Una prueba matemática es un argumento deductivo de un enunciado matemático , que muestra que los supuestos establecidos garantizan lógicamente la conclusión. El argumento puede utilizar otros enunciados previamente establecidos, como teoremas ; pero cada prueba puede, en principio, construirse utilizando sólo ciertos supuestos básicos u originales conocidos como axiomas , [2] [3] [4] junto con las reglas de inferencia aceptadas . Las pruebas son ejemplos de razonamiento deductivo exhaustivo que establece certeza lógica, que deben distinguirse de los argumentos empíricos o del razonamiento inductivo no exhaustivo que establecen "expectativas razonables". Presentar muchos casos en los que el enunciado se cumple no es suficiente para una prueba, que debe demostrar que el enunciado es verdadero en todos los casos posibles. Una proposición que no ha sido probada pero que se cree que es verdadera se conoce como conjetura o hipótesis si se utiliza con frecuencia como suposición para trabajos matemáticos posteriores.
Las pruebas emplean lógica expresada en símbolos matemáticos, junto con un lenguaje natural que suele admitir cierta ambigüedad. En la mayor parte de la literatura matemática, las pruebas se escriben en términos de lógica informal rigurosa . En la teoría de la prueba se consideran pruebas puramente formales , escritas íntegramente en lenguaje simbólico sin la participación del lenguaje natural . La distinción entre pruebas formales e informales ha llevado a un gran examen de la práctica matemática actual e histórica , el cuasiempirismo en matemáticas y las llamadas matemáticas populares , las tradiciones orales en la comunidad matemática dominante o en otras culturas. La filosofía de las matemáticas se ocupa del papel del lenguaje y la lógica en las pruebas, y de las matemáticas como lenguaje .
La palabra "prueba" proviene del latín probare (probar). Las palabras modernas relacionadas son "probe", "probation" y "probability" en inglés, probar en español (oler o saborear, o a veces tocar o probar), [5] provare en italiano (probar) y probieren en alemán (probar). . El término legal "probidad" significa autoridad o credibilidad, el poder del testimonio para probar hechos cuando lo dan personas de reputación o estatus. [6]
Los argumentos de plausibilidad que utilizaban recursos heurísticos como imágenes y analogías precedieron a la prueba matemática estricta. [7] Es probable que la idea de demostrar una conclusión surgiera por primera vez en relación con la geometría , que se originó en problemas prácticos de medición del terreno. [8] El desarrollo de la demostración matemática es principalmente producto de las matemáticas griegas antiguas y uno de sus mayores logros. [9] Tales (624–546 a. C.) e Hipócrates de Quíos (c. 470–410 a. C.) dieron algunas de las primeras demostraciones conocidas de teoremas en geometría. Eudoxo (408–355 a. C.) y Teeteto (417–369 a. C.) formularon teoremas pero no los demostraron. Aristóteles (384-322 a. C.) dijo que las definiciones deberían describir el concepto que se define en términos de otros conceptos ya conocidos.
La demostración matemática fue revolucionada por Euclides (300 a. C.), quien introdujo el método axiomático que todavía se utiliza en la actualidad. Comienza con términos y axiomas indefinidos , proposiciones relativas a términos indefinidos que se suponen evidentemente verdaderos (del griego "axios", algo digno). A partir de esta base, el método demuestra teoremas mediante lógica deductiva . El libro de Euclides, Los Elementos , fue leído por cualquiera que se considerara educado en Occidente hasta mediados del siglo XX. [10] Además de los teoremas de geometría, como el teorema de Pitágoras , los Elementos también cubren la teoría de números , incluida una prueba de que la raíz cuadrada de dos es irracional y una prueba de que hay infinitos números primos .
También se produjeron más avances en las matemáticas islámicas medievales . En el siglo X d.C., el matemático iraquí Al-Hashimi trabajó con números como tales, llamados "líneas" pero no necesariamente considerados medidas de objetos geométricos, para demostrar proposiciones algebraicas relativas a la multiplicación, división, etc., incluida la existencia de números irracionales. . [11] Al-Karaji introdujo una prueba inductiva para secuencias aritméticas en Al-Fakhri (1000) , quien la usó para demostrar el teorema del binomio y las propiedades del triángulo de Pascal .
La teoría de la prueba moderna trata las pruebas como estructuras de datos definidas inductivamente , y no requiere la suposición de que los axiomas sean "verdaderos" en ningún sentido. Esto permite teorías matemáticas paralelas como modelos formales de un concepto intuitivo dado, basadas en conjuntos alternativos de axiomas, por ejemplo, la teoría de conjuntos axiomática y la geometría no euclidiana .
En la práctica, una prueba se expresa en lenguaje natural y es un argumento riguroso destinado a convencer a la audiencia de la verdad de una afirmación. El estándar de rigor no es absoluto y ha variado a lo largo de la historia. Una prueba se puede presentar de forma diferente según el público objetivo. Para lograr aceptación, una prueba debe cumplir con los estándares comunitarios de rigor; un argumento considerado vago o incompleto podrá ser rechazado.
El concepto de prueba se formaliza en el campo de la lógica matemática . [12] Una prueba formal se escribe en un lenguaje formal en lugar de en un lenguaje natural. Una prueba formal es una secuencia de fórmulas en un lenguaje formal, que comienza con una suposición y cada fórmula posterior es una consecuencia lógica de las anteriores. Esta definición hace que el concepto de prueba sea susceptible de estudio. De hecho, el campo de la teoría de la prueba estudia las pruebas formales y sus propiedades, siendo la más famosa y sorprendente que casi todos los sistemas axiomáticos pueden generar ciertas afirmaciones indecidibles que no son demostrables dentro del sistema.
La definición de prueba formal pretende capturar el concepto de prueba tal como está escrito en la práctica de las matemáticas. La solidez de esta definición equivale a la creencia de que una prueba publicada puede, en principio, convertirse en una prueba formal. Sin embargo, fuera del campo de los asistentes de prueba automatizados , esto rara vez se hace en la práctica. Una pregunta clásica en filosofía es si las pruebas matemáticas son analíticas o sintéticas . Kant , quien introdujo la distinción analítico-sintético , creía que las pruebas matemáticas son sintéticas, mientras que Quine argumentó en " Dos dogmas del empirismo " de 1951 que tal distinción es insostenible. [13]
Las pruebas pueden ser admiradas por su belleza matemática . El matemático Paul Erdős era conocido por describir demostraciones que le parecieron particularmente elegantes como provenientes de "El Libro", un tomo hipotético que contiene los métodos más bellos para demostrar cada teorema. El libro Pruebas del LIBRO , publicado en 2003, se dedica a presentar 32 pruebas que sus editores encuentran particularmente agradables.
En la prueba directa, la conclusión se establece combinando lógicamente los axiomas, definiciones y teoremas anteriores. [14] Por ejemplo, la prueba directa se puede utilizar para demostrar que la suma de dos números enteros pares siempre es par:
Esta prueba utiliza la definición de números enteros pares, las propiedades de cierre de los números enteros bajo suma y multiplicación, y la propiedad distributiva .
A pesar de su nombre, la inducción matemática es un método de deducción , no una forma de razonamiento inductivo . En la prueba por inducción matemática, se demuestra un único "caso base" y una "regla de inducción" que establece que cualquier caso arbitrario implica el siguiente caso. Dado que, en principio, la regla de inducción se puede aplicar repetidamente (a partir del caso base probado), se deduce que todos los casos (normalmente un número infinito ) son demostrables. [15] Esto evita tener que probar cada caso individualmente. Una variante de la inducción matemática es la prueba por descenso infinito , que puede utilizarse, por ejemplo, para demostrar la irracionalidad de la raíz cuadrada de dos .
Una aplicación común de la prueba por inducción matemática es demostrar que una propiedad que se sabe que se cumple para un número se cumple para todos los números naturales : [16] Sea N = {1, 2, 3, 4, ... } el conjunto de números naturales. números, y sea P ( n ) un enunciado matemático que involucra el número natural n perteneciente a N tal que
Por ejemplo, podemos demostrar por inducción que todos los números enteros positivos de la forma 2 n − 1 son impares . Sea P ( n ) representar " 2 n − 1 es impar ":
La frase más corta "prueba por inducción" se utiliza a menudo en lugar de "prueba por inducción matemática". [17]
La prueba por contraposición infiere el enunciado "si p entonces q " estableciendo el enunciado contrapositivo lógicamente equivalente : "si no q entonces no p ".
Por ejemplo, se puede utilizar la contraposición para establecer que, dado un número entero , si es par, entonces es par:
En la prueba por contradicción, también conocida con la frase latina reductio ad absurdum (por reducción al absurdo), se demuestra que si algún enunciado se supone verdadero, se produce una contradicción lógica , por lo que el enunciado debe ser falso. Un ejemplo famoso implica la prueba de que es un número irracional :
Parafraseando: si uno pudiera escribir como una fracción , esta fracción nunca podría escribirse en sus términos más bajos, ya que 2 siempre podría factorizarse a partir del numerador y el denominador.
La prueba por construcción, o prueba por ejemplo, es la construcción de un ejemplo concreto con una propiedad para demostrar que existe algo que tiene esa propiedad. Joseph Liouville , por ejemplo, demostró la existencia de números trascendentales construyendo un ejemplo explícito . También se puede utilizar para construir un contraejemplo para refutar una proposición de que todos los elementos tienen una determinada propiedad.
En la prueba por agotamiento, la conclusión se establece dividiéndola en un número finito de casos y probando cada uno por separado. El número de casos a veces puede llegar a ser muy grande. Por ejemplo, la primera demostración del teorema de los cuatro colores fue una prueba por agotamiento con 1.936 casos. Esta prueba fue controvertida porque la mayoría de los casos se comprobaron mediante un programa informático, no manualmente. La prueba más corta conocida del teorema de los cuatro colores en 2011 [actualizar]todavía tiene más de 600 casos. [18]
Una prueba probabilística es aquella en la que se demuestra que existe un ejemplo, con certeza, utilizando métodos de la teoría de la probabilidad . La prueba probabilística, al igual que la prueba por construcción, es una de las muchas formas de probar teoremas de existencia .
En el método probabilístico, se busca un objeto que tenga una propiedad determinada, comenzando con un gran conjunto de candidatos. Se asigna una cierta probabilidad a cada candidato a ser elegido y luego se demuestra que existe una probabilidad distinta de cero de que un candidato elegido tenga la propiedad deseada. Esto no especifica qué candidatos tienen la propiedad, pero la probabilidad no podría ser positiva sin al menos uno.
Una prueba probabilística no debe confundirse con un argumento de que un teorema es "probablemente" verdadero, un "argumento de plausibilidad". El trabajo sobre la conjetura de Collatz muestra cuán lejos está la plausibilidad de la prueba genuina. Si bien la mayoría de los matemáticos no creen que la evidencia probabilística de las propiedades de un objeto determinado cuente como una prueba matemática genuina, algunos matemáticos y filósofos han argumentado que al menos algunos tipos de evidencia probabilística (como el algoritmo probabilístico de Rabin para probar la primalidad ) son tan buenas como pruebas matemáticas genuinas. [19] [20]
Una prueba combinatoria establece la equivalencia de diferentes expresiones al mostrar que cuentan el mismo objeto de diferentes maneras. A menudo se utiliza una biyección entre dos conjuntos para mostrar que las expresiones para sus dos tamaños son iguales. Alternativamente, un argumento de doble conteo proporciona dos expresiones diferentes para el tamaño de un único conjunto, mostrando nuevamente que las dos expresiones son iguales.
Una prueba no constructiva establece que existe un objeto matemático con una determinada propiedad, sin explicar cómo se puede encontrar dicho objeto. A menudo, esto toma la forma de una prueba por contradicción en la que se demuestra que la inexistencia del objeto es imposible. Por el contrario, una prueba constructiva establece que un objeto particular existe proporcionando un método para encontrarlo. El siguiente ejemplo famoso de prueba no constructiva muestra que existen dos números irracionales a y b tales que son un número racional . Esta prueba utiliza que es irracional (se conoce una prueba fácil desde Euclides ), pero no que es irracional (esto es cierto, pero la prueba no es elemental).
La expresión "prueba estadística" puede usarse técnica o coloquialmente en áreas de las matemáticas puras , como las que involucran criptografía , series caóticas y teoría probabilística de números o teoría analítica de números . [21] [22] [23] Se usa con menos frecuencia para referirse a una prueba matemática en la rama de las matemáticas conocida como estadística matemática . Consulte también la sección "Prueba estadística utilizando datos" a continuación.
