" Lo que la tortuga le dijo a Aquiles ", escrito por Lewis Carroll en 1895 para la revista filosófica Mind , es un breve diálogo alegórico sobre los fundamentos de la lógica . El título alude a una de las paradojas del movimiento de Zenón , en la que Aquiles nunca podía adelantar a la tortuga en una carrera. En el diálogo de Carroll, la tortuga desafía a Aquiles a utilizar la fuerza de la lógica para hacerle aceptar la conclusión de un argumento deductivo simple. Al final, Aquiles fracasa, porque la astuta tortuga lo lleva a una regresión infinita .
La discusión comienza considerando el siguiente argumento lógico:
La Tortuga pregunta a Aquiles si la conclusión se sigue lógicamente de las premisas, y Aquiles responde que obviamente sí. Luego, la Tortuga le pregunta a Aquiles si podría haber un lector de Euclides que admita que el argumento es lógicamente válido , como una secuencia , mientras niega que A y B sean verdaderos. Aquiles acepta que tal lector podría existir (es decir, un lector que niega las premisas), y que sostendría que si A y B son verdaderos, entonces Z debe ser verdadero, aunque aún no acepta que A y B sean verdaderos.
Luego, la Tortuga pregunta a Aquiles si podría existir un segundo tipo de lector, que acepte que A y B son verdaderos, pero que aún no acepte el principio de que si A y B son ambos verdaderos, entonces Z debe ser verdadero. Aquiles le concede a la Tortuga que este segundo tipo de lector también podría existir. La Tortuga, entonces, le pide a Aquiles que la trate como a un lector de este segundo tipo. Aquiles ahora debe obligar lógicamente a la Tortuga a aceptar que Z debe ser verdadero. (La tortuga es un lector que niega la forma del argumento en sí; la conclusión, estructura o validez del silogismo ).
Después de anotar A , B y Z en su cuaderno, Aquiles le pide a la Tortuga que acepte la hipótesis:
La Tortuga accede a aceptar C , si Aquiles anota en su cuaderno lo que tiene que aceptar, formulando el nuevo argumento:
Pero ahora que la Tortuga acepta la premisa C , todavía se niega a aceptar el argumento ampliado. Cuando Aquiles exige que "si aceptas A , B y C , debes aceptar Z ", la Tortuga comenta que se trata de otra proposición hipotética y sugiere que incluso si acepta C , aún podría no llegar a la conclusión de Z si no viera la verdad de:
La Tortuga continúa aceptando cada premisa hipotética una vez que Aquiles la escribe, pero niega que la conclusión se siga necesariamente, ya que cada vez niega la hipótesis de que si todas las premisas escritas hasta ahora son verdaderas, Z debe ser verdadera:
"¡Y por fin llegamos al final de este hipódromo ideal! Ahora que aceptas A , B , C y D , por supuesto aceptas Z ".
"¿Lo hago?" dijo la Tortuga inocentemente. "Dejémoslo bastante claro. Acepto A , B , C y D. ¿Supongamos que todavía me niego a aceptar Z ?"
"¡Entonces la Lógica te tomaría por el cuello y te obligaría a hacerlo!" Aquiles respondió triunfalmente. "La lógica te diría: 'No puedes evitarlo. Ahora que has aceptado A , B , C y D , ¡debes aceptar Z !' Así que no tienes elección, ¿sabes?
"Vale la pena escribir cualquier cosa que la Lógica sea lo suficientemente buena para decirme ", dijo la Tortuga. "Entonces escríbalo en su cuaderno, por favor. Lo llamaremos
( E ) Si A y B y C y D son verdaderos, Z debe ser verdadero.Hasta que haya concedido eso, por supuesto, no necesito conceder Z . Así que es un paso bastante necesario, ¿entiendes?"
"Ya veo", dijo Aquiles; y había un toque de tristeza en su tono.
Así, la lista de premisas sigue creciendo sin fin, quedando el argumento siempre en la forma:
En cada paso, la Tortuga argumenta que aunque acepta todas las premisas que se han escrito, hay alguna premisa adicional (que si todas (1)–( n ) son verdaderas, entonces ( Z ) debe ser verdadera) que todavía necesita aceptar antes de verse obligado a aceptar que ( Z ) es verdadero.
Lewis Carroll estaba demostrando que existe un problema regresivo que surge de las deducciones modus ponens .
