ecuación de riccati

Type of differential equation

En matemáticas , una ecuación de Riccati en el sentido más estricto es cualquier ecuación diferencial ordinaria de primer orden que es cuadrática en la función desconocida. En otras palabras, es una ecuación de la forma

${\displaystyle y'(x)=q_{0}(x)+q_{1}(x)\,y(x)+q_{2}(x)\,y^{2}(x)}$

dónde y . Si la ecuación se reduce a una ecuación de Bernoulli , mientras que si la ecuación se convierte en una ecuación diferencial ordinaria lineal de primer orden . ${\displaystyle q_{0}(x)\neq 0}$ ${\displaystyle q_{2}(x)\neq 0}$ ${\displaystyle q_{0}(x)=0}$ ${\displaystyle q_{2}(x)=0}$

La ecuación lleva el nombre de Jacopo Riccati (1676-1754). ^[1]

De manera más general, el término ecuación de Riccati se utiliza para referirse a ecuaciones matriciales con un término cuadrático análogo, que ocurren tanto en tiempo continuo como en tiempo discreto, control lineal-cuadrático-gaussiano . La versión de estado estacionario (no dinámica) de estas se conoce como ecuación algebraica de Riccati .

Conversión a una ecuación lineal de segundo orden

La ecuación de Riccati no lineal siempre se puede convertir en una ecuación diferencial ordinaria lineal (EDO) de segundo orden: ^[2] Si

${\displaystyle y'=q_{0}(x)+q_{1}(x)y+q_{2}(x)y^{2}\!}$

entonces, dondequiera que sea distinto de cero y diferenciable, satisface una ecuación de Riccati de la forma ${\displaystyle q_{2}}$ ${\displaystyle v=yq_{2}}$

${\displaystyle v'=v^{2}+R(x)v+S(x),\!}$

donde y porque ${\displaystyle S=q_{2}q_{0}}$ ${\displaystyle R=q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}}$

${\displaystyle v'=(yq_{2})'=y'q_{2}+yq_{2}'=(q_{0}+q_{1}y+q_{2}y^{2})q_{2}+v{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}=q_{0}q_{2}+\left(q_{1}+{\frac {q_{2}'}{q_{2}}}\right)v+v^{2}.\!}$

Sustituyendo , se deduce que satisface la EDO lineal de segundo orden ${\displaystyle v=-u'/u}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''-R(x)u'+S(x)u=0\!}$

desde

${\displaystyle v'=-(u'/u)'=-(u''/u)+(u'/u)^{2}=-(u''/u)+v^{2}\!}$

de modo que

${\displaystyle u''/u=v^{2}-v'=-S-Rv=-S+Ru'/u\!}$

y por lo tanto

${\displaystyle u''-Ru'+Su=0.\!}$

Entonces basta con sustituir las dos soluciones de esta ecuación lineal de segundo orden en la transformación para tener un conocimiento global de la solución general de la ecuación de Riccati mediante la fórmula: ^[3] ${\displaystyle y=-u'/(q_{2}u)=-q_{2}^{-1}(\log(u))'}$

${\displaystyle y=-q_{2}^{-1}(\log(c_{1}u_{1}+c_{2}u_{2}))'.}$

Aplicación a la ecuación de Schwarz

Una aplicación importante de la ecuación de Riccati es la ecuación diferencial de Schwarzian de tercer orden.

${\displaystyle S(w):=(w''/w')'-(w''/w')^{2}/2=f}$

lo cual ocurre en la teoría del mapeo conforme y funciones univalentes . En este caso las EDO están en el dominio complejo y la diferenciación es con respecto a una variable compleja. (La derivada de Schwarz tiene la notable propiedad de que es invariante bajo transformaciones de Möbius, es decir, siempre que sea distinto de cero). La función satisface la ecuación de Riccati ${\displaystyle S(w)}$ ${\displaystyle S((aw+b)/(cw+d))=S(w)}$ ${\displaystyle ad-bc}$ ${\displaystyle y=w''/w'}$

${\displaystyle y'=y^{2}/2+f.}$

Por lo anterior, ¿dónde está la solución de la EDO lineal? ${\displaystyle y=-2u'/u}$ ${\displaystyle u}$

${\displaystyle u''+(1/2)fu=0.}$

Desde entonces , la integración da por alguna constante . Por otro lado, cualquier otra solución independiente de la EDO lineal tiene un Wronskiano constante distinto de cero, que puede considerarse después del escalado. De este modo ${\displaystyle w''/w'=-2u'/u}$ ${\displaystyle w'=C/u^{2}}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle U'u-Uu'}$ ${\displaystyle C}$

${\displaystyle w'=(U'u-Uu')/u^{2}=(U/u)'}$

para que la ecuación de Schwarz tiene solución ${\displaystyle w=U/u.}$

Obtención de soluciones por cuadratura.

