Raíz cuadrada de 2

Número real positivo único que al multiplicarse por sí mismo da 2

La raíz cuadrada de 2 (aproximadamente 1,4142) es el número real positivo que, al multiplicarse por sí mismo o al cuadrado, da como resultado el número 2. Puede escribirse en matemáticas como o . Es un número algebraico y, por lo tanto, no un número trascendental . Técnicamente, debería llamarse raíz cuadrada principal de 2, para distinguirlo del número negativo con la misma propiedad. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle 2^{1/2}}$

Geométricamente, la raíz cuadrada de 2 es la longitud de una diagonal a lo largo de un cuadrado con lados de una unidad de longitud ; esto se desprende del teorema de Pitágoras . Probablemente fue el primer número que se supo que era irracional . ^[1] La fracción ⁠99/70⁠ (≈ 1,4142 857) se utiliza a veces como una buena aproximación racional con un denominador razonablemente pequeño .

La secuencia A002193 en la Enciclopedia en línea de secuencias enteras consiste en los dígitos de la expansión decimal de la raíz cuadrada de 2, aquí truncada a 65 decimales: ^[2]

1.41421 35623 73095 04880 16887 24209 69807 85696 71875 37694 80731 76679 73799

Historia

Tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 con anotaciones. Además de mostrar la raíz cuadrada de 2 en sexagesimal ( 1 24 51 10 ), la tablilla también da un ejemplo donde un lado del cuadrado es 30 y la diagonal es 42 25 35. El dígito sexagesimal 30 también puede representar 0 30 = ⁠1/2⁠ , en cuyo caso 0 42 25 35 es aproximadamente 0,7071065.

La tablilla de arcilla babilónica YBC 7289 ( c.  1800–1600 a. C.) da una aproximación de en cuatro cifras sexagesimales , 1 24 51 10 , que es precisa hasta aproximadamente seis dígitos decimales , ^[3] y es la representación sexagesimal de tres cifras más cercana posible de , lo que representa un margen de error de solo –0,000042 %: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}$

Otra aproximación temprana se da en los antiguos textos matemáticos indios , los Sulbasutras ( c.  800 – 200 a. C.), de la siguiente manera: Aumenta la longitud [del lado] en su tercio y este tercio en su propio cuarto menos la trigésima cuarta parte de ese cuarto. ^[4] Es decir,

${\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}$

Esta aproximación, que se desvía del valor real de en aproximadamente un +0,07%, es la séptima de una secuencia de aproximaciones cada vez más precisas basadas en la secuencia de números de Pell , que se pueden derivar de la expansión fraccionaria continua de . A pesar de tener un denominador más pequeño, es solo ligeramente menos precisa que la aproximación babilónica. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Los pitagóricos descubrieron que la diagonal de un cuadrado es inconmensurable con su lado, o en lenguaje moderno, que la raíz cuadrada de dos es irracional . Poco se sabe con certeza sobre el momento o las circunstancias de este descubrimiento, pero el nombre de Hípaso de Metaponto se menciona a menudo. Durante un tiempo, los pitagóricos trataron como un secreto oficial el descubrimiento de que la raíz cuadrada de dos es irracional y, según la leyenda, Hípaso fue asesinado por divulgarlo, aunque esto tiene poca o ninguna evidencia sustancial en la práctica de la historia tradicional. ^{[5] [6]} La raíz cuadrada de dos a veces se llama número de Pitágoras o constante de Pitágoras . ^[7]

Arquitectura romana antigua

En la arquitectura romana antigua , Vitruvio describe el uso de la técnica de la raíz cuadrada de 2 o progresión ad quadratum . Consiste básicamente en un método geométrico, más que aritmético, para duplicar un cuadrado, en el que la diagonal del cuadrado original es igual al lado del cuadrado resultante. Vitruvio atribuye la idea a Platón . El sistema se empleó para construir pavimentos creando un cuadrado tangente a las esquinas del cuadrado original a 45 grados del mismo. La proporción también se utilizó para diseñar atrios , dándoles una longitud igual a una diagonal tomada de un cuadrado, cuyos lados son equivalentes al ancho del atrio previsto. ^[8]

Valor decimal

Algoritmos de cálculo

Existen muchos algoritmos para realizar aproximaciones como cociente de números enteros o como decimales. El algoritmo más común para ello, que se utiliza como base en muchos ordenadores y calculadoras, es el método babilónico ^[9] para calcular raíces cuadradas, un ejemplo del método de Newton para calcular raíces de funciones arbitrarias. Su funcionamiento es el siguiente: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

