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Teorema de la esfera

En geometría de Riemann , el teorema de la esfera , también conocido como teorema de la esfera pellizcada en un cuarto , restringe fuertemente la topología de variedades que admiten métricas con un límite de curvatura particular. El enunciado preciso del teorema es el siguiente. Si M es una variedad de Riemann completa , simplemente conexa , n -dimensional con curvatura seccional que toma valores en el intervalo , entonces M es homeomorfa a la n -esfera . (Para ser precisos, queremos decir que la curvatura seccional de cada plano 2 tangente en cada punto debe estar en ). Otra forma de enunciar el resultado es que si M no es homeomorfa a la esfera, entonces es imposible poner una métrica en M con curvatura pellizcada en un cuarto.

Obsérvese que la conclusión es falsa si se permite que las curvaturas seccionales tomen valores en el intervalo cerrado . El contraejemplo estándar es el espacio proyectivo complejo con la métrica de Fubini-Study ; las curvaturas seccionales de esta métrica toman valores entre 1 y 4, con puntos finales incluidos. Se pueden encontrar otros contraejemplos entre los espacios simétricos de rango uno .

Teorema de la esfera diferenciable

La prueba original del teorema de la esfera no concluyó que M era necesariamente difeomórfica con respecto a la n -esfera. Esta complicación se debe a que las esferas en dimensiones superiores admiten estructuras suaves que no son difeomórficas. (Para obtener más información, consulte el artículo sobre esferas exóticas ). Sin embargo, en 2007, Simon Brendle y Richard Schoen utilizaron el flujo de Ricci para demostrar que con las hipótesis anteriores, M es necesariamente difeomórfica con respecto a la n -esfera con su estructura suave estándar. Además, la prueba de Brendle y Schoen solo utiliza el supuesto más débil de pinzamiento puntual en lugar de global. Este resultado se conoce como el teorema de la esfera diferenciable .

Historia del teorema de la esfera

Heinz Hopf conjeturó que una variedad simplemente conexa con curvatura seccional pinzada es una esfera. [1] En 1951, Harry Rauch demostró que una variedad simplemente conexa con curvatura en [3/4,1] es homeomorfa a una esfera. [2] En 1960, tanto Marcel Berger como Wilhelm Klingenberg demostraron la versión topológica del teorema de la esfera con la constante de pinzamiento óptima. [3] [4] Berger analiza la historia del teorema en su libro Una vista panorámica de la geometría de Riemann , publicado originalmente en 2003. [5]

Referencias

  1. ^ Hopf, Heinz (1932), "Differentialgeometry und topologische Gestalt", Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung , 41 : 209-228
  2. ^ Rauch, HE (1951). "Una contribución a la geometría diferencial en los grandes". Anales de Matemáticas . 54 (1): 38–55. doi :10.2307/1969309. JSTOR  1969309.
  3. ^ Berger, M. (1961). "Les variétés riemanniennes homogènes normales simplement connexes à courbure estricto positivo". Annali della Scuola Normale Superiore di Pisa - Scienze Fisiche e Matematiche (en francés). 15 (3): 179–246. ISSN  0036-9918 . Consultado el 15 de enero de 2024 .
  4. ^ Klingenberg, Wilhelm (1961). "Über Riemannsche Mannigfaltigkeiten mit positiver Krümmung". Comentarios Mathematici Helvetici . 35 : 47–54. doi :10.1007/BF02567004. eISSN  1420-8946. ISSN  0010-2571. S2CID  124444094 . Consultado el 15 de enero de 2024 .
  5. ^ Berger, Marcel (2012). Una visión panorámica de la geometría de Riemann . Spring-Verlag. ISBN 978-3-642-62121-5.