Teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados

Condición bajo la cual un número primo impar es suma de dos cuadrados

En teoría de números aditivos , el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados establece que un primo impar p puede expresarse como:

${\displaystyle p=x^{2}+y^{2},}$

con x e y enteros, si y sólo si

${\displaystyle p\equiv 1{\pmod {4}}.}$

Los números primos para los cuales esto es cierto se llaman primos pitagóricos . Por ejemplo, los primos 5, 13, 17, 29, 37 y 41 son todos congruentes con 1 módulo 4 y se pueden expresar como sumas de dos cuadrados de las siguientes maneras:

${\displaystyle 5=1^{2}+2^{2},\quad 13=2^{2}+3^{2},\quad 17=1^{2}+4^{2},\quad 29=2^{2}+5^{2},\quad 37=1^{2}+6^{2},\quad 41=4^{2}+5^{2}.}$

Por otro lado, los primos 3, 7, 11, 19, 23 y 31 son todos congruentes con 3 módulo 4 y ninguno de ellos puede expresarse como la suma de dos cuadrados. Esta es la parte más fácil del teorema y se deriva inmediatamente de la observación de que todos los cuadrados son congruentes con 0 o 1 módulo 4.

Dado que la identidad de Diofanto implica que el producto de dos números enteros, cada uno de los cuales puede escribirse como la suma de dos cuadrados, es a su vez expresable como la suma de dos cuadrados, aplicando el teorema de Fermat a la factorización prima de cualquier entero positivo n , vemos que Si todos los factores primos de n congruentes con 3 módulo 4 tienen un exponente par, entonces n es expresable como una suma de dos cuadrados. Lo contrario también se cumple. ^[1] Esta generalización del teorema de Fermat se conoce como teorema de la suma de dos cuadrados .

Historia

Albert Girard fue el primero en hacer la observación, caracterizando los números enteros positivos (no necesariamente primos) que se pueden expresar como la suma de dos cuadrados de números enteros positivos; esto se publicó en 1625. ^{[2] [3]} La afirmación de que todo primo p de la forma 4n+1 es la suma de dos cuadrados a veces se denomina teorema de Girard . ^[4] Por su parte, Fermat escribió una versión elaborada de la afirmación (en la que también dio el número de posibles expresiones de las potencias de p como suma de dos cuadrados) en una carta a Marin Mersenne fechada el 25 de diciembre de 1640: por esta razón, esta versión del teorema a veces se denomina teorema de Navidad de Fermat.

primos gaussianos

El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados está fuertemente relacionado con la teoría de los primos gaussianos .

Un entero gaussiano es un número complejo tal que a y b son números enteros. La norma de un entero gaussiano es un número entero igual al cuadrado del valor absoluto del entero gaussiano. La norma de un producto de enteros gaussianos es el producto de sus normas. Ésta es la identidad de Diofanto , que resulta inmediatamente de la propiedad similar del valor absoluto. ${\displaystyle a+ib}$ ${\displaystyle N(a+ib)=a^{2}+b^{2}}$

Los enteros gaussianos forman un dominio ideal principal . Esto implica que los números primos gaussianos se pueden definir de manera similar como números primos, es decir, como aquellos enteros gaussianos que no son el producto de dos no unidades (aquí las unidades son 1, −1, i y −i ).

La propiedad multiplicativa de la norma implica que un número primo p es un primo gaussiano o la norma de un primo gaussiano. El teorema de Fermat afirma que el primer caso ocurre cuando y que el segundo caso ocurre cuando y El último caso no se considera en el enunciado de Fermat, pero es trivial, ya que ${\displaystyle p=4k+3,}$ ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle p=2.}$ ${\displaystyle 2=1^{2}+1^{2}=N(1+i).}$

Resultados relacionados

El punto de vista anterior sobre el teorema de Fermat es un caso especial de la teoría de la factorización de ideales en anillos de números enteros cuadráticos . En resumen, si es el anillo de los enteros algebraicos en el campo cuadrático , entonces un número primo impar p , que no divide a d , es un elemento primo o la norma ideal de un ideal del cual es necesariamente primo. Además, la ley de reciprocidad cuadrática permite distinguir los dos casos en términos de congruencias. Si es un dominio ideal principal , entonces p es una norma ideal si y sólo ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}},}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {d}}}$

${\displaystyle 4p=a^{2}-db^{2},}$

siendo a y b ambos números enteros.