En primer lugar, elija una suposición ; el valor de la suposición afecta únicamente la cantidad de iteraciones necesarias para alcanzar una aproximación de cierta precisión. Luego, utilizando esa suposición, realice el siguiente cálculo recursivo : ${\displaystyle a_{0}>0}$

${\displaystyle a_{n+1}={\frac {1}{2}}\left(a_{n}+{\dfrac {2}{a_{n}}}\right)={\frac {a_{n}}{2}}+{\frac {1}{a_{n}}}.}$

Cada iteración mejora la aproximación, duplicando aproximadamente la cantidad de dígitos correctos. A partir de , las iteraciones posteriores arrojan: ${\displaystyle a_{0}=1}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}a_{1}&={\tfrac {3}{2}}&&=\mathbf {1} .5,\\a_{2}&={\tfrac {17}{12}}&&=\mathbf {1.41} 6\ldots ,\\a_{3}&={\tfrac {577}{408}}&&=\mathbf {1.41421} 5\ldots ,\\a_{4}&={\tfrac {665857}{470832}}&&=\mathbf {1.41421356237} 46\ldots ,\\&\qquad \vdots \end{alignedat}}}$

Aproximaciones racionales

Una aproximación racional simple99/70⁠ (≈ 1,4142 857) se utiliza a veces. A pesar de tener un denominador de solo 70, difiere del valor correcto en menos de ⁠1/10.000⁠ (aprox.+0,72 × 10 ⁻⁴ ).

Las siguientes dos mejores aproximaciones racionales son140/99⁠ (≈ 1.414 1414...) con un error marginalmente menor (aprox.−0,72 × 10 ⁻⁴ ), y ⁠239/169⁠ (≈ 1,4142 012) con un error de aprox.−0,12 × 10 ⁻⁴ .

La aproximación racional de la raíz cuadrada de dos derivada de cuatro iteraciones del método babilónico después de comenzar con un ₀ = 1 (665.857/470.832) es demasiado grande por aproximadamente1,6 × 10 ⁻¹² ; su cuadrado es ≈ 2.000 000 000 0045 .

Registros en computación

En 1997, el equipo de Yasumasa Kanada calculó el valor de con 137.438.953.444 decimales . En febrero de 2006, el récord del cálculo de se batió con el uso de una computadora doméstica. Shigeru Kondo calculó un billón de decimales en 2010. ^[10] Otras constantes matemáticas cuyas expansiones decimales se han calculado con una precisión igualmente alta incluyen π , e y la proporción áurea . ^[11] Estos cálculos proporcionan evidencia empírica de si estos números son normales . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Esta es una tabla de registros recientes en el cálculo de los dígitos de . ^[11] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Pruebas de irracionalidad

Prueba por descendencia infinita

Una prueba de la irracionalidad del número es la siguiente prueba por descenso infinito . También es una prueba de negación por refutación : prueba que la afirmación " no es racional" supone que lo es y luego deduce una falsedad. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

1. Supongamos que es un número racional, lo que significa que existe un par de números enteros cuya razón es exactamente . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
2. Si los dos números enteros tienen un factor común , éste se puede eliminar utilizando el algoritmo euclidiano .
3. Entonces puede escribirse como una fracción irreducible tal que a y b son números enteros coprimos (que no tienen ningún factor común), lo que además significa que al menos uno de a o b debe ser impar . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$
4. De ello se deduce que y . (  ( ⁠ ${\displaystyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}=2}$ ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$a/b⁠ ) ^​​n = ⁠un^​/bn^​⁠  ) ​​( a ² y b ² son números enteros)
5. Por lo tanto, a ² es par porque es igual a 2 b ² . ( 2 b ² es necesariamente par porque es 2 veces otro número entero.)
6. De ello se deduce que a debe ser par (ya que los cuadrados de los números enteros impares nunca son pares).
7. Como a es par, existe un entero k que cumple . ${\displaystyle a=2k}$
8. Sustituyendo 2 k del paso 7 por a en la segunda ecuación del paso 4: , que es equivalente a . ${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}=(2k)^{2}=4k^{2}}$ ${\displaystyle b^{2}=2k^{2}}$
9. Como 2 k ² es divisible por dos y, por lo tanto, par, y como , se deduce que b ² también es par, lo que significa que b es par. ${\displaystyle 2k^{2}=b^{2}}$
10. Según los pasos 5 y 8, a y b son ambos pares, lo que contradice el paso 3 (que es irreducible). ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$

