Solitón de Ricci

En geometría diferencial , una variedad riemanniana completa se denomina solitón de Ricci si, y solo si, existe un campo vectorial suave tal que ${\displaystyle (M,g)}$ ${\displaystyle V}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} (g)=\lambda \,g-{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{V}g,}$

para alguna constante . Aquí está el tensor de curvatura de Ricci y representa la derivada de Lie . Si existe una función tal que llamamos gradiente solitón de Ricci y la ecuación del solitón se convierte en ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle \operatorname {Ric} }$ ${\displaystyle {\mathcal {L}}}$ ${\displaystyle f:M\rightarrow \mathbb {R} }$ ${\displaystyle V=\nabla f}$ ${\displaystyle (M,g)}$

${\displaystyle \operatorname {Ric} (g)+\nabla ^{2}f=\lambda \,g.}$

Obsérvese que cuando o las ecuaciones anteriores se reducen a la ecuación de Einstein. Por este motivo, los solitones de Ricci son una generalización de las variedades de Einstein . ${\displaystyle V=0}$ ${\displaystyle f=0}$

Soluciones autosimilares al flujo de Ricci

Un solitón de Ricci produce una solución autosimilar a la ecuación de flujo de Ricci ${\displaystyle (M,g_{0})}$

${\displaystyle \partial _{t}g_{t}=-2\operatorname {Ric} (g_{t}).}$

En particular, dejar

${\displaystyle \sigma (t):=1-2\lambda t}$

y la integración del campo vectorial dependiente del tiempo para dar una familia de difeomorfismos , con la identidad, produce una solución de flujo de Ricci tomando ${\displaystyle X(t):={\frac {1}{\sigma (t)}}V}$ ${\displaystyle \Psi _{t}}$ ${\displaystyle \Psi _{0}}$ ${\displaystyle (M,g_{t})}$

${\displaystyle g_{t}=\sigma (t)\Psi _{t}^{\ast }(g_{0}).}$

En esta expresión se hace referencia al retroceso de la métrica por el difeomorfismo . Por lo tanto, hasta el difeomorfismo y dependiendo del signo de , un solitón de Ricci se contrae homotéticamente, se mantiene estable o se expande bajo el flujo de Ricci. ${\displaystyle \Psi _{t}^{\ast }(g_{0})}$ ${\displaystyle g_{0}}$ ${\displaystyle \Psi _{t}}$ ${\displaystyle \lambda }$

Ejemplos de solitones de Ricci

Encogiéndose ( la > 0 {\displaystyle \lambda >0} )

• Solitón encogido gaussiano ${\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},g_{eucl},f(x)={\frac {\lambda }{2}}|x|^{2})}$
• Esfera redonda encogida ${\displaystyle S^{n},n\geq 2}$
• Cilindro redondo encogible ${\displaystyle S^{n-1}\times \mathbb {R} ,n\geq 3}$
• El reductor FIK de cuatro dimensiones ^[1]
• El reductor BCCD de cuatro dimensiones ^[2]
• Reductores de gradiente compacto de Kahler-Ricci ^{[3] [4] [5]}
• Variedades de Einstein de curvatura escalar positiva

Estable ( la = 0 {\displaystyle \lambda = 0} )

• El solitón del cigarro 2d (también conocido como el agujero negro de Witten) ${\displaystyle \left(\mathbb {R} ^{2},g={\frac {dx^{2}+dy^{2}}{1+x^{2}+y^{2}}},V=-2(x{\frac {\partial }{\partial x}}+y{\frac {\partial }{\partial y}})\right)}$
• El solitón Bryant rotacionalmente simétrico 3D y su generalización a dimensiones superiores ^[6]
• Colectores planos Ricci

Expansión ( la < 0 {\displaystyle \lambda

• Expansión de solitones de Kahler-Ricci en los fibrados lineales complejos sobre . ^[1] ${\displaystyle O(-k),k>n}$ ${\displaystyle \mathbb {C} P^{n},n\geq 1}$
• Variedades de Einstein de curvatura escalar negativa

Modelos de singularidad en el flujo de Ricci

Los solitones de Ricci encogidos y estables son objetos fundamentales en el estudio del flujo de Ricci , ya que aparecen como límites de explosión de singularidades . En particular, se sabe que todas las singularidades de Tipo I se modelan en solitones de Ricci encogidos por gradiente no colapsado. ^[7] Se espera que las singularidades de Tipo II se modelen en solitones de Ricci estables en general, sin embargo, hasta la fecha esto no se ha demostrado, a pesar de que todos los ejemplos conocidos lo están.

