle |Rm|\leq K_{i}{\text{ on }}M\times [0,t_{i}],}$

es decir, hasta que se alcanza el máximo de la curvatura en , entonces la secuencia puntiaguda de flujos de Ricci converge posteriormente de manera suave hacia un flujo de Ricci antiguo límite . Nótese que, en general, no es difeomórfico a . ${\displaystyle t_{i}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle (M,g_{i}(t),p_{i})}$ ${\displaystyle (M_{\infty },g_{\infty }(t),p_{\infty })}$ ${\displaystyle M_{\infty }}$ ${\displaystyle M}$

Singularidades de tipo I y tipo II

Hamilton distingue entre singularidades de tipo I y de tipo II en el flujo de Ricci. En particular, se dice que un flujo de Ricci que encuentra una singularidad en un momento dado es de tipo I si ${\displaystyle (M,g_{t}),\,t\in [0,T)}$ ${\displaystyle T}$

${\displaystyle \sup _{t<T}(T-t)|Rm|<\infty }$.

De lo contrario, la singularidad es de tipo II. Se sabe que los límites de explosión de las singularidades de tipo I son solitones de Ricci que se encogen en gradiente . ^[8] En el caso de tipo II, es una pregunta abierta si el modelo de singularidad debe ser un solitón de Ricci estable (hasta ahora todos los ejemplos conocidos lo son).

Singularidades en el flujo de Ricci 3D

En 3D, los posibles límites de explosión de las singularidades del flujo de Ricci se comprenden bien. Según el trabajo de Hamilton, Perelman y Brendle, la explosión en puntos de máxima curvatura conduce a uno de los tres modelos de singularidad siguientes:

• La forma esférica circular del espacio que se encoge ${\displaystyle S^{3}/\Gamma }$
• El cilindro redondo que se encoge ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} }$
• El solitón de Bryant

Los dos primeros modelos de singularidad surgen de singularidades de Tipo I, mientras que el último surge de una singularidad de Tipo II.

Singularidades en el flujo de Ricci 4d

En cuatro dimensiones se sabe muy poco sobre las posibles singularidades, aparte de que las posibilidades son mucho más numerosas que en tres dimensiones. Hasta la fecha se conocen los siguientes modelos de singularidad:

• ${\displaystyle S^{3}\times \mathbb {R} }$
• ${\displaystyle S^{2}\times \mathbb {R} ^{2}}$
• El solitón de Bryant 4d
• Variedad compacta de Einstein de curvatura escalar positiva
• Solitón de contracción de Kahler-Ricci de gradiente compacto
• El reductor FIK ^[9]
• El reductor BCCD ^[10]

Tenga en cuenta que los tres primeros ejemplos son generalizaciones de modelos de singularidad 3D. El reductor FIK modela el colapso de una esfera incrustada con un número de autointersección  −1.

Relación con la difusión

Para ver por qué la ecuación de evolución que define el flujo de Ricci es de hecho una especie de ecuación de difusión no lineal, podemos considerar el caso especial de dos variedades (reales) con más detalle. Cualquier tensor métrico en una variedad doble se puede escribir con respecto a un gráfico de coordenadas isotérmicas exponenciales en la forma

${\displaystyle ds^{2}=\exp(2\,p(x,y))\,\left(dx^{2}+dy^{2}\right).}$

(Estas coordenadas proporcionan un ejemplo de un gráfico de coordenadas conforme , porque los ángulos, pero no las distancias, se representan correctamente).

La forma más sencilla de calcular el tensor de Ricci y el operador de Laplace-Beltrami para nuestra variedad riemanniana de dos dimensiones es utilizar el método de formas diferenciales de Élie Cartan . Tome el campo de coframes

${\displaystyle \sigma ^{1}=\exp(p)\,dx,\;\;\sigma ^{2}=\exp(p)\,dy}$

de modo que el tensor métrico se convierte en

${\displaystyle \sigma ^{1}\otimes \sigma ^{1}+\sigma ^{2}\otimes \sigma ^{2}=\exp(2p)\,\left(dx\otimes dx+dy\otimes dy\right).}$

A continuación, dada una función suave arbitraria , calcule la derivada exterior ${\displaystyle h(x,y)}$

${\displaystyle dh=h_{x}dx+h_{y}dy=\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{2}.}$

Tome el Hodge dual

${\displaystyle \star dh=-\exp(-p)h_{y}\,\sigma ^{1}+\exp(-p)h_{x}\,\sigma ^{2}=-h_{y}\,dx+h_{x}\,dy.}$

Tome otra derivada exterior

${\displaystyle d\star dh=-h_{yy}\,dy\wedge dx+h_{xx}\,dx\wedge dy=\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,dx\wedge dy}$

(donde utilizamos la propiedad anticonmutativa del producto exterior ). Es decir,

${\displaystyle d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

Tomar otro duelo de Hodge da

${\displaystyle \Delta h=\star d\star dh=\exp(-2p)\,\left(h_{xx}+h_{yy}\right)}$

que da la expresión deseada para el operador de Laplace/Beltrami

${\displaystyle \Delta =\exp(-2\,p(x,y))\left(D_{x}^{2}+D_{y}^{2}\right).}$

Para calcular el tensor de curvatura, tomamos la derivada exterior de los campos covectoriales que forman nuestro coframe:

${\displaystyle d\sigma ^{1}=p_{y}\exp(p)dy\wedge dx=-\left(p_{y}dx\right)\wedge \sigma ^{2}=-{\omega ^{1}}_{2}\wedge \sigma ^{2}}$

${\displaystyle d\sigma ^{2}=p_{x}\exp(p)dx\wedge dy=-\left(p_{x}dy\right)\wedge \sigma ^{1}=-{\omega ^{2}}_{1}\wedge \sigma ^{1}.}$

A partir de estas expresiones, podemos leer la única conexión de espín independiente de una forma

${\displaystyle {\omega ^{1}}_{2}=p_{y}dx-p_{x}dy,}$

donde hemos aprovechado la propiedad antisimétrica de la conexión ( ). Tome otra derivada exterior ${\displaystyle {\omega ^{2}}_{1}=-{\omega ^{1}}_{2}}$

${\displaystyle d{\omega ^{1}}_{2}=p_{yy}dy\wedge dx-p_{xx}dx\wedge dy=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,dx\wedge dy.}$

Esto le da a la curvatura dos formas.

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}=-\exp(-2p)\left(p_{xx}+p_{yy}\right)\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}=-\Delta p\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}}$

de donde podemos leer el único componente linealmente independiente del tensor de Riemann usando

${\displaystyle {\Omega ^{1}}_{2}={R^{1}}_{212}\,\sigma ^{1}\wedge \sigma ^{2}.}$

A saber

${\displaystyle {R^{1}}_{212}=-\Delta p}$

de donde los únicos componentes distintos de cero del tensor de Ricci son

${\displaystyle R_{22}=R_{11}=-\Delta p.}$

A partir de esto, encontramos componentes con respecto a la cobase de coordenadas , a saber:

${\displaystyle R_{xx}=R_{yy}=-\left(p_{xx}+p_{yy}\right).}$

Pero el tensor métrico también es diagonal, con

${\displaystyle g_{xx}=g_{yy}=\exp(2p)}$

y después de una manipulación elemental, obtenemos una expresión elegante para el flujo de Ricci:

${\displaystyle {\frac {\partial p}{\partial t}}=\Delta p.}$

Esto es manifiestamente análogo a la más conocida de todas las ecuaciones de difusión, la ecuación del calor.

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta u}$

¿Dónde está ahora el laplaciano habitual en el plano euclidiano? El lector puede objetar que la ecuación del calor es, por supuesto, una ecuación diferencial parcial lineal : ¿dónde está la no linealidad prometida en la ecuación diferencial parcial que define el flujo de Ricci? ${\displaystyle \Delta =D_{x}^{2}+D_{y}^{2}}$

La respuesta es que la no linealidad entra en juego porque el operador de Laplace-Beltrami depende de la misma función p que usamos para definir la métrica. Pero observe que el plano euclidiano plano se da tomando . Por lo tanto, si es de magnitud pequeña, podemos considerar que define pequeñas desviaciones de la geometría de un plano plano, y si retenemos solo los términos de primer orden al calcular la exponencial, el flujo de Ricci en nuestra variedad riemanniana bidimensional casi plana se convierte en la ecuación de calor bidimensional habitual. Este cálculo sugiere que, así como (según la ecuación de calor) una distribución de temperatura irregular en una placa caliente tiende a volverse más homogénea con el tiempo, también (según el flujo de Ricci) una variedad riemanniana casi plana tenderá a aplanarse de la misma manera que el calor puede ser transportado "hasta el infinito" en una placa plana infinita. Pero si nuestra placa caliente es finita en tamaño y no tiene un límite donde pueda transportarse el calor, podemos esperar homogeneizar la temperatura, pero claramente no podemos esperar reducirla a cero. De la misma manera, esperamos que el flujo de Ricci, aplicado a una esfera redonda distorsionada, tienda a redondear la geometría con el tiempo, pero no a convertirla en una geometría euclidiana plana. ${\displaystyle p(x,y)=0}$ ${\displaystyle p}$

Acontecimientos recientes

El flujo de Ricci ha sido estudiado intensivamente desde 1981. Algunos trabajos recientes se han centrado en la cuestión de cómo evolucionan con precisión las variedades de Riemann de dimensiones superiores bajo el flujo de Ricci y, en particular, qué tipos de singularidades paramétricas pueden formarse. Por ejemplo, una determinada clase de soluciones para el flujo de Ricci demuestra que las singularidades de estrechamiento del cuello se formarán en una variedad de Riemann métrica de dimensión superior en evolución que tenga una determinada propiedad topológica ( característica de Euler positiva ), a medida que el flujo se acerque a un tiempo característico . En ciertos casos, tales estrechamientos del cuello producirán variedades llamadas solitones de Ricci . ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{0}}$

Para una variedad tridimensional, Perelman mostró cómo continuar más allá de las singularidades utilizando cirugía en la variedad .

Las métricas de Kähler siguen siendo Kähler bajo flujo de Ricci, por lo que el flujo de Ricci también se ha estudiado en este contexto, donde se denomina flujo de Kähler-Ricci .

Notas

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Referencias

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Enlaces externos

• Isenberg, James A. "Ricci Flow" (video) . Brady Haran . Archivado desde el original el 12 de diciembre de 2021. Consultado el 23 de abril de 2014 .