Puesto que hemos derivado una falsedad, la suposición (1) de que es un número racional debe ser falsa. Esto significa que no es un número racional; es decir, es irracional. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Esta prueba fue insinuada por Aristóteles , en su Analytica Priora , §I.23. ^[12] Apareció por primera vez como una prueba completa en los Elementos de Euclides , como proposición 117 del Libro X. Sin embargo, desde principios del siglo XIX, los historiadores han acordado que esta prueba es una interpolación y no atribuible a Euclides. ^[13]

Prueba usando recíprocos

Supongamos por contradicción que somos racionales. Entonces podemos escribir como fracción irreducible en términos mínimos, con enteros positivos coprimos . Como , se deduce que puede expresarse como la fracción irreducible . Sin embargo, como y difieren en un entero, se deduce que los denominadores de sus representaciones fraccionarias irreducibles deben ser los mismos, es decir . Esto da la contradicción deseada. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1={\frac {q}{p}}}$ ${\displaystyle q>p}$ ${\displaystyle ({\sqrt {2}}-1)({\sqrt {2}}+1)=2-1^{2}=1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle {\frac {p}{q}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}-1}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}+1}$ ${\displaystyle q=p}$

Demostración por factorización única

Al igual que con la prueba por descenso infinito, obtenemos . Al ser la misma cantidad, cada lado tiene la misma factorización prima por el teorema fundamental de la aritmética , y en particular, tendría que tener el factor 2 apareciendo el mismo número de veces. Sin embargo, el factor 2 aparece un número impar de veces a la derecha, pero un número par de veces a la izquierda, lo que es una contradicción. ${\displaystyle a^{2}=2b^{2}}$

Aplicación del teorema de la raíz racional

La irracionalidad de también se desprende del teorema de la raíz racional , que establece que una raíz racional de un polinomio , si existe, debe ser el cociente de un factor del término constante y un factor del coeficiente principal . En el caso de , las únicas raíces racionales posibles son y . Como no es igual a o , se deduce que es irracional. Esta aplicación también invoca el teorema de la raíz entera, una versión más fuerte del teorema de la raíz racional para el caso cuando es un polinomio mónico con coeficientes enteros ; para tal polinomio, todas las raíces son necesariamente enteras (lo que no es, ya que 2 no es un cuadrado perfecto) o irracionales. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p(x)=x^{2}-2}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \pm 1}$ ${\displaystyle \pm 2}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle p(x)}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

El teorema de la raíz racional (o teorema de la raíz entera) se puede utilizar para demostrar que cualquier raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea un cuadrado perfecto es irracional. Para otras pruebas de que la raíz cuadrada de cualquier número natural que no sea un cuadrado es irracional, véase Número irracional cuadrático o Descenso infinito .

Prueba geométrica

Figura 1. Prueba geométrica de Stanley Tennenbaum de la irracionalidad de √ 2

Una prueba sencilla se atribuye a Stanley Tennenbaum cuando era estudiante a principios de la década de 1950. ^{[14] [15]} Dados dos cuadrados con lados enteros respectivamente a y b , uno de los cuales tiene el doble del área del otro, coloque dos copias del cuadrado más pequeño en el más grande como se muestra en la Figura 1. La región de superposición de cuadrados en el medio ( ) debe ser igual a la suma de los dos cuadrados descubiertos ( ). Sin embargo, estos cuadrados en la diagonal tienen lados enteros positivos que son más pequeños que los cuadrados originales. Repitiendo este proceso, hay cuadrados arbitrariamente pequeños, uno con el doble del área del otro, pero ambos con lados enteros positivos, lo cual es imposible ya que los enteros positivos no pueden ser menores que 1. ${\displaystyle (2b-a)^{2}}$ ${\displaystyle 2(a-b)^{2}}$

Figura 2. Prueba geométrica de Tom Apostol de la irracionalidad de √ 2

Tom M. Apostol formuló otro argumento geométrico de reducción al absurdo que demuestra que es irracional. ^[16] También es un ejemplo de prueba por descenso infinito. Hace uso de la construcción clásica con regla y compás , demostrando el teorema mediante un método similar al empleado por los geómetras griegos antiguos. Es esencialmente la misma prueba algebraica que en el párrafo anterior, vista geométricamente de otra manera. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Sea △  ABC un triángulo rectángulo isósceles con longitud de hipotenusa m y catetos n como se muestra en la Figura 2. Por el teorema de Pitágoras , . Supóngase que m y n son números enteros. Sea m : n una razón dada en sus términos más bajos . ${\displaystyle {\frac {m}{n}}={\sqrt {2}}}$

Dibujemos los arcos BD y CE con centro A. Unámoslos con DE . De ello se deduce que AB = AD , AC = AE y ∠ BAC y ∠ DAE coinciden. Por lo tanto, los triángulos ABC y ADE son congruentes por SAS .