Identidades de los solitones

Tomando la traza de la ecuación del solitón de Ricci se obtiene ${\displaystyle Ric+{\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}_{V}g=\lambda g}$

donde es la curvatura escalar y . Al tomar la divergencia de la ecuación del solitón de Ricci e invocar las identidades de Bianchi contraídas y ( 1 ), se deduce que ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle n=\operatorname {dim} M}$

${\displaystyle \Delta V+\operatorname {Ric} \circ V=0\quad {\text{or equivalently, in components,}}\quad \Delta V_{i}+\operatorname {Ric} _{ij}V^{j}=0.}$

Para los solitones de Ricci de gradiente , se muestran argumentos similares ${\displaystyle V=\nabla f}$

${\displaystyle S+\Delta f=\lambda n\quad {\text{and}}\quad \nabla (S+|\nabla f|^{2}-2\lambda f)=0.}$

En particular, si está conexo, entonces existe una constante tal que ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle S+|\nabla f|^{2}=2\lambda f+C.}$

A menudo, en los casos de contracción o expansión ( ), se reemplaza por para obtener un solitón de Ricci de gradiente normalizado tal que . ${\displaystyle \lambda \neq 0}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f-{\frac {C}{2\lambda }}}$ ${\displaystyle S+|\nabla f|^{2}=2\lambda f}$

Notas

1. Feldman, Mikhail; Ilmanen, Tom; Knopf, Dan (2003), "Solitones de Kähler-Ricci con gradientes de contracción y expansión simétricos rotacionalmente", Journal of Differential Geometry , 65 (2): 169–209, doi : 10.4310/jdg/1090511686
2. Bamler, R.; Cifarelli, C.; Conlon, R.; Deruelle, A. (2022). "Un nuevo solitón de Kähler-Ricci con gradiente de contracción bidimensional completo". arXiv : 2206.10785 [math.DG].
3. Koiso, Norihito (1990), "Sobre la ecuación de Hamilton rotacionalmente simétrica para métricas de Kahler-Einstein", Temas recientes en geometría diferencial y analítica , Estudios avanzados en matemáticas puras, vol. 18-I, Academic Press, Boston, MA, págs. 327–337, doi : 10.2969/aspm/01810327 , ISBN 978-4-86497-076-1
4. Cao, Huai-Dong (1996), "Existencia de solitones de gradiente de Kähler-Ricci", Métodos elípticos y parabólicos en geometría (Minneapolis, MN, 1994) , AK Peters, Wellesley, MA, págs. 1–16, arXiv : 1203.4794
5. Wang, Xu-Jia; Zhu, Xiaohua (2004), "Solitones de Kähler-Ricci en variedades tóricas con primera clase de Chern positiva", Advances in Mathematics , 188 (1): 87–103, doi : 10.1016/j.aim.2003.09.009
6. Bryant, Robert L., Solitones de flujo de Ricci en dimensión tres con simetrías SO(3) (PDF)
7. Enders, Joerg; Müller, Reto; Topping, Peter M. (2011), "Sobre las singularidades de tipo I en el flujo de Ricci", Communications in Analysis and Geometry , 19 (5): 905–922, doi : 10.4310/CAG.2011.v19.n5.a4 , hdl : 10044/1/10485

Referencias

• Cao, Huai-Dong (2010). "Progresos recientes en solitones de Ricci". arXiv : 0908.2006 [math.DG].
• Topping, Peter (2006), Conferencias sobre el flujo de Ricci , Cambridge University Press , ISBN 978-0521689472