La correspondencia entre las ecuaciones de Riccati y las EDO lineales de segundo orden tiene otras consecuencias. Por ejemplo, si se conoce una solución de una EDO de segundo orden, entonces se sabe que se puede obtener otra solución por cuadratura, es decir, por integración simple. Lo mismo ocurre con la ecuación de Riccati. De hecho, si se puede encontrar una solución particular, la solución general se obtiene como ${\displaystyle y_{1}}$

${\displaystyle y=y_{1}+u}$

Sustituyendo

${\displaystyle y_{1}+u}$

en la ecuación de Riccati se obtiene

${\displaystyle y_{1}'+u'=q_{0}+q_{1}\cdot (y_{1}+u)+q_{2}\cdot (y_{1}+u)^{2},}$

y desde

${\displaystyle y_{1}'=q_{0}+q_{1}\,y_{1}+q_{2}\,y_{1}^{2},}$

resulta que

${\displaystyle u'=q_{1}\,u+2\,q_{2}\,y_{1}\,u+q_{2}\,u^{2}}$

o

${\displaystyle u'-(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,u=q_{2}\,u^{2},}$

que es una ecuación de Bernoulli . La sustitución que se necesita para resolver esta ecuación de Bernoulli es

${\displaystyle z={\frac {1}{u}}}$

Sustituyendo

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

directamente en la ecuación de Riccati produce la ecuación lineal

${\displaystyle z'+(q_{1}+2\,q_{2}\,y_{1})\,z=-q_{2}}$

Un conjunto de soluciones a la ecuación de Riccati viene dado por

${\displaystyle y=y_{1}+{\frac {1}{z}}}$

donde z es la solución general de la ecuación lineal antes mencionada.

Ver también

• Regulador lineal-cuadrático
• Ecuación algebraica de Riccati
• Control lineal-cuadrático-gaussiano

Referencias

1. Riccati, Jacopo (1724) "Animadversiones in aequationes diferenciales secundi gradus" (Observaciones sobre ecuaciones diferenciales de segundo orden), Actorum Eruditorum, quae Lipsiae publicantur, Suplemento , 8  : 66-73. Traducción del latín original al inglés por Ian Bruce.
2. Ince, EL (1956) [1926], Ecuaciones diferenciales ordinarias , Nueva York: Dover Publications, págs.
3. Conte, Robert (1999). "El enfoque Painlevé de ecuaciones diferenciales ordinarias no lineales". La Propiedad Painlevé . Nueva York, Nueva York: Springer Nueva York. págs.5, 98. doi :10.1007/978-1-4612-1532-5_3. ISBN 978-0-387-98888-7.

Otras lecturas

• Hille, Einar (1997) [1976], Ecuaciones diferenciales ordinarias en el dominio complejo, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-69620-0
• Nehari, Zeev (1975) [1952], Mapeo conforme, Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-61137-X
• Polianina, Andrei D.; Zaitsev, Valentin F. (2003), Manual de soluciones exactas para ecuaciones diferenciales ordinarias (2ª ed.), Boca Raton, Florida: Chapman & Hall/CRC, ISBN 1-58488-297-2
• Zelikin, Mikhail I. (2000), Espacios homogéneos y la ecuación de Riccati en el cálculo de variaciones , Berlín: Springer-Verlag
• Reid, William T. (1972), Ecuaciones diferenciales de Riccati , Londres: Academic Press

enlaces externos

• "Ecuación de Riccati", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Ecuación de Riccati en EqWorld: el mundo de las ecuaciones matemáticas.
• Ecuación diferencial de Riccati en Mathworld
• Función MATLAB para resolver la ecuación algebraica de Riccati en tiempo continuo.
• SciPy tiene funciones para resolver la ecuación algebraica continua de Riccati y la ecuación algebraica discreta de Riccati.