En una carta a Blaise Pascal fechada el 25 de septiembre de 1654, Fermat anunció los dos resultados siguientes que son esencialmente los casos especiales y Si p es un primo impar, entonces ${\displaystyle d=-2}$ ${\displaystyle d=-3.}$

${\displaystyle p=x^{2}+2y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ or }}p\equiv 3{\pmod {8}},}$

${\displaystyle p=x^{2}+3y^{2}\iff p\equiv 1{\pmod {3}}.}$

Fermat escribió también:

Si se multiplican dos primos que terminan en 3 o 7 y superan en 3 a un múltiplo de 4, entonces su producto estará compuesto por un cuadrado y el quíntuplo de otro cuadrado.

En otras palabras, si p, q son de la forma 20 k + 3 o 20 k + 7 , entonces pq = x ² + 5 y ² . Más tarde, Euler amplió esto a la conjetura de que

${\displaystyle p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 1{\mbox{ or }}p\equiv 9{\pmod {20}},}$

${\displaystyle 2p=x^{2}+5y^{2}\iff p\equiv 3{\mbox{ or }}p\equiv 7{\pmod {20}}.}$

Tanto la afirmación de Fermat como la conjetura de Euler fueron establecidas por Joseph-Louis Lagrange . Esta formulación más complicada se basa en el hecho de que no es un dominio ideal principal, a diferencia de y ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-5}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-2}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\sqrt {-3}}.}$

Algoritmo

Existe un algoritmo trivial para descomponer un número primo de la forma en una suma de dos cuadrados: para todos los n tales , pruebe si la raíz cuadrada de es un número entero. Si este es el caso, tenemos la descomposición. ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle 1\leq n<{\sqrt {p}}}$ ${\displaystyle p-n^{2}}$

Sin embargo, el tamaño de entrada del algoritmo es el número de dígitos de p (hasta un factor constante que depende de la base numérica ). El número de pruebas necesarias es del orden de y, por tanto, exponencial en el tamaño de entrada. Entonces la complejidad computacional de este algoritmo es exponencial . ${\displaystyle \log p,}$ ${\displaystyle {\sqrt {p}}=\exp \left({\frac {\log p}{2}}\right),}$

Stan Wagon describió un algoritmo con complejidad polinómica en 1990, basado en el trabajo de Serret y Hermite (1848) y Cornacchia (1908). ^[5]

Descripción

Dado un primo impar en la forma , primero encuentre tal que . Esto se puede hacer encontrando un módulo cuadrático sin residuos , digamos , y dejando . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 4k+1}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}\equiv -1{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle x=q^{\frac {p-1}{4}}{\pmod {p}}}$

Tal cumplirá la condición ya que los no residuos cuadráticos satisfacen . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle q^{\frac {p-1}{2}}\equiv -1{\pmod {p}}}$

Una vez determinado, se puede aplicar el algoritmo euclidiano con y . Denota los dos primeros restos que son menores que la raíz cuadrada de as y . Entonces será el caso que . ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=p}$

Ejemplo

Llevar . Un posible no residuo cuadrático para 97 es 13, ya que . así que lo dejamos . El algoritmo euclidiano aplicado a 97 y 22 produce: ${\displaystyle p=97}$ ${\displaystyle 13^{\frac {97-1}{2}}\equiv -1{\pmod {97}}}$ ${\displaystyle x=13^{\frac {97-1}{4}}=22{\pmod {97}}}$

$${\displaystyle 97=22(4)+9,}$$

$${\displaystyle 22=9(2)+4,}$$

$${\displaystyle 9=4(2)+1,}$$

$${\displaystyle 4=1(4).}$$

${\displaystyle 97=9^{2}+4^{2}}$

Pruebas

Fermat generalmente no escribía pruebas de sus afirmaciones y no proporcionó pruebas de esta afirmación. La primera prueba fue encontrada por Euler después de mucho esfuerzo y se basa en el descenso infinito . Lo anunció en dos cartas a Goldbach , el 6 de mayo de 1747 y el 12 de abril de 1749; publicó la prueba detallada en dos artículos (entre 1752 y 1755). ^{[6] [7]} Lagrange dio una prueba en 1775 que se basó en su estudio de las formas cuadráticas . Esta prueba fue simplificada por Gauss en sus Disquisitiones Arithmeticae (art. 182). Dedekind dio al menos dos pruebas basadas en la aritmética de los enteros gaussianos . Existe una demostración elegante que utiliza el teorema de Minkowski sobre conjuntos convexos. Simplificando una prueba corta anterior debida a Heath-Brown (quien se inspiró en la idea de Liouville ), Zagier presentó una prueba no constructiva de una oración en 1990. ^[8] Y más recientemente Christopher dio una prueba teórica de partición . ^[9]

