Contraposición

Concepto de lógica matemática

En lógica y matemáticas , contraposición o transposición se refiere a la inferencia de pasar de un enunciado condicional a su contrapositivo lógicamente equivalente , y un método de prueba asociado conocido como § Prueba por contrapositivo. El contrapositivo de un enunciado tiene su antecedente y consecuente invertidos y volteados .

Sentencia condicional . En fórmulas : el contrapositivo dees. ^[1] ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Si P , entonces Q. - Si no es Q , entonces no es P. " Si llueve, entonces me pongo el abrigo" - "Si no me pongo el abrigo, entonces no llueve".

La ley de la contraposición dice que un enunciado condicional es verdadero si y sólo si su contrapositivo es verdadero. ^[2]

El contrapositivo ( ) se puede comparar con otras tres afirmaciones: ${\displaystyle \neg Q\rightarrow \neg P}$

Inversión (la inversa ), ${\displaystyle \neg P\rightarrow \neg Q}$

"Si no llueve, entonces no uso el abrigo ". A diferencia del contrapositivo, el valor de verdad de la inversa no depende en absoluto de si la proposición original era verdadera o no, como se evidencia aquí.

Conversión (lo contrario ), ${\displaystyle Q\rightarrow P}$

"Si me pongo el abrigo, entonces está lloviendo ". Lo inverso es en realidad el contrapositivo de lo inverso y, por lo tanto, siempre tiene el mismo valor de verdad que lo inverso (que, como se indicó anteriormente, no siempre comparte el mismo valor de verdad que el de la proposición original).

Negación (el complemento lