Pared-Sol-Sol principal

En teoría de números , un primo Muro-Sol-Sol o un primo de Fibonacci-Wieferich es un cierto tipo de número primo cuya existencia se conjetura, aunque no se conoce ninguno.

Definición

Sea un número primo. Cuando cada término de la secuencia de números de Fibonacci se reduce módulo , el resultado es una secuencia periódica . La duración (mínima) del período de esta secuencia se llama período Pisano y se denota . Desde entonces , se deduce que p divide . Un primo p tal que p ² divide se llama primo Pared-Sol-Sol . $p$ ${\ Displaystyle F_ {n}}$ $p$ $\pi (p)$ $F_{0}=0$ $F_{\pi (p)}$ $F_{\pi (p)}$

Definiciones equivalentes

Si denota el rango del módulo de aparición (es decir, es el índice positivo más pequeño que divide a ), entonces un primo Pared-Sol-Sol se puede definir de manera equivalente como un primo que divide a . $\alfa (m)$ $m$ $\alfa (m)$ $m$ $F_{\alpha (m)}$ $p$ ${\displaystylep^{2}}$ $F_{\alpha (p)}$

Para un primo p ≠ 2, 5, se sabe que el rango de aparición se divide , donde el símbolo de Legendre tiene los valores $\alpha (p)$ $p-\left({\tfrac {p}{5}}\right)$ $\textstyle \left({\frac {p}{5}}\right)$

\left({\frac {p}{5}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}p\equiv \pm 1{\pmod {5}};\\ -1&{\text{if }}p\equiv \pm 2{\pmod {5}}.\end{casos}}

Esta observación da lugar a una caracterización equivalente de los números primos Pared-Sol-Sol como primos tales que dividen el número de Fibonacci . ^[1] $p$ ${\displaystylep^{2}}$ $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}$

Un primo es un primo Pared-Sol-Sol si y sólo si . $p$ $\pi (p^{2})=\pi (p)$

Un primo es un primo Pared-Sol-Sol si y solo si , donde está el -ésimo número de Lucas . ^[2]^{: 42} $p$ $L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$ $L_{p}$ $p$

McIntosh y Roettger establecen varias caracterizaciones equivalentes de los primos de Lucas-Wieferich . ^[3] En particular, dejemos ; Entonces los siguientes son equivalentes: $\epsilon =\left({\tfrac {p}{5}}\right)$

$F_{p-\epsilon }\equiv 0{\pmod {p^{2}}}$
$L_{p-\epsilon }\equiv 2\epsilon {\pmod {p^{4}}}$
$L_{p-\epsilon }\equiv 2\epsilon {\pmod {p^{3}}}$
$F_{p}\equiv \epsilon {\pmod {p^{2}}}$
$L_{p}\equiv 1{\pmod {p^{2}}}$

Existencia

Problema no resuelto en matemáticas :

¿Existen números primos Pared-Sol-Sol? En caso afirmativo, ¿hay un número infinito de ellos?

(más problemas sin resolver en matemáticas)

En un estudio del período Pisano , Donald Dines Wall determinó que no hay números primos Wall-Sol-Sol menores que . En 1960, escribió: ^[4] $k(p)$ $10000$

El problema más desconcertante que hemos encontrado en este estudio tiene que ver con la hipótesis . Hemos realizado una prueba en una computadora digital que muestra que para todos hasta ; sin embargo, no podemos probar que eso sea imposible. La pregunta está estrechamente relacionada con otra, "¿puede un número tener el mismo orden mod y mod ?", para la cual casos raros dan una respuesta afirmativa (por ejemplo, ; ); por lo tanto, uno podría conjeturar que la igualdad puede ser válida para algunos casos excepcionales . $k(p^{2})\neq k(p)$ $k(p^{2})\neq k(p)$ $p$ $10000$ $k(p^{2})=k(p)$ $x$ $p$ ${\displaystylep^{2}}$ $x=3,p=11$ $x=2,p=1093$ $p$

Desde entonces se ha conjeturado que hay infinitos números primos Muro-Sol-Sol. ^[5] No se conocen números primos Muro-Sol-Sol en agosto de 2022 ^[actualizar].

En 2007, Richard J. McIntosh y Eric L. Roettger demostraron que, si existen, deben ser > 2 × 10¹⁴ . ^[3] Dorais y Klyve ampliaron este rango a 9,7 × 10¹⁴ sin encontrar tal primo. ^[6]

En diciembre de 2011, el proyecto PrimeGrid inició otra búsqueda , ^[7] sin embargo, se suspendió en mayo de 2017. ^[8] En noviembre de 2020, PrimeGrid inició otro proyecto que busca los números primos de Wieferich y Wall-Sol-Sun simultáneamente. ^[9] El proyecto finalizó en diciembre de 2022, lo que demuestra definitivamente que cualquier prima Pared-Sol-Sol debe exceder (aproximadamente ). ^[10] $2^{64}$ $18\cdot 10^{18}$

Historia

Los primos Muro-Sol-Sol llevan el nombre de Donald Dines Wall , ^[4]^[11] Zhi Hong Sun y Zhi Wei Sun ; ZH Sun y ZW Sun demostraron en 1992 que si el primer caso del último teorema de Fermat era falso para un determinado primo p , entonces p tendría que ser un primo Pared-Sol-Sol. ^[12] Como resultado, antes de la prueba de Andrew Wiles del último teorema de Fermat, la búsqueda de números primos Pared-Sol-Sol era también la búsqueda de un posible contraejemplo a esta conjetura centenaria .

Generalizaciones

Un primo de Tribonacci-Wieferich _es_un primo p que satisface h ( p ) = h ( p ² ) , donde h es el entero menos positivo que satisface [ Th , Th ₊₁ , _Th +2 ] _≡ [ T ₀ , T ₁ , T ₂ ] (mod m ) y T _n denota el n -ésimo número de tribonacci . No existe ningún primo de Tribonacci-Wieferich por debajo de 10 ¹¹ . ^[13]

Un primo de Pell-Wieferich es un primo p que satisface que p ² divide a P _{p −1} , cuando p es congruente con 1 o 7 (mod 8), o p ² divide a P _{p +1} , cuando p es congruente con 3 o 5 (mod 8) , donde P _n denota el enésimo número de Pell . Por ejemplo, 13, 31 y 1546463 son primos de Pell-Wieferich y ningún otro por debajo de 10 ⁹ (secuencia A238736 en la OEIS ). De hecho, los primos de Pell-Wieferich son primos de 2 paredes-Sol-Sol.

Primos cerca de la pared-Sol-Sol

Un primo p tal que con pequeño | Un | se llama primo cercano a la Pared-Sol-Sol . ^[3] Los primos Cerca de la Pared-Sol-Sol con A = 0 serían primos Pared-Sol-Sol. PrimeGrid registró casos con | Un | ≤ 1000. ^[14] Se conocen una docena de casos donde A = ±1 (secuencia A347565 en la OEIS ). $F_{p-\left({\frac {p}{5}}\right)}\equiv Ap{\pmod {p^{2}}}$

Primos pared-sol-sol con discriminante D

Los primos Pared-Sol-Sol se pueden considerar para el campo con discriminante D. Para los primos Wall-Sol-Sol convencionales, D = 5. En el caso general, un primo p de Lucas-Wieferich asociado con ( P , Q ) es un primo de Wieferich con base Q y un primo Wall-Sol-Sol con discriminante D = P ² – 4 Q . ^[1] En esta definición, el primo p debe ser impar y no dividir a D. $Q_{\sqrt {D}}$

Se conjetura que para cada número natural D , hay infinitos números primos Pared-Sol-Sol con discriminante D.

El caso de corresponde a los k primos -Pared-Sol-Sol , para los cuales los primos Pared-Sol-Sol representan el caso especial k = 1. Los k primos -Pared-Sol-Sol se pueden definir explícitamente como primos p tales que p ² divide el k -número de Fibonacci , donde F _k ( n ) = U _n ( k , −1) es una secuencia de Lucas del primer tipo con discriminante D = k ² + 4 y es el período de Pisano del módulo de k -números de Fibonacci pag . ^[15] Para un primo p ≠ 2 y que no divide D , esta condición es equivalente a cualquiera de las siguientes. $(P,Q)=(k,-1)$ ${\ Displaystyle F_ {k} (\ pi _ {k} (p))}$ $\pi _{k}(p)$

p ² divide , donde está el símbolo de Kronecker ; $F_{k}\left(p-\left({\tfrac {D}{p}}\right)\right)$ $\left({\tfrac {D}{p}}\right)$
V _p ( k , −1) ≡ k (mod p ² ), donde V _n ( k , −1) es una secuencia de Lucas del segundo tipo.