La prueba de Euler por descenso infinito

Euler logró demostrar el teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados en 1749, cuando tenía cuarenta y dos años. Se lo comunicó en una carta a Goldbach fechada el 12 de abril de 1749. ^[10] La prueba se basa en la descendencia infinita , y sólo se esboza brevemente en la carta. La prueba completa consta de cinco pasos y se publica en dos artículos. Los primeros cuatro pasos son las Proposiciones 1 a 4 del primer artículo ^[11] y no corresponden exactamente a los cuatro pasos siguientes. El quinto paso a continuación es del segundo artículo. ^{[12] [13]}

Para evitar ambigüedades, cero siempre será un posible constituyente válido de "sumas de dos cuadrados", por lo que, por ejemplo, cada cuadrado de un número entero es trivialmente expresable como la suma de dos cuadrados estableciendo uno de ellos en cero.

1. El producto de dos números, cada uno de los cuales es suma de dos cuadrados, es en sí mismo una suma de dos cuadrados.

Esta es una propiedad bien conocida, basada en la identidad.

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

debido a Diofanto .

2. Si un número que es suma de dos cuadrados es divisible por un primo que es suma de dos cuadrados, entonces el cociente es suma de dos cuadrados. (Ésta es la primera proposición de Euler).

En efecto, supongamos por ejemplo que es divisible por y que este último es primo. Luego divide ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$

${\displaystyle (pb-aq)(pb+aq)=p^{2}b^{2}-a^{2}q^{2}=p^{2}(a^{2}+b^{2})-a^{2}(p^{2}+q^{2}).}$

Como es primo, divide a uno de los dos factores. Supongamos que se divide . Desde ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle pb-aq}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(p^{2}+q^{2})=(ap+bq)^{2}+(aq-bp)^{2}}$

(Identidad de Diofanto) se deduce que debe dividirse . Entonces la ecuación se puede dividir por el cuadrado de . Dividiendo la expresión por se obtiene: ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle (ap+bq)^{2}}$ ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle (p^{2}+q^{2})^{2}}$

${\displaystyle {\frac {a^{2}+b^{2}}{p^{2}+q^{2}}}=\left({\frac {ap+bq}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}+\left({\frac {aq-bp}{p^{2}+q^{2}}}\right)^{2}}$

y por tanto expresa el cociente como suma de dos cuadrados, como se afirma.

Por otro lado, si divide , se sostiene un argumento similar utilizando la siguiente variante de la identidad de Diofanto: ${\displaystyle p^{2}+q^{2}}$ ${\displaystyle pb+aq}$

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(q^{2}+p^{2})=(aq+bp)^{2}+(ap-bq)^{2}.}$

3. Si un número que puede escribirse como suma de dos cuadrados es divisible por un número que no es suma de dos cuadrados, entonces el cociente tiene un factor que no es suma de dos cuadrados. (Ésta es la segunda proposición de Euler).

Supongamos que es un número no expresable como suma de dos cuadrados, que divide . Escribe el cociente, factorizado en sus factores primos (posiblemente repetidos), de modo que . Si todos los factores se pueden escribir como sumas de dos cuadrados, entonces podemos dividir sucesivamente entre , , etc., y aplicando el paso (2) anterior deducimos que cada cociente sucesivo y más pequeño es una suma de dos cuadrados. Si llegamos hasta allí, entonces sí mismo tendría que ser igual a la suma de dos cuadrados, lo cual es una contradicción. Entonces al menos uno de los números primos no es la suma de dos cuadrados. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}=qp_{1}p_{2}\cdots p_{n}}$ ${\displaystyle p_{i}}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle p_{1}}$ ${\displaystyle p_{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle p_{i}}$

4. Si y son números enteros positivos relativamente primos, entonces cada factor de es una suma de dos cuadrados. ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$(Este es el paso que utiliza el paso (3.) para producir un 'descenso infinito' y fue la Proposición 4 de Euler. La prueba esbozada a continuación también incluye la prueba de su Proposición 3).