O, en palabras: la proposición P (es verdadera) implica Q (es verdadera), y dada P , por lo tanto Q.
El problema de la regresión surge porque se requiere un principio previo para explicar los principios lógicos, aquí modus ponens , y una vez que se explica ese principio, se requiere otro principio para explicar ese principio. Por lo tanto, si la cadena argumentativa continúa, el argumento cae en una regresión infinita. Sin embargo, si se introduce un sistema formal en el que el modus ponens es simplemente una regla de inferencia definida dentro del sistema, entonces se puede cumplir simplemente razonando dentro del sistema. Esto no quiere decir que el usuario que razona según este sistema formal esté de acuerdo con estas reglas (considérese, por ejemplo, el rechazo del constructivista a la ley del tercero excluido y el rechazo del dialeteísta a la ley de la no contradicción ). De esta manera, formalizar la lógica como un sistema puede considerarse como una respuesta al problema de la regresión infinita: el modus ponens se coloca como regla dentro del sistema, la validez del modus ponens se evita sin el sistema.
En lógica proposicional, la implicación lógica se define de la siguiente manera:
P implica Q si y sólo si la proposición no P o Q es una tautología .
Por tanto, modus ponens , [P ∧ (P → Q)] ⇒ Q, es una conclusión lógica válida según la definición de implicación lógica que acabamos de exponer. Demostrar la implicación lógica simplemente se traduce en verificar que la tabla de verdad compuesta produce una tautología. Pero la tortuga no acepta por fe las reglas de la lógica proposicional en las que se basa esta explicación. Pide que también estas reglas estén sujetas a una prueba lógica. La tortuga y Aquiles no coinciden en ninguna definición de implicación lógica.
Además, la historia insinúa problemas con la solución proposicional. Dentro del sistema de lógica proposicional, ninguna proposición o variable tiene contenido semántico. En el momento en que cualquier proposición o variable adquiere contenido semántico, el problema vuelve a surgir porque el contenido semántico corre fuera del sistema. Por lo tanto, si se puede decir que la solución funciona, entonces se debe decir que funciona únicamente dentro del sistema formal dado, y no de otro modo.
Algunos lógicos (Kenneth Ross, Charles Wright) establecen una firme distinción entre el conectivo condicional y la relación de implicación . Estos lógicos usan la frase no p o q para el conectivo condicional y el término implica para una relación de implicación afirmada.
Varios filósofos han intentado resolver la paradoja de Carroll. Bertrand Russell analizó brevemente la paradoja en el § 38 de Los principios de las matemáticas (1903), distinguiendo entre implicación (asociada con la forma "si p , entonces q "), que consideraba una relación entre proposiciones no afirmadas , e inferencia (asociada con la forma " p , luego q "), que consideraba una relación entre proposiciones afirmadas ; Habiendo hecho esta distinción, Russell podría negar el intento de la Tortuga de tratar la inferencia de Z a partir de A y B como equivalente o dependiente de aceptar el hipotético "Si A y B son verdaderos, entonces Z es verdadero".
Peter Winch , un filósofo wittgensteiniano , analizó la paradoja en La idea de una ciencia social y su relación con la filosofía (1958), donde argumentó que la paradoja demostraba que "el proceso real de sacar una inferencia, que después de todo está en el corazón de la lógica, es algo que no puede representarse como una fórmula lógica... Aprender a inferir no es sólo una cuestión de que se le enseñe acerca de las relaciones lógicas explícitas entre proposiciones; es aprender a hacer algo" (p. 57). Winch continúa sugiriendo que la moraleja del diálogo es un caso particular de una lección general, en el sentido de que la aplicación adecuada de las reglas que rigen una forma de actividad humana no puede resumirse en un conjunto de reglas adicionales , por lo que "una forma de actividad humana nunca puede resumirse en un conjunto de preceptos explícitos" (p. 53).
El diálogo de Carroll es aparentemente la primera descripción de un obstáculo al convencionalismo sobre la verdad lógica, [1] posteriormente reelaborado en términos filosóficos más sobrios por WVO Quine . [2]
Lewis Carroll (abril de 1895). "Lo que la tortuga le dijo a Aquiles". Mente . IV (14): 278–280. doi :10.1093/mente/IV.14.278.
Reimpreso:
El texto completo de Lo que la tortuga le dijo a Aquiles en Wikisource.Como audio:
Lo que la tortuga le dijo a Aquiles audiolibro de dominio público en LibriVox