Los primos k -Pared-Sol-Sol más pequeños para k = 2, 3, ... son

13, 241, 2, 3, 191, 5, 2, 3, 2683, ... (secuencia A271782 en el OEIS )

Ver también

Referencias

^ ab A.-S. Elsenhans, J. Jahnel (2010). "La secuencia de Fibonacci módulo p ² - Una investigación por computadora para p <10 ¹⁴ ". arXiv : 1006.0824 [matemáticas.NT].
^ Andrejić, V. (2006). "Sobre los poderes de Fibonacci" (PDF) . Univ. Publ. de Beogrado. Electrotehn. Falso. Ser. Estera . 17 (17): 38–44. doi :10.2298/PETF0617038A. S2CID 41226139.
^ abc McIntosh, RJ; Roettger, EL (2007). "Una búsqueda de los números primos de Fibonacci-Wieferich y Wolstenholme" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 76 (260): 2087–2094. Código Bib : 2007MaCom..76.2087M. doi : 10.1090/S0025-5718-07-01955-2 .
^ ab Wall, DD (1960), "Fibonacci Series Modulo m", American Mathematical Monthly , 67 (6): 525–532, doi :10.2307/2309169, JSTOR 2309169
^ Klaška, Jiří (2007), "Breve comentario sobre los números primos de Fibonacci-Wieferich", Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis , 15 (1): 21-25.
^ Dorais, FG; Klyve, DW (2010). "Cerca de Wieferich se prepara hasta 6,7 × 1015" (PDF) . {{cite journal}}: Citar diario requiere |journal=( ayuda )
^ Proyecto Wall-Sun-Sun Prime Search en PrimeGrid
^ [1] en PrimeGrid
^ Foros de mensajes: Wieferich y Wall-Sun-Sun Prime Search en PrimeGrid
^ Estado del subproyecto en PrimeGrid
^ Crandall, R.; Dilcher, k.; Pomerancia, C. (1997). "Una búsqueda de números primos de Wieferich y Wilson". Matemáticas de la Computación . 66 (217): 447. Código bibliográfico : 1997MaCom..66..433C.
^ Sol, Zhi-Hong; Sun, Zhi-Wei (1992), "Los números de Fibonacci y el último teorema de Fermat" (PDF) , Acta Arithmetica , 60 (4): 371–388, doi : 10.4064/aa-60-4-371-388
^ Klaška, Jiří (2008). "Una búsqueda de números primos de Tribonacci-Wieferich". Acta Mathematica Universitatis Ostraviensis . 16 (1): 15-20.
^ Reginald McLean y PrimeGrid , Estadísticas de WW
^ S. Falcón, A. Plaza (2009). " k -Secuencia de Fibonacci módulo m ". Caos, solitones y fractales . 41 (1): 497–504. Código Bib : 2009CSF....41..497F. doi :10.1016/j.caos.2008.02.014.

Otras lecturas

Crandall, Richard E.; Pomerancia, Carl (2001). Números primos: una perspectiva computacional . Saltador. pag. 29.ISBN _ 0-387-94777-9.
Saha, Arpan; Karthik, CS (2011). "Algunas equivalencias de la conjetura principal Muro-Sol-Sol". arXiv : 1102.1636 [matemáticas.NT].

enlaces externos

Chris Caldwell, The Prime Glossary: Wall-Sol-Sun Prime en Prime Pages .
Weisstein, Eric W. "Muro-Sol-Sol principal". MundoMatemático .
Richard McIntosh, Estado de la búsqueda de números primos Muro-Sol-Sol (octubre de 2003)
Secuencia OEIS A000129 (primos p que dividen sus cocientes de Pell, donde el cociente de Pell de p es A000129(p - (2/p))/p y (2/p) es un símbolo de Jacobi)