Como ∠ EBF es un ángulo recto y ∠ BEF es la mitad de un ángulo recto, △  BEF también es un triángulo rectángulo isósceles. Por lo tanto, BE = m − n implica BF = m − n . Por simetría, DF = m − n , y △  FDC también es un triángulo rectángulo isósceles. También se deduce que FC = n − ( m − n ) = 2 n − m .

Por lo tanto, existe un triángulo rectángulo isósceles aún más pequeño, con una longitud de hipotenusa de 2 n − m y catetos m − n . Estos valores son números enteros incluso más pequeños que m y n y están en la misma proporción, lo que contradice la hipótesis de que m : n está en términos mínimos. Por lo tanto, m y n no pueden ser ambos números enteros; por lo tanto, es irracional. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Prueba constructiva

Si bien las pruebas por descendencia infinita son constructivamente válidas cuando se define "irracional" como "no racional", podemos obtener una afirmación constructivamente más sólida utilizando una definición positiva de "irracional" como "cuantificable aparte de todo racional". Sean a y b números enteros positivos tales que 1< ⁠a/b⁠ < 3/2 (ya que 1<2< 9/4 satisface estos límites). Ahora 2 b ² y a ² no pueden ser iguales, ya que el primero tiene un número impar de factores 2 mientras que el segundo tiene un número par de factores 2. Por lo tanto | 2 b ² − a ² | ≥ 1 . Multiplicando la diferencia absoluta | √ 2 − ⁠a/b⁠ |por b ² ( √ 2 + ⁠ a/b) en el numerador y denominador , obtenemos ^[17]

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {a}{b}}\right|={\frac {|2b^{2}-a^{2}|}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{b^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {a}{b}}\right)}}\geq {\frac {1}{3b^{2}}},}$

La última desigualdad es verdadera porque se supone que 1< ⁠a/b⁠ < 3/2 , dando ⁠a/b⁠ + √ 2 ≤ 3 (de lo contrario, la separación cuantitativa se puede establecer de manera trivial). Esto da un límite inferior de ⁠1/3b2​^​⁠ por la diferencia | √ 2 − ⁠a/b⁠ |, lo que produce una prueba directa de la irracionalidad en su forma constructivamente más fuerte, sin depender de laley del tercio excluido; véaseErrett Bishop(1985, p. 18). Esta prueba exhibe de manera constructiva una discrepancia explícita entrey cualquier racional. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Demostración por ternas pitagóricas

Esta prueba utiliza la siguiente propiedad de las ternas pitagóricas primitivas :

Si a , b y c son números enteros positivos coprimos tales que a ² + b ² = c ² , entonces c nunca es par. ^[18]

Este lema se puede utilizar para demostrar que dos cuadrados perfectos idénticos nunca pueden sumarse para producir otro cuadrado perfecto.

Supongamos lo contrario, que es racional. Por lo tanto, ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}={a \over b}}$

donde y ${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \gcd(a,b)=1}$

Cuadrando ambos lados,

${\displaystyle 2={a^{2} \over b^{2}}}$

${\displaystyle 2b^{2}=a^{2}}$

${\displaystyle b^{2}+b^{2}=a^{2}}$

Aquí, (b, b, a) es una terna pitagórica primitiva y, según el lema , a nunca es par. Sin embargo, esto contradice la ecuación 2 b ² = a ² , que implica que a debe ser par.

Inverso multiplicativo

El inverso multiplicativo (recíproco) de la raíz cuadrada de dos (es decir, la raíz cuadrada de ⁠1/2⁠ ) ​​es una constante ampliamente utilizada .

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}=\sin 45^{\circ }=\cos 45^{\circ }=}$ 0,707 106 781 186 547 524 400 844 362 104 849 039 284 835 937 688 47 ... (secuencia A010503 en la OEIS )

La mitad de , también el recíproco de , es una cantidad común en geometría y trigonometría porque el vector unitario que forma un ángulo de 45° con los ejes en un plano tiene las coordenadas ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {2}}{2}},{\frac {\sqrt {2}}{2}}\right)\!.}$

Este número satisface

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}={\sqrt {\tfrac {1}{2}}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}=\cos 45^{\circ }=\sin 45^{\circ }.}$

Propiedades

El tamaño del ángulo y el área del sector son los mismos cuando el radio cónico es √ 2. Este diagrama ilustra las funciones circulares e hiperbólicas basadas en áreas de sector u .

Una propiedad interesante de es ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle \!\ {1 \over {{\sqrt {2}}-1}}={\sqrt {2}}+1}$

desde

${\displaystyle \left({\sqrt {2}}+1\right)\!\left({\sqrt {2}}-1\right)=2-1=1.}$

Esto está relacionado con la propiedad de las proporciones de plata .

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$También se puede expresar en términos de copias de la unidad imaginaria i utilizando sólo la raíz cuadrada y las operaciones aritméticas , si el símbolo de la raíz cuadrada se interpreta adecuadamente para los números complejos i y − i :

${\displaystyle {\frac {{\sqrt {i}}+i{\sqrt {i}}}{i}}{\text{ and }}{\frac {{\sqrt {-i}}-i{\sqrt {-i}}}{-i}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$es también el único número real distinto de 1 cuyo tetrato infinito (es decir, torre exponencial infinita) es igual a su cuadrado. En otras palabras: si para c > 1 , x ₁ = c y x _{n +1} = c ^{x _n} para n > 1 , el límite de x _n cuando n → ∞ se llamará (si este límite existe) f ( c ) . Entonces es el único número c > 1 para el cual f ( c ) = c ² . O simbólicamente: ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{{\sqrt {2}}^{~\cdot ^{~\cdot ^{~\cdot }}}}}=2.}$

${\displaystyle {\sqrt {2}}}$aparece en la fórmula de Viète para π ,

${\displaystyle {\frac {2}{\pi }}={\sqrt {\frac {1}{2}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}\cdot {\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {1}{2}}}}}}}\cdots ,}$

que está relacionada con la fórmula ^[19]

${\displaystyle \pi =\lim _{m\to \infty }2^{m}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+\cdots +{\sqrt {2}}}}}}}}}} _{m{\text{ square roots}}}\,.}$

De apariencia similar pero con un número finito de términos, aparece en varias constantes trigonométricas : ^[20] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sin {\frac {\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {11\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {3\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\\[6pt]\sin {\frac {3\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {\pi }{4}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2}}&\quad \sin {\frac {13\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {\pi }{8}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}&\quad \sin {\frac {9\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {7\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}\\[6pt]\sin {\frac {5\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}}}&\quad \sin {\frac {5\pi }{16}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}}&\quad \sin {\frac {15\pi }{32}}&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}\end{aligned}}}$

No se sabe si es un número normal , lo cual es una propiedad más fuerte que la irracionalidad, pero los análisis estadísticos de su expansión binaria son consistentes con la hipótesis de que es normal en base dos . ^[21] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Representaciones

Serie y producto

La identidad cos π/4⁠ = pecado  ⁠π/4⁠ = ⁠1/√ 2⁠ , junto con las infinitas representaciones de productos para el seno y el coseno , conduce a productos como

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1-{\frac {1}{(4k+2)^{2}}}\right)=\left(1-{\frac {1}{4}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{36}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{100}}\right)\cdots }$

y

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k+2)^{2}}{(4k+1)(4k+3)}}=\left({\frac {2\cdot 2}{1\cdot 3}}\right)\!\left({\frac {6\cdot 6}{5\cdot 7}}\right)\!\left({\frac {10\cdot 10}{9\cdot 11}}\right)\!\left({\frac {14\cdot 14}{13\cdot 15}}\right)\cdots }$

o equivalentemente,

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\prod _{k=0}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{4k+1}}\right)\left(1-{\frac {1}{4k+3}}\right)=\left(1+{\frac {1}{1}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\!\left(1+{\frac {1}{5}}\right)\!\left(1-{\frac {1}{7}}\right)\cdots .}$

El número también se puede expresar tomando la serie de Taylor de una función trigonométrica . Por ejemplo, la serie para cos  ⁠π/4⁠ da

${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}\left({\frac {\pi }{4}}\right)^{2k}}{(2k)!}}.}$

La serie de Taylor de √ 1 + x con x = 1 y usando el factorial doble n !! da

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {(2k-3)!!}{(2k)!!}}=1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{2\cdot 4}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4\cdot 6}}-{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6\cdot 8}}+\cdots =1+{\frac {1}{2}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {5}{128}}+{\frac {7}{256}}+\cdots .}$

La convergencia de esta serie se puede acelerar con una transformada de Euler , produciendo

${\displaystyle {\sqrt {2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(2k+1)!}{2^{3k+1}(k!)^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {3}{8}}+{\frac {15}{64}}+{\frac {35}{256}}+{\frac {315}{4096}}+{\frac {693}{16384}}+\cdots .}$

No se sabe si se puede representar con una fórmula de tipo BBP . Sin embargo, se conocen fórmulas de tipo BBP para π √ 2 y √ 2 ln (1+ √ 2 ) . ^[22] ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ 

El número puede representarse mediante una serie infinita de fracciones egipcias , con denominadores definidos por 2 ^n-  ésimos términos de una relación de recurrencia tipo Fibonacci a ( n ) = 34 a ( n −1) − a ( n −2), a (0) = 0, a (1) = 6. ^[23]

${\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{a(2^{n})}}={\frac {3}{2}}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{6}}+{\frac {1}{204}}+{\frac {1}{235416}}+\dots \right)}$

Fracción continua

La raíz cuadrada de 2 y aproximaciones por convergentes de fracciones continuas

La raíz cuadrada de dos tiene la siguiente representación de fracción continua :

${\displaystyle {\sqrt {2}}=1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{2+\ddots }}}}}}.}$

Los convergentes ⁠pag/q⁠ formada al truncar esta representación forma una secuencia de fracciones que se aproximan a la raíz cuadrada de dos con una precisión creciente, y que se describen mediante los números de Pell (es decir, p ² − 2 q ² = ±1 ). Los primeros convergentes son: ⁠1/1⁠ , ⁠3/2⁠ , ⁠7/5⁠ , ⁠17/12⁠ , ⁠41/29⁠ , ⁠99/70⁠ , ⁠239/169⁠ , ⁠577/408⁠ y la siguiente convergente ⁠pag/q⁠ es ⁠p + 2q/p + q⁠ . El convergente ⁠pag/q⁠ difiere decasi exactamente ⁠ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$1/2 √ 2 q ²⁠ , lo cual se desprende de:

${\displaystyle \left|{\sqrt {2}}-{\frac {p}{q}}\right|={\frac {|2q^{2}-p^{2}|}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}={\frac {1}{q^{2}\!\left({\sqrt {2}}+{\frac {p}{q}}\right)}}\thickapprox {\frac {1}{2{\sqrt {2}}q^{2}}}}$

Cuadrado anidado

Las siguientes expresiones cuadradas anidadas convergen a : ${\textstyle {\sqrt {2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {2}}&={\tfrac {3}{2}}-2\left({\tfrac {1}{4}}-\left({\tfrac {1}{4}}-{\bigl (}{\tfrac {1}{4}}-\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}\\[10mu]&={\tfrac {3}{2}}-4\left({\tfrac {1}{8}}+\left({\tfrac {1}{8}}+{\bigl (}{\tfrac {1}{8}}+\cdots {\bigr )}^{2}\right)^{2}\right)^{2}.\end{aligned}}}$

Aplicaciones

Tamaño del papel

La serie A de tamaños de papel

En 1786, el profesor de física alemán Georg Christoph Lichtenberg ^[24] descubrió que cualquier hoja de papel cuyo borde largo fuera 2 veces más largo que su borde corto podía doblarse por la mitad y alinearse con su lado más corto para producir una hoja con exactamente las mismas proporciones que la original. Esta relación de longitudes del lado más largo sobre el más corto garantiza que al cortar una hoja por la mitad a lo largo de una línea, las hojas más pequeñas tengan la misma relación (aproximada) que la hoja original. Cuando Alemania estandarizó los tamaños de papel a principios del siglo XX, utilizaron la relación de Lichtenberg para crear la serie "A" de tamaños de papel. ^{[24] Hoy, la} relación de aspecto (aproximada) de los tamaños de papel según la norma ISO 216 (A4, A0, etc.) es 1: . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Prueba:
Sea la longitud más corta y la longitud más larga de los lados de una hoja de papel, con ${\displaystyle S=}$ ${\displaystyle L=}$

${\displaystyle R={\frac {L}{S}}={\sqrt {2}}}$como lo requiere la norma ISO 216.

Sea la razón análoga de la hoja partida a la mitad, entonces ${\displaystyle R'={\frac {L'}{S'}}}$

${\displaystyle R'={\frac {S}{L/2}}={\frac {2S}{L}}={\frac {2}{(L/S)}}={\frac {2}{\sqrt {2}}}={\sqrt {2}}=R}$.

Ciencias físicas

Hay algunas propiedades interesantes que involucran la raíz cuadrada de 2 en las ciencias físicas :

• La raíz cuadrada de dos es la relación de frecuencias de un intervalo de tritono en la música de temperamento igual de doce tonos .
• La raíz cuadrada de dos forma la relación de números f en las lentes fotográficas, lo que a su vez significa que la relación de áreas entre dos aperturas sucesivas es 2.
• La latitud celeste (declinación) del Sol durante los puntos del cuarto día astronómico de un planeta es igual a la inclinación del eje del planeta dividida por . ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

Las distancias entre los vértices de un cubo de doble unidad son raíces cuadradas de los primeros seis números naturales , incluida la raíz cuadrada de 2 (√7 no es posible debido al teorema de los tres cuadrados de Legendre )

• En el cerebro existen células reticulares, descubiertas en 2005 por un grupo dirigido por May-Britt y Edvard Moser. “Las células reticulares se encontraron en la zona cortical situada justo al lado del hipocampo [...] En un extremo de esta zona cortical el tamaño de la malla es pequeño y en el otro es muy grande. Sin embargo, el aumento del tamaño de la malla no se deja al azar, sino que aumenta en la raíz cuadrada de dos de una zona a la siguiente.” ^[25]

Véase también

• Lista de constantes matemáticas
• Raíz cuadrada de 3 , √ 3
• Raíz cuadrada de 5 , √ 5
• Constante de Gelfond–Schneider , 2 ^{√ 2}
• Relación de plata , 1 + √ 2

Notas

1. Fowler, David H. (2001), "La historia del descubrimiento de la inconmensurabilidad, revisada", Neusis (10): 45–61, MR  1891736
2. "A002193 - OEIS". oeis.org . Consultado el 10 de agosto de 2020 .
3. Fowler y Robson, p. 368.
   Fotografía, ilustración y descripción de la tablilla raíz(2) de la Colección Babilónica de Yale Archivado el 13 de agosto de 2012 en Wayback Machine
   Fotografías de alta resolución, descripciones y análisis de la tablilla raíz(2) (YBC 7289) de la Colección Babilónica de Yale
4. Henderson.
5. "La proporción peligrosa". nrich.maths.org . Consultado el 18 de septiembre de 2023 .
6. Von Fritz, Kurt (1945). "El descubrimiento de la inconmensurabilidad por Hípaso de Metaponto". Anales de Matemáticas . 46 (2): 242–264. doi :10.2307/1969021. ISSN  0003-486X. JSTOR  1969021.
7. Conway, John H. ; Guy, Richard K. (1996), El libro de los números , Copérnico, pág. 25
8. Williams, Kim ; Ostwald, Michael (2015). Arquitectura y matemáticas desde la Antigüedad hasta el futuro: Volumen I: Antigüedad hasta el siglo XVI . Birkhäuser. pág. 204. ISBN 9783319001371.
9. Aunque el término "método babilónico" es común en el uso moderno, no hay evidencia directa que muestre cómo los babilonios calcularon la aproximación que se ve en la tablilla YBC 7289. Fowler y Robson ofrecen conjeturas informadas y detalladas. Fowler y Robson, pág. 376. Flannery, pág. 32, 158. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$
   
