Mapeo de Schwarz-Christoffel

En el análisis complejo , una aplicación de Schwarz-Christoffel es una aplicación conforme del semiplano superior o del disco unitario complejo sobre el interior de un polígono simple . Se garantiza la existencia de una aplicación de este tipo mediante el teorema de aplicación de Riemann (formulado por Bernhard Riemann en 1851); la fórmula de Schwarz-Christoffel proporciona una construcción explícita. Fueron introducidos de forma independiente por Elwin Christoffel en 1867 y Hermann Schwarz en 1869.

Las aplicaciones de Schwarz-Christoffel se utilizan en la teoría del potencial y algunas de sus aplicaciones, incluidas las superficies mínimas , el arte hiperbólico y la dinámica de fluidos .

Definición

Consideremos un polígono en el plano complejo. El teorema de aplicación de Riemann implica que existe una aplicación biholomorfa f desde el semiplano superior

${\displaystyle \{\zeta \in \mathbb {C} :\operatorname {Im} \zeta >0\}}$

al interior del polígono. La función f asigna el eje real a los bordes del polígono. Si el polígono tiene ángulos interiores , entonces esta asignación está dada por ${\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\ldots }$

${\displaystyle f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-a)^{1-(\alpha /\pi )}(w-b)^{1-(\beta /\pi )}(w-c)^{1-(\gamma /\pi )}\cdots }}\,\mathrm {d} w}$

donde es una constante , y son los valores, a lo largo del eje real del plano, de los puntos correspondientes a los vértices del polígono en el plano. Una transformación de esta forma se denomina aplicación de Schwarz–Christoffel . ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle a<b<c<\cdots }$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$

La integral se puede simplificar asignando el punto en el infinito del plano a uno de los vértices del polígono plano. Al hacer esto, el primer factor de la fórmula se vuelve constante y, por lo tanto, puede absorberse en la constante . De manera convencional, el punto en el infinito se asignaría al vértice con ángulo . ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle \alpha }$

En la práctica, para encontrar una función que se corresponda con un polígono específico, es necesario encontrar los valores que generan las longitudes de los lados del polígono correctas. Esto requiere resolver un conjunto de ecuaciones no lineales y, en la mayoría de los casos, solo se puede hacer numéricamente . ^[1] ${\displaystyle a<b<c<\cdots }$

Ejemplo

Consideremos una franja semi-infinita en el plano z . Esto puede considerarse como una forma límite de un triángulo con vértices P = 0 , Q = π i , y R (con R real), ya que R tiende a infinito. Ahora α = 0 y β = γ = π ⁄ 2 en el límite. Supongamos que estamos buscando la aplicación f con f (−1) = Q , f (1) = P , y f (∞) = R . Entonces f está dada por

${\displaystyle f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {K}{(w-1)^{1/2}(w+1)^{1/2}}}\,\mathrm {d} w.\,}$

La evaluación de esta integral arroja

${\displaystyle z=f(\zeta )=C+K\operatorname {arcosh} \zeta ,}$

donde C es una constante de integración (compleja). Si se requiere que f (−1) = Q y f (1) = P, se obtiene C = 0 y K = 1. Por lo tanto, la función de Schwarz-Christoffel está dada por

${\displaystyle z=\operatorname {arcosh} \zeta .}$

Esta transformación se esquematiza a continuación.

Mapeo de Schwarz-Christoffel del semiplano superior a la franja semiinfinita

Otras asignaciones simples

Triángulo

Una aplicación a un triángulo plano con ángulos interiores y está dada por ${\displaystyle \pi a,\,\pi b}$ ${\displaystyle \pi (1-a-b)}$

${\displaystyle z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {dw}{(w-1)^{1-a}(w+1)^{1-b}}},}$

que puede expresarse en términos de funciones hipergeométricas , más precisamente funciones beta incompletas .

Cuadrado

El semiplano superior se asigna al cuadrado mediante

${\displaystyle z=f(\zeta )=\int ^{\zeta }{\frac {\mathrm {d} w}{\sqrt {w(1-w^{2})}}}={\sqrt {2}}\,F\left({\sqrt {\zeta +1}};{\sqrt {2}}/2\right),}$

donde F es la integral elíptica incompleta de primer tipo.

Triángulo general

El semiplano superior se asigna a un triángulo con arcos circulares como aristas mediante el mapa de triángulos de Schwarz .

Véase también

• La derivada schwarziana aparece en la teoría de aplicaciones de Schwarz-Christoffel.

Referencias

1. Driscoll, Toby. "Mapeo de Schwarz-Christoffel". www.math.udel.edu . Consultado el 17 de mayo de 2021 .

• Christoffel, Elwin Bruno (1867). "Sul problema delle Temperature stazionarie e la rappresentazione di una data superficie" [Sobre el problema de las temperaturas estacionarias y la representación de una superficie dada]. Annali di Matematica Pura ed Applicata (en italiano). 1 : 89-103. doi :10.1007/BF02419161. S2CID  121089696.
• Driscoll, Tobin A.; Trefethen, Lloyd N. (2002). Mapeo de Schwarz–Christoffel . Cambridge University Press. doi :10.1017/CBO9780511546808. ISBN. 9780521807265.
• Schwarz, Hermann Amandus (1869). "Ueber einige Abbildungsaufgaben" [Acerca de algunos problemas cartográficos]. Diario de Crelle (en alemán). 1869 (70): 105-120. doi :10.1515/crll.1869.70.105. S2CID  121291546.
• Forsyth, Andrew Russell (1918) [1.ª ed. 1893]. Teoría de funciones de variable compleja . Cambridge.§§267–270, págs. 665–677.
• Nehari, Zeev (1982) [1952], Mapeo conforme , Nueva York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-61137-2, Sr.  0045823
• El cuadrado hiperbólico conforme y sus semejantes Chamberlain Fong, Actas de la conferencia Bridges Finland, 2016

Lectura adicional

Un análogo del mapeo SC que funciona también para los múltiples conexos se presenta en: Case, James (2008), "Breakthrough in Conformal Mapping" (PDF) , SIAM News , 41 (1).

Enlaces externos

• "Transformación de Schwarz-Christoffel". PlanetMath .
• Caja de herramientas Schwarz-Christoffel (software para MATLAB )