Conjetura de Fermat-Catalán

Generalización del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalan,

En teoría de números , la conjetura de Fermat-Catalan es una generalización del último teorema de Fermat y de la conjetura de Catalan , de ahí el nombre. La conjetura establece que la ecuación

tiene sólo un número finito de soluciones ( a , b , c , m , n , k ) con tripletes distintos de valores ( a ^m , b ⁿ , c ^k ) donde a , b , c son enteros coprimos positivos y m , n , k son enteros positivos que satisfacen

La desigualdad sobre m , n y k es una parte necesaria de la conjetura. Sin la desigualdad habría infinitas soluciones, por ejemplo con k = 1 (para cualquier a , b , m y n y con c = a ^m + b ⁿ ) o con m , n y k todas iguales a dos ( para las infinitas ternas pitagóricas conocidas ).

Soluciones conocidas

A partir de 2015, se conocen las siguientes diez soluciones a la ecuación (1) que cumplen con los criterios de la ecuación (2): ^[1]

${\displaystyle 1^{m}+2^{3}=3^{2}\;}$(para satisfacer la ecuación 2) ${\displaystyle m>6}$

${\displaystyle 2^{5}+7^{2}=3^{4}\;}$

${\displaystyle 7^{3}+13^{2}=2^{9}\;}$

${\displaystyle 2^{7}+17^{3}=71^{2}\;}$

${\displaystyle 3^{5}+11^{4}=122^{2}\;}$

${\displaystyle 33^{8}+1549034^{2}=15613^{3}\;}$

${\displaystyle 1414^{3}+2213459^{2}=65^{7}\;}$

${\displaystyle 9262^{3}[phone]^{2}=113^{7}\;}$

${\displaystyle 17^{7}+76271^{3}=21063928^{2}\;}$

${\displaystyle 43^{8}+96222^{3}=30042907^{2}\;}$

La primera de ellas (1 ^m + 2 ³ = 3 ² ) es la única solución donde uno de a , b o c es 1, según la conjetura catalana , probada en 2002 por Preda Mihăilescu . Si bien este caso conduce a infinitas soluciones de (1) (ya que se puede elegir cualquier m para m > 6), estas soluciones solo dan un triplete de valores ( a ^m , b ⁿ , c ^k ).

Resultados parciales

Se sabe por el teorema de Darmon-Granville, que utiliza el teorema de Faltings , que para cualquier elección fija de enteros positivos m , n y k que satisfagan (2), sólo existen un número finito de tripletes coprimos ( a ,  b ,  c ) que resuelvan (1). . ^{[2] [3] : pág. 64} Sin embargo, la conjetura completa de Fermat-Catalan es más sólida ya que permite que varíen los exponentes m , n y k .

La conjetura abc implica la conjetura de Fermat-Catalan. ^[4]

Para obtener una lista de resultados de combinaciones imposibles de exponentes, consulte Conjetura de Beal#Resultados parciales . La conjetura de Beal es cierta si y sólo si todas las soluciones de Fermat-Catalan tienen m = 2, n = 2 o k = 2.

Ver también

• Sumas de potencias , una lista de conjeturas y teoremas relacionados

Referencias

1. Pomerance, Carl (2008), "Teoría computacional de números", en Gowers, Timothy ; Barrow-Green, junio; Líder, Imre (eds.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, págs. 361–362, ISBN 978-0-691-11880-2.
2. Darmon, H.; Granville, A. (1995). "Sobre las ecuaciones zm = F(x, y) y Axp + Byq = Czr". Boletín de la Sociedad Matemática de Londres . 27 : 513–43. doi : 10.1112/blms/27.6.513 .
3. Elkies, Noam D. (2007). "El ABC de la teoría de números" (PDF) . La revisión de matemáticas de la Universidad de Harvard . 1 (1).
4. Waldschmidt, Michel (2015). "Conferencia sobre la conjetura y algunas de sus consecuencias". Matemáticas en el siglo XXI (PDF) . Procedimiento Springer. Matemáticas. Estadística. vol. 98. Basilea: Springer. págs. 211-230. doi :10.1007/978-3-0348-0859-0_13. SEÑOR  3298238. ${\displaystyle abc}$

enlaces externos

• Perfect Powers: las obras de Pillai y sus desarrollos. Waldschmidt, M.