10. "Constantes y registros de cálculo". Numbers.computation.free.fr. 12 de agosto de 2010. Archivado desde el original el 1 de marzo de 2012. Consultado el 7 de septiembre de 2012 .
11. "Récords establecidos por y-cruncher". Archivado desde el original el 7 de abril de 2022. Consultado el 7 de abril de 2022 .
12. Todo lo que dice Aristóteles, al escribir sobre las pruebas por contradicción , es que "la diagonal del cuadrado es inconmensurable con el lado, porque los números impares son iguales a los pares si se supone que es conmensurable".
13. La edición del texto griego de los Elementos publicada por EF August en Berlín en 1826-1829 ya relega esta prueba a un apéndice. Lo mismo ocurre con la edición de JL Heiberg (1883-1888).
14. Prueba 8‴ Archivado el 22 de abril de 2016 en Wayback Machine.
15. Yanofsky, N. (2016). "Paradojas, contradicciones y los límites de la ciencia". Archivado desde el original el 30 de junio de 2016.
16. Tom M. Apostol (noviembre de 2000), "Irracionalidad de la raíz cuadrada de dos: una prueba geométrica", The American Mathematical Monthly , 107 (9): 841–842, doi :10.2307/2695741, JSTOR  2695741
17. Véase Katz, Karin Usadi; Katz, Mikhail G. (2011), "El significado en las matemáticas clásicas: ¿está en desacuerdo con el intuicionismo?", Intellectica , 56 (2): 223–302 (véase esp. Sección 2.3, nota al pie 15), arXiv : 1110.5456 , Bibcode :2011arXiv1110.5456U
18. Sierpiński, Wacław (2003), Triángulos pitagóricos , Dover, págs. 4-6, ISBN 978-0-486-43278-6
19. Courant, Richard; Robbins, Herbert (1941), ¿Qué son las matemáticas? Un enfoque elemental de las ideas y los métodos , Londres: Oxford University Press, pág. 124
20. Julian DA Wiseman Sin y cos en irracionales Archivado el 6 de mayo de 2009 en Wayback Machine.
21. Bueno y Gobernante (1967).
22. Bailey, David H. (13 de febrero de 2011). "Un compendio de fórmulas de tipo BBP para constantes matemáticas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 10 de junio de 2011. Consultado el 30 de abril de 2010 .
23. Sloane, N. J. A. (ed.). "Secuencia A082405 (a(n) = 34*a(n-1) - a(n-2); a(0)=0, a(1)=6)". La enciclopedia en línea de secuencias de números enteros . OEIS Foundation . Consultado el 5 de septiembre de 2016 .
24. Houston, Keith (2016). El libro: una exploración de principio a fin del objeto más poderoso de nuestro tiempo . WW Norton & Company. pág. 324. ISBN 978-0393244809.
25. Nordengen, Kaja (2016). El libro: Hjernen er sternen . 2016 Kagge Forlag AS. pag. 81.ISBN​ 978-82-489-2018-2.

Referencias

• Apostol, Tom M. (2000), "Irracionalidad de la raíz cuadrada de dos: una prueba geométrica", American Mathematical Monthly , 107 (9): 841–842, doi :10.2307/2695741, JSTOR  2695741.
• Aristóteles (2007), Analytica priora , eBooks@Adelaide
• Bishop, Errett (1985), Esquizofrenia en las matemáticas contemporáneas. Errett Bishop: reflexiones sobre él y su investigación (San Diego, California, 1983), 1–32, Contemp. Math. 39, Amer. Math. Soc., Providence, RI.
• Flannery, David (2005), La raíz cuadrada de dos , Springer-Verlag, ISBN 0-387-20220-X.
• Fowler, David ; Robson, Eleanor (1998), "Aproximaciones de raíz cuadrada en las matemáticas de la antigua Babilonia: YBC 7289 en contexto", Historia Mathematica , 25 (4): 366–378, doi : 10.1006/hmat.1998.2209.
• Good, IJ ; Gover, TN (1967), "La prueba serial generalizada y la expansión binaria de ", Journal of the Royal Statistical Society, Serie A , 130 (1): 102–107, doi :10.2307/2344040, JSTOR  2344040 ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• Henderson, David W. (2000), "Raíces cuadradas en los Śulba Sūtras", en Gorini, Catherine A. (ed.), Geometry At Work: Papers in Applied Geometry, Cambridge University Press, págs. 39–45, ISBN 978-0-88385-164-7.

Enlaces externos

• Gourdon, X.; Sebah, P. (2001), "La constante de Pitágoras: ", Números, constantes y computación ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$.
• La raíz cuadrada de dos a cinco millones de dígitos, por Jerry Bonnell y Robert J. Nemiroff . Mayo de 1994.
• La raíz cuadrada de 2 es irracional, una colección de pruebas
• Grime, James; Bowley, Roger. "La raíz cuadrada 2 {\displaystyle {\sqrt {2}}} de dos". Numberphile . Brady Haran .
• Motor de búsqueda √2 2 mil millones de dígitos de búsqueda de √ 2 , π y e