Sean números enteros positivos relativamente primos: sin pérdida de generalidad no es en sí mismo primo, de lo contrario no hay nada que demostrar. Sea por tanto un factor propio de , no necesariamente primo: queremos demostrar que es suma de dos cuadrados. Una vez más, no perdemos nada con asumir, ya que el caso es obvio. ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q>2}$ ${\displaystyle q=2=1^{2}+1^{2}}$

Sean números enteros no negativos tales que sean los múltiplos más cercanos de (en valor absoluto) respectivamente . Observe que las diferencias y son números enteros de valor absoluto estrictamente menores que : de hecho, cuando es par, mcd ; de lo contrario, desde gcd , también tendríamos gcd . ${\displaystyle m,n}$ ${\displaystyle mq,nq}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle c=a-mq}$ ${\displaystyle d=b-nq}$ ${\displaystyle q/2}$ ${\displaystyle q>2}$ ${\displaystyle (a,q/2)=1}$ ${\displaystyle (a,q/2)\mid q/2\mid q\mid a^{2}+b^{2}}$ ${\displaystyle (a,q/2)\mid b}$

Multiplicando obtenemos

${\displaystyle a^{2}+b^{2}=m^{2}q^{2}+2mqc+c^{2}+n^{2}q^{2}+2nqd+d^{2}=Aq+(c^{2}+d^{2})}$

definiendo de forma única un número entero no negativo . Dado que divide ambos extremos de esta secuencia de ecuaciones, se deduce que también debe ser divisible por : digamos . Sea el mcd de y que por la co-primo de es primo relativo con . Así se divide , entonces escribiendo , y , obtenemos la expresión para primos relativos y , y con , ya que ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c^{2}+d^{2}}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle c^{2}+d^{2}=qr}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle g^{2}}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle e=c/g}$ ${\displaystyle f=d/g}$ ${\displaystyle s=r/g^{2}}$ ${\displaystyle e^{2}+f^{2}=qs}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle s<q/2}$

${\displaystyle qs=e^{2}+f^{2}\leq c^{2}+d^{2}<\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}+\left({\frac {q}{2}}\right)^{2}=q^{2}/2.}$

Ahora, finalmente, el paso de descenso : si no es la suma de dos cuadrados, entonces en el paso (3) debe haber un factor que no sea la suma de dos cuadrados. Pero y repitiendo así estos pasos (inicialmente con en lugar de , y así ad infinitum ) podremos encontrar una secuencia infinita estrictamente decreciente de números enteros positivos que no son en sí mismos sumas de dos cuadrados pero que se dividen en una suma de dos cuadrados relativamente primos. Dado que tal descenso infinito es imposible, concluimos que debe poder expresarse como una suma de dos cuadrados, como se afirma. ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle q_{1}}$ ${\displaystyle s}$ ${\displaystyle q_{1}\leq s<q/2<q}$ ${\displaystyle e,f;q_{1}}$ ${\displaystyle a,b;q}$ ${\displaystyle q,q_{1},q_{2},\ldots }$ ${\displaystyle q}$

5. Todo primo de la forma es suma de dos cuadrados. ${\displaystyle 4n+1}$(Este es el resultado principal del segundo artículo de Euler).

Si , entonces según el pequeño teorema de Fermat cada uno de los números es congruente con un módulo . Por lo tanto, todas las diferencias son divisibles por . Cada una de estas diferencias se puede factorizar como ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle 1,2^{4n},3^{4n},\dots ,(4n)^{4n}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2^{4n}-1,3^{4n}-2^{4n},\dots ,(4n)^{4n}-(4n-1)^{4n}}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle a^{4n}-b^{4n}=\left(a^{2n}+b^{2n}\right)\left(a^{2n}-b^{2n}\right).}$

