En matemáticas , un teorema de existencia es un teorema que afirma la existencia de un determinado objeto. [1] Puede ser un enunciado que comience con la frase " existe(n) ", o puede ser un enunciado universal cuyo último cuantificador sea existencial (por ejemplo, "para todo x , y , ... existe(n)..."). En términos formales de lógica simbólica , un teorema de existencia es un teorema con una forma normal prenexa que involucra el cuantificador existencial , aunque en la práctica, tales teoremas generalmente se enuncian en lenguaje matemático estándar. Por ejemplo, el enunciado de que la función seno es continua en todas partes, o cualquier teorema escrito en notación O mayúscula , pueden considerarse como teoremas que son existenciales por naturaleza, ya que la cuantificación se puede encontrar en las definiciones de los conceptos utilizados.
Una controversia que se remonta a principios del siglo XX se refiere a la cuestión de los teoremas de existencia puramente teóricos, es decir, teoremas que dependen de material fundacional no constructivo como el axioma de infinito , el axioma de elección o la ley del medio excluido . Tales teoremas no proporcionan ninguna indicación sobre cómo construir (o exhibir) el objeto cuya existencia se reivindica. Desde un punto de vista constructivista , tales enfoques no son viables ya que conducen a que las matemáticas pierdan su aplicabilidad concreta, [2] mientras que el punto de vista opuesto es que los métodos abstractos tienen un alcance tan amplio, [ se necesita más explicación ] de una manera que el análisis numérico no puede tener.
En matemáticas, un teorema de existencia es puramente teórico si la prueba que se da para él no indica una construcción del objeto cuya existencia se afirma. Tal prueba no es constructiva, [3] ya que el enfoque en su conjunto puede no prestarse a la construcción. [4] En términos de algoritmos , los teoremas de existencia puramente teóricos pasan por alto todos los algoritmos para encontrar lo que se afirma que existe. Estos deben contrastarse con los llamados teoremas de existencia "constructivos", [5] que muchos matemáticos constructivistas que trabajan en lógicas extendidas (como la lógica intuicionista ) creen que son intrínsecamente más fuertes que sus contrapartes no constructivas.
A pesar de ello, los resultados puramente teóricos de la existencia son, no obstante, omnipresentes en las matemáticas contemporáneas. Por ejemplo, la prueba original de la existencia de un equilibrio de Nash por parte de John Nash en 1951 fue un teorema de existencia de este tipo. Un enfoque que es constructivo también fue encontrado posteriormente en 1962. [6]
Desde la otra dirección, ha habido una clarificación considerable de lo que son las matemáticas constructivas , sin el surgimiento de una "teoría maestra". Por ejemplo, según las definiciones de Errett Bishop , la continuidad de una función como sin( x ) debería probarse como un límite constructivo en el módulo de continuidad , lo que significa que el contenido existencial de la afirmación de continuidad es una promesa que siempre se puede cumplir. En consecuencia, Bishop rechaza la idea estándar de continuidad puntual y propuso que la continuidad debería definirse en términos de "continuidad uniforme local". [7] Se podría obtener otra explicación del teorema de existencia de la teoría de tipos , en la que una prueba de un enunciado existencial solo puede provenir de un término (que se puede ver como el contenido computacional).