El teorema de Ribet (anteriormente llamado conjetura épsilon o conjetura ε ) es parte de la teoría de números . Se trata de propiedades de las representaciones de Galois asociadas con formas modulares . Fue propuesto por Jean-Pierre Serre y probado por Ken Ribet . La demostración fue un paso significativo hacia la demostración del último teorema de Fermat (FLT). Como lo muestran Serre y Ribet, la conjetura de Taniyama-Shimura (cuyo estado no estaba resuelto en ese momento) y la conjetura épsilon juntas implican que FLT es verdadera.
En términos matemáticos, el teorema de Ribet muestra que si la representación de Galois asociada a una curva elíptica tiene ciertas propiedades, entonces esa curva no puede ser modular (en el sentido de que no puede existir una forma modular que dé lugar a la misma representación). [1]
Sea f una nueva forma de peso 2 en Γ 0 ( qN ) – es decir, de nivel qN donde q no divide a N – con mod p bidimensional absolutamente irreducible representación de Galois ρ f,p no ramificado en q si q ≠ p y plano finito en q = pag . Entonces existe un peso 2 g de nueva forma de nivel N tal que
En particular, si E es una curva elíptica con un conductor qN , entonces el teorema de modularidad garantiza que existe una nueva forma f de peso 2 de nivel qN tal que la representación bidimensional mod p Galois ρ f, p de f es isomorfa a la Mod bidimensional p Representación de Galois ρ E, p de E . Para aplicar el teorema de Ribet a ρ E , p , basta comprobar la irreductibilidad y ramificación de ρ E, p . Utilizando la teoría de la curva de Tate , se puede demostrar que ρ E, p no está ramificada en q ≠ p y es finita plana en q = p si p divide la potencia a la que q aparece en el discriminante mínimo Δ E. Entonces el teorema de Ribet implica que existe un peso 2 nueva forma g de nivel N tal que ρ g , p ≈ ρ E , p .
El teorema de Ribet establece que comenzar con una curva elíptica E del conductor qN no garantiza la existencia de una curva elíptica E ′ de nivel N tal que ρ E, p ≈ ρ E ′ , p . La nueva forma g del nivel N puede no tener coeficientes de Fourier racionales y, por lo tanto, puede estar asociada a una variedad abeliana de dimensiones superiores , no a una curva elíptica. Por ejemplo, la curva elíptica 4171a1 en la base de datos de Cremona dada por la ecuación
con conductor 43 × 97 y discriminante 43 7 × 97 3 no baja el nivel mod 7 a una curva elíptica del conductor 97. Más bien, la representación mod p Galois es isomórfica a la representación mod p Galois de una nueva forma irracional g de nivel 97 .
Sin embargo, para p lo suficientemente grande en comparación con el nivel N de la nueva forma de nivel reducido, una nueva forma racional (por ejemplo, una curva elíptica) debe bajar de nivel a otra nueva forma racional (por ejemplo, una curva elíptica). En particular para p ≫ N N 1+ ε , la representación mod p Galois de una nueva forma racional no puede ser isomorfa a una nueva forma irracional de nivel N . [2]
De manera similar, la conjetura de Frey- Mazur predice que para p suficientemente grande (independiente del conductor N ), las curvas elípticas con representaciones isomórficas mod p Galois son de hecho isógenas y, por lo tanto, tienen el mismo conductor. Por lo tanto, no se predice que ocurra una reducción de nivel no trivial entre nuevas formas racionales para p grande ( p > 17) .
En su tesis, Yves Hellegouarch originó la idea de asociar soluciones ( a , b , c ) de la ecuación de Fermat con un objeto matemático diferente: una curva elíptica. [3] Si p es un primo impar y a , b y c son números enteros positivos tales que
entonces una curva de Frey correspondiente es una curva algebraica dada por la ecuación
Esta es una curva algebraica no singular de género uno definida sobre , y su terminación proyectiva es una curva elíptica sobre .
En 1982, Gerhard Frey llamó la atención sobre las propiedades inusuales de la misma curva, ahora llamada curva de Frey . [4] Esto proporcionó un puente entre Fermat y Taniyama al mostrar que un contraejemplo de FLT crearía una curva que no sería modular. La conjetura atrajo un interés considerable cuando Frey sugirió que la conjetura de Taniyama-Shimura implica FLT. Sin embargo, su argumento no fue completo. [5] En 1985, Jean-Pierre Serre propuso que una curva de Frey no podía ser modular y proporcionó una prueba parcial. [6] [7] Esto demostró que una prueba del caso semiestable de la conjetura de Taniyama-Shimura implicaría FLT. Serre no proporcionó una prueba completa y la parte faltante se conoció como la conjetura épsilon o conjetura ε. En el verano de 1986, Kenneth Alan Ribet demostró la conjetura épsilon, demostrando así que el teorema de modularidad implicaba FLT. [8]
El origen del nombre proviene de la parte ε de la "conjetura de Taniyama-Shimura + ε ⇒ último teorema de Fermat".
Supongamos que la ecuación de Fermat con exponente p ≥ 5 [8] tuviera una solución en números enteros distintos de cero a , b , c . La correspondiente curva de Frey E a p , b p , c p es una curva elíptica cuyo discriminante mínimo Δ es igual a 2 −8 ( abc ) 2 p y cuyo conductor N es el radical de abc , es decir, el producto de todos los primos distintos que dividen a B C . Una consideración elemental de la ecuación a p + b p = c p , deja claro que uno de a , b , c es par y por tanto también lo es N . Según la conjetura de Taniyama-Shimura, E es una curva elíptica modular. Dado que todos los primos impares que dividen a , b , c en N aparecen a una p -ésima potencia en el discriminante mínimo Δ , según el teorema de Ribet, el módulo de descenso de nivel repetitivo p elimina todos los primos impares del conductor. Sin embargo, no quedan nuevas formas de nivel 2 porque el género de la curva modular X 0 (2) es cero (y las nuevas formas de nivel N son diferenciales en X 0 ( N )) .