Como es primo, debe dividir a uno de los dos factores. Si en alguno de los casos divide al primer factor, entonces por el paso anterior concluimos que es en sí mismo una suma de dos cuadrados (dado que y difieren en , son primos relativos). Por tanto, basta con demostrar que no siempre se puede dividir el segundo factor. Si divide todas las diferencias , entonces dividiría todas las diferencias de términos sucesivos, todas las diferencias de las diferencias, etc. Dado que las enésimas diferencias de la secuencia son todas iguales a ( diferencia finita ), todas las enésimas diferencias serían constantes e iguales a , que ciertamente no es divisible por . Por lo tanto, no se pueden dividir todos los segundos factores, lo que demuestra que efectivamente es la suma de dos cuadrados. ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 4n-1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle b}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 4n-1}$ ${\displaystyle 2^{2n}-1,3^{2n}-2^{2n},\dots ,(4n)^{2n}-(4n-1)^{2n}}$ ${\displaystyle 4n-2}$ ${\displaystyle 4n-3}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle 1^{k},2^{k},3^{k},\dots }$ ${\displaystyle k!}$ ${\displaystyle 2n}$ ${\displaystyle (2n)!}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$

La prueba de Lagrange mediante formas cuadráticas

Lagrange completó una prueba en 1775 ^[14] basada en su teoría general de formas cuadráticas integrales . La siguiente presentación incorpora una ligera simplificación de su argumento, debida a Gauss , que aparece en el artículo 182 de las Disquisitiones Arithmeticae .

Una forma cuadrática (binaria integral) es una expresión de la forma con números enteros. Se dice que un número está representado por la forma si existen números enteros tales que . El teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados es entonces equivalente a la afirmación de que un número primo se representa mediante la forma (es decir, , ) exactamente cuando es congruente con módulo . ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle a,b,c}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle n=ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle a=c=1}$ ${\displaystyle b=0}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$

El discriminante de la forma cuadrática se define como . El discriminante de es entonces igual a . ${\displaystyle b^{2}-4ac}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle -4}$

Dos formas y son equivalentes si y sólo si existen sustituciones con coeficientes enteros ${\displaystyle ax^{2}+bxy+cy^{2}}$ ${\displaystyle a'x'^{2}+b'x'y'+c'y'^{2}}$

${\displaystyle x=\alpha x'+\beta y'}$

${\displaystyle y=\gamma x'+\delta y'}$

con tal que, cuando se sustituye en la primera forma, produce la segunda. Se ve fácilmente que las formas equivalentes tienen el mismo discriminante y, por tanto, también la misma paridad para el coeficiente medio , que coincide con la paridad del discriminante. Además, está claro que las formas equivalentes representarán exactamente los mismos números enteros, porque este tipo de sustituciones pueden revertirse mediante sustituciones del mismo tipo. ${\displaystyle \alpha \delta -\beta \gamma =\pm 1}$ ${\displaystyle b}$

Lagrange demostró que todas las formas positivas definidas del discriminante −4 son equivalentes. Por tanto, para demostrar el teorema de Fermat basta encontrar cualquier forma definida positiva del discriminante −4 que represente . Por ejemplo, se puede utilizar un formulario ${\displaystyle p}$

${\displaystyle px^{2}+2mxy+\left({\frac {m^{2}+1}{p}}\right)y^{2},}$

donde el primer coeficiente a  =  se eligió de manera que la forma representa estableciendo x  = 1 e y  = 0, el coeficiente b  = 2 m es un número par arbitrario (como debe ser, para obtener un discriminante par), y finalmente se elige de modo que el discriminante sea igual a −4, lo que garantiza que la forma sea efectivamente equivalente a . Por supuesto, el coeficiente debe ser un número entero, por lo que el problema se reduce a encontrar algún número entero m tal que divida : o en otras palabras, una 'raíz cuadrada de -1 módulo ' . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$ ${\displaystyle b^{2}-4ac=4m^{2}-4pc}$ ${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle c={\frac {m^{2}+1}{p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle p}$