Hasta el siglo XX se suponía que cualquier prueba podía, en principio, ser comprobada por un matemático competente para confirmar su validez. [7] Sin embargo, las computadoras ahora se utilizan tanto para probar teoremas como para realizar cálculos que son demasiado largos para que cualquier humano o equipo de humanos pueda verificarlos; La primera prueba del teorema de los cuatro colores es un ejemplo de prueba asistida por computadora. A algunos matemáticos les preocupa que la posibilidad de un error en un programa de computadora o un error de ejecución en sus cálculos ponga en duda la validez de tales pruebas asistidas por computadora. En la práctica, las posibilidades de que un error invalide una prueba asistida por computadora se pueden reducir incorporando redundancia y autoverificaciones en los cálculos, y desarrollando múltiples enfoques y programas independientes. Tampoco se pueden descartar por completo los errores en caso de verificación de una prueba por parte de humanos, especialmente si la prueba contiene lenguaje natural y requiere un conocimiento matemático profundo para descubrir las posibles suposiciones y falacias ocultas involucradas.
Una afirmación que no es demostrable ni refutable a partir de un conjunto de axiomas se llama indecidible (a partir de esos axiomas). Un ejemplo es el postulado de las paralelas , que no es demostrable ni refutable a partir de los restantes axiomas de la geometría euclidiana .
Los matemáticos han demostrado que hay muchas afirmaciones que no son demostrables ni refutables en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección (ZFC), el sistema estándar de teoría de conjuntos en matemáticas (suponiendo que ZFC sea consistente); ver Lista de declaraciones indecidibles en ZFC .
El (primer) teorema de incompletitud de Gödel muestra que muchos sistemas de axiomas de interés matemático tendrán enunciados indecidibles.
Si bien los primeros matemáticos, como Eudoxo de Cnido, no utilizaron pruebas, desde Euclides hasta los desarrollos matemáticos fundamentales de finales del siglo XIX y XX, las pruebas eran una parte esencial de las matemáticas. [24] Con el aumento de la potencia informática en la década de 1960, se comenzó a realizar un trabajo significativo investigando objetos matemáticos fuera del marco del teorema de prueba, [25] en matemáticas experimentales . Los primeros pioneros de estos métodos pretendían que el trabajo estuviera integrado en última instancia en un marco de teorema de prueba clásico, por ejemplo, el desarrollo inicial de la geometría fractal , [26] que finalmente estaba integrado de esa manera.
Aunque no es una prueba formal, una demostración visual de un teorema matemático a veces se denomina " prueba sin palabras ". La imagen de la izquierda a continuación es un ejemplo de una demostración visual histórica del teorema de Pitágoras en el caso del triángulo (3,4,5) .
Algunas pruebas visuales ilusorias, como el rompecabezas de los cuadrados faltantes , pueden construirse de manera que parezcan probar un supuesto hecho matemático, pero sólo lo hacen en presencia de pequeños errores (por ejemplo, líneas supuestamente rectas que en realidad se curvan ligeramente) que son imperceptible hasta que se examina de cerca la imagen completa, con longitudes y ángulos medidos o calculados con precisión.
Una prueba elemental es una prueba que sólo utiliza técnicas básicas. Más específicamente, el término se utiliza en teoría de números para referirse a pruebas que no utilizan análisis complejos . Durante algún tiempo se pensó que ciertos teoremas, como el teorema de los números primos , sólo podían demostrarse utilizando matemáticas "superiores". Sin embargo, con el tiempo, muchos de estos resultados han sido refutados utilizando sólo técnicas elementales.
Una forma particular de organizar una demostración utilizando dos columnas paralelas se utiliza a menudo como ejercicio matemático en las clases de geometría elemental en los Estados Unidos. [27] La prueba está escrita como una serie de líneas en dos columnas. En cada línea, la columna de la izquierda contiene una proposición, mientras que la columna de la derecha contiene una breve explicación de cómo la proposición correspondiente en la columna de la izquierda es un axioma, una hipótesis o puede derivarse lógicamente de proposiciones anteriores. . La columna de la izquierda normalmente se titula "Declaraciones" y la columna de la derecha normalmente se titula "Razones". [28]
La expresión "prueba matemática" es utilizada por personas no profesionales para referirse al uso de métodos matemáticos o a discutir con objetos matemáticos , como números, para demostrar algo sobre la vida cotidiana, o cuando los datos utilizados en un argumento son numéricos. A veces también se utiliza para referirse a una "prueba estadística" (a continuación), especialmente cuando se utiliza para argumentar a partir de datos.
La "prueba estadística" a partir de datos se refiere a la aplicación de estadísticas, análisis de datos o análisis bayesiano para inferir proposiciones sobre la probabilidad de los datos. Si bien se utiliza la prueba matemática para establecer teoremas en estadística, generalmente no es una prueba matemática en el sentido de que los supuestos de los cuales se derivan los enunciados de probabilidad requieren evidencia empírica externa a las matemáticas para ser verificados. En física, además de los métodos estadísticos, "prueba estadística" puede referirse a los métodos matemáticos especializados de la física aplicados para analizar datos en un experimento de física de partículas o un estudio observacional en cosmología física . "Prueba estadística" también puede referirse a datos sin procesar o a un diagrama convincente que incluya datos, como diagramas de dispersión , cuando los datos o el diagrama son suficientemente convincentes sin necesidad de análisis adicionales.
Las pruebas que utilizan lógica inductiva , si bien se consideran de naturaleza matemática, buscan establecer proposiciones con un grado de certeza, que actúa de manera similar a la probabilidad , y puede tener una certeza menor que la total . No se debe confundir la lógica inductiva con la inducción matemática .
El análisis bayesiano utiliza el teorema de Bayes para actualizar la evaluación que hace una persona de las probabilidades de hipótesis cuando se adquiere nueva evidencia o información.
El psicologismo considera las pruebas matemáticas como objetos psicológicos o mentales. Los filósofos matemáticos, como Leibniz , Frege y Carnap , han criticado de diversas formas esta visión e intentado desarrollar una semántica para lo que consideraban el lenguaje del pensamiento , mediante la cual los estándares de prueba matemática podrían aplicarse a la ciencia empírica .
Los filósofos matemáticos como Spinoza han intentado formular argumentos filosóficos de manera axiomática, mediante lo cual los estándares de prueba matemática podrían aplicarse a la argumentación en filosofía general. Otros matemáticos-filósofos han intentado utilizar estándares de prueba matemática y razón, sin empirismo, para llegar a enunciados fuera de las matemáticas, pero teniendo la certeza de las proposiciones deducidas en una prueba matemática, como el argumento cogito de Descartes .
A veces, la abreviatura "QED" se escribe para indicar el final de una prueba. Esta abreviatura significa "quod erat demonstrandum" , que en latín significa "aquello que debía demostrarse" . Una alternativa más común es utilizar un cuadrado o un rectángulo, como □ o ∎, conocido como " lápida sepulcral " o "halmos" por su epónimo Paul Halmos . A menudo, "lo que se iba a mostrar" se indica verbalmente al escribir "QED", "□" o "∎" durante una presentación oral. Unicode proporciona explícitamente el carácter de "fin de prueba", U+220E (∎) (220E(hex) = 8718(dec)) .
Una afirmación cuya verdad debe tomarse como evidente o asumirse. Ciertas áreas de las matemáticas implican elegir un conjunto de axiomas y descubrir qué resultados se pueden derivar de ellos, proporcionando pruebas de los teoremas que se obtienen.
Definición 3.1. Prueba: una definición informal
Ninguna obra, excepto La Biblia, ha sido más utilizada...
¿Qué hacer con las fotos? Surgieron dos pensamientos: el primero fue que no se podían publicar de la forma habitual, que no había teoremas, sólo imágenes muy sugerentes. Proporcionaron evidencia convincente para muchas conjeturas y señuelos para una mayor exploración, pero los teoremas eran monedas de oro y las convenciones de esa época dictaban que las revistas solo publicaran teoremas.
Mandelbrot, trabajando en el Laboratorio de Investigación de IBM, hizo algunas simulaciones por computadora para estos conjuntos con la suposición razonable de que, si quería probar algo, podría ser útil saber la respuesta con anticipación. .
...le recordó a Benoit [Mandelbrot] que existía una 'matemática del ojo', que la visualización de un problema era un método tan válido como cualquier otro para encontrar una solución. Sorprendentemente, se encontró solo con esta conjetura. La enseñanza de las matemáticas en Francia estaba dominada por un puñado de matemáticos dogmáticos que se escondían tras el seudónimo de 'Bourbaki'...
Medios relacionados con la prueba matemática en Wikimedia Commons