Afirmamos que tal raíz cuadrada de está dada por . En primer lugar, del teorema fundamental de la aritmética de Euclides se deduce que . En consecuencia, : es decir, son sus propios módulos inversos y esta propiedad es exclusiva de ellos. Luego, de la validez de la división euclidiana de los números enteros, y del hecho de que es primo, se deduce que para cada uno, el mcd de y puede expresarse mediante el algoritmo euclidiano , lo que produce un inverso único y distinto de módulo . En particular, por lo tanto, el producto del módulo de todos los residuos distintos de cero es . Dejemos : de lo que se acaba de observar, . Pero por definición, dado que cada término in puede estar emparejado con su negativo in , que, dado que es impar, muestra que , según sea necesario. ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle K=\prod _{k=1}^{\frac {p-1}{2}}k}$ ${\displaystyle ab\equiv 0{\pmod {p}}\iff a\equiv 0{\pmod {p}}\ \ {\hbox{or}}\ \ b\equiv 0{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle a^{2}\equiv 1{\pmod {p}}\iff a\equiv \pm 1{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 2\leq a\leq p-2}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle a^{-1}\neq a}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle L=\prod _{l={\frac {p+1}{2}}}^{p-1}l}$ ${\displaystyle KL\equiv -1{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle K}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle L=(-1)^{\frac {p-1}{2}}K}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle K^{2}\equiv -1{\pmod {p}}\iff p\equiv 1{\pmod {4}}}$

Las dos pruebas de Dedekind utilizando enteros gaussianos

Richard Dedekind dio al menos dos pruebas del teorema de Fermat sobre sumas de dos cuadrados, ambas usando las propiedades aritméticas de los enteros gaussianos , que son números de la forma a  +  bi , donde a y b son números enteros, e i es la raíz cuadrada de −1. Uno aparece en la sección 27 de su exposición de ideales publicada en 1877; el segundo apareció en el Suplemento XI de Vorlesungen über Zahlentheorie de Peter Gustav Lejeune Dirichlet y se publicó en 1894.

1. Primera prueba. Si es un número primo impar , entonces tenemos números enteros gaussianos. En consecuencia, escribiendo un entero gaussiano ω =  x  +  iy con x,y  ∈  Z y aplicando el automorfismo de Frobenius en Z [ i ]/( p ), se encuentra ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle i^{p-1}=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}$

${\displaystyle \omega ^{p}=(x+yi)^{p}\equiv x^{p}+y^{p}i^{p}\equiv x+(-1)^{\frac {p-1}{2}}yi{\pmod {p}},}$

ya que el automorfismo fija los elementos de Z /( p ). En el caso actual, para algún número entero n, y así en la expresión anterior para ω ^p , el exponente (p-1)/2 de -1 es par. Por lo tanto, el lado derecho es igual a ω, por lo que en este caso el endomorfismo de Frobenius de Z [ i ]/( p ) es la identidad. ${\displaystyle p=4n+1}$

Kummer ya había establecido que si f ∈ {1,2 } es el orden del automorfismo de Frobenius de Z [ i ]/( p ), entonces el ideal en Z [ i ] sería un producto de 2/ f ideales primos distintos . (De hecho, Kummer había establecido un resultado mucho más general para cualquier extensión de Z obtenida al unir una raíz m -ésima primitiva de la unidad , donde m era cualquier entero positivo; este es el caso m = 4 de ese resultado.) Por lo tanto, el ideal ( p ) es el producto de dos ideales primos diferentes en Z [ i ]. Dado que los enteros gaussianos son un dominio euclidiano para la función de norma , todo ideal es principal y está generado por un elemento distinto de cero del ideal de norma mínima. Dado que la norma es multiplicativa, la norma de un generador de uno de los factores ideales de ( p ) debe ser un divisor estricto de , por lo que debemos tener , lo que da el teorema de Fermat. ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle N(x+iy)=x^{2}+y^{2}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle N(p)=p^{2}}$ ${\displaystyle p=N(\alpha )=N(a+bi)=a^{2}+b^{2}}$

2. Segunda prueba. Esta prueba se basa en el resultado de Lagrange de que si es un número primo, entonces debe haber un número entero m tal que sea divisible por p (también podemos ver esto mediante el criterio de Euler ); también utiliza el hecho de que los enteros gaussianos son un dominio de factorización único (porque son un dominio euclidiano). Dado que p ∈ Z no divide a ninguno de los enteros gaussianos y (como no divide sus partes imaginarias ), pero sí divide su producto , se deduce que no puede ser un elemento primo en los enteros gaussianos. Por lo tanto, debemos tener una factorización no trivial de p en los enteros gaussianos, que en vista de la norma sólo puede tener dos factores (dado que la norma es multiplicativa y , sólo puede haber hasta dos factores de p), por lo que debe ser de la forma para algunos números enteros y . Esto inmediatamente produce eso . ${\displaystyle p=4n+1}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle m+i}$ ${\displaystyle m-i}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p^{2}=N(p)}$ ${\displaystyle p=(x+yi)(x-yi)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle p=x^{2}+y^{2}}$

Prueba por el teorema de Minkowski

Para que sea congruente modificar un número primo, es un residuo cuadrático mod según el criterio de Euler . Por tanto, existe un número entero tal que divide . Sean los elementos base estándar para el espacio vectorial y establezcan y . Considere la celosía . Si entonces . Así se divide por cualquier . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle 4}$ ${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle m^{2}+1}$ ${\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {u}}={\hat {i}}+m{\hat {j}}}$ ${\displaystyle {\vec {v}}=0{\hat {i}}+p{\hat {j}}}$ ${\displaystyle S=\{a{\vec {u}}+b{\vec {v}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}=a{\vec {u}}+b{\vec {v}}=a{\hat {i}}+(am+bp){\hat {j}}\in S}$ ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}\equiv a^{2}+(am+bp)^{2}\equiv a^{2}(1+m^{2})\equiv 0{\pmod {p}}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$

El área del paralelogramo fundamental de la red es . El área del disco abierto, de radio centrado alrededor del origen es . Además, es convexo y simétrico con respecto al origen. Por lo tanto, según el teorema de Minkowski existe un vector distinto de cero tal que . Ambos y así . De ahí es la suma de los cuadrados de los componentes de . ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\sqrt {2p}}}$ ${\displaystyle 2\pi p>4p}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\in S}$ ${\displaystyle {\vec {w}}\in D}$ ${\displaystyle \|{\vec {w}}\|^{2}<2p}$ ${\displaystyle p\mid \|{\vec {w}}\|^{2}}$ ${\displaystyle p=\|{\vec {w}}\|^{2}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle {\vec {w}}}$

La "prueba de una frase" de Zagier

Sean primos, denotemos los números naturales (con o sin cero) y consideremos el conjunto finito de triples de números. Tiene entonces dos involuciones : una obvia cuyos puntos fijos corresponden a representaciones de como suma de dos cuadrados, y otra más complicada, ${\displaystyle p=4k+1}$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle S=\{(x,y,z)\in \mathbb {N} ^{3}:x^{2}+4yz=p\}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (x,z,y)}$ ${\displaystyle (x,y,y)}$ ${\displaystyle p}$

${\displaystyle (x,y,z)\mapsto {\begin{cases}(x+2z,~z,~y-x-z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x<y-z\\(2y-x,~y,~x-y+z),\quad {\textrm {if}}\,\,\,y-z<x<2y\\(x-2y,~x-y+z,~y),\quad {\textrm {if}}\,\,\,x>2y\end{cases}}}$

que tiene exactamente un punto fijo . Esto prueba que la cardinalidad de es impar. De ahí que también tenga un punto fijo con respecto a la involución evidente. ${\displaystyle (1,1,k)}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle S}$

Esta prueba, debida a Zagier , es una simplificación de una prueba anterior de Heath-Brown , que a su vez se inspiró en una prueba de Liouville . La técnica de la prueba es un análogo combinatorio del principio topológico de que las características de Euler de un espacio topológico con una involución y de su conjunto de puntos fijos tienen la misma paridad y recuerda el uso de involuciones con inversión de signos en las pruebas de biyecciones combinatorias.

Esta prueba es equivalente a una prueba geométrica o "visual" que utiliza figuras de "molino de viento", proporcionada por Alexander Spivak en 2006 y descrita en esta publicación de MathOverflow y este video de Mathologer en YouTube. ¿Por qué se perdió esta prueba visual durante 400 años? (Teorema de los dos cuadrados de Fermat) en YouTube .

Prueba con teoría de la partición.

En 2016, A. David Christopher dio una prueba de la teoría de la partición al considerar que las particiones del número primo impar tienen exactamente dos tamaños , cada una de las cuales ocurre exactamente veces, y al demostrar que existe al menos una de esas particiones si es congruente con 1 módulo 4. ^{[15 ]} ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle a_{i}(i=1,2)}$ ${\displaystyle a_{i}}$ ${\displaystyle n}$

Ver también

• Teorema de los tres cuadrados de Legendre
• Teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange
• Constante de Landau-Ramanujan
• El lema de Thue
• Teorema de Friedlander-Iwaniec

Referencias

• DA Cox (1989). Primos de la forma x ²  + ny ² . Wiley-Interscience. ISBN 0-471-50654-0.*Richard Dedekind, La teoría de los números enteros algebraicos .
• LE Dickson . Historia de la teoría de los números vol. 2. Chelsea Publishing Co., Nueva York 1920
• Harold M. Edwards , último teorema de Fermat. Una introducción genética a la teoría algebraica de números . Textos de Posgrado en Matemáticas núm. 50, Springer-Verlag, Nueva York, 1977.
• CF Gauss, Disquisitiones Arithmeticae (Edición en inglés). Traducción por Arthur A. Clarke. Springer-Verlag, 1986.
• Goldman, Jay R. (1998), La reina de las matemáticas: una guía históricamente motivada para la teoría de números , AK Peters , ISBN 1-56881-006-7
• DR Heath-Brown, teorema de los dos cuadrados de Fermat . Invariante, 11 (1984) págs. 3–5.
• John Stillwell , Introducción a la teoría de los enteros algebraicos de Richard Dedekind. Biblioteca de Matemáticas de Cambridge, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-56518-9 
• Don Zagier , Una prueba de una oración de que todo primo p ≡ 1 mod 4 es una suma de dos cuadrados . América. Matemáticas. Mensual 97 (1990), núm. 2, 144, doi :10.2307/2323918

Notas

1. Para una prueba de lo contrario, consulte, por ejemplo, 20.1, Teoremas 367 y 368, en: GH Hardy y EM Wright. Una introducción a la teoría de números, Oxford 1938.
2. Simón Stevin . l'Arithmétique de Simon Stevin de Bruges, anotado por Albert Girard, Leyde 1625, p. 622.
3. LE Dickson, Historia de la teoría de números, vol. II, cap. VIP. 227. "A. Girard... ya había hecho una determinación de los números expresables como suma de dos cuadrados enteros: todo cuadrado, todo primo 4n+1, producto formado por tales números, y el doble de los anteriores"
4. LE Dickson, Historia de la teoría de números, vol. II, cap. VIP. 228.
5. Wagon, Stan (1990), "Rincón del editor: el algoritmo euclidiano ataca de nuevo", American Mathematical Monthly , 97 (2): 125, doi :10.2307/2323912, MR  1041889.
6. De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40)
7. Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n + 1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13)
8. Zagier, D. (1990), "Una prueba de una oración de que todo primo p  ≡ 1 (mod 4) es una suma de dos cuadrados", American Mathematical Monthly , 97 (2): 144, doi :10.2307/2323918, Señor  1041893.
9. A. David Cristóbal. "Una prueba teórica de partición del teorema de los dos cuadrados de Fermat", Matemáticas discretas 339 :4:1410–1411 (6 de abril de 2016) doi :10.1016/j.disc.2015.12.002
10. Euler à Goldbach, letra CXXV
11. De numeris qui sunt aggregata duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 4 (1752/3), 1758, 3-40) [1]
12. Demonstratio theorematis FERMATIANI omnem numerum primum formae 4n + 1 esse summam duorum quadratorum. (Novi commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 5 (1754/5), 1760, 3-13) [2]
13. El resumen se basa en el libro de Edwards, páginas 45-48.
14. Nuevo. Mém. Acad. Berlín, año 1771, 125; ibídem. año 1773, 275; ibid año 1775, 351.
15. A. David Christopher, Una prueba teórica de partición del teorema de los dos cuadrados de Fermat ", Matemáticas discretas, 339 (2016) 1410-1411.

enlaces externos

• Dos pruebas más en PlanetMath.org
• "Una prueba del teorema en una frase". Archivado desde el original el 5 de febrero de 2012.{{cite web}}: CS1 maint: unfit URL (link)
• Teorema de los dos cuadrados de Fermat, DR Heath-Brown, 1984.
• Polster, Burkard (2019) "Teorema de Navidad de Fermat: Visualización del círculo oculto en π/4 = 1 − 1/3 + 1/5 − 1/7 + ..." (Vídeo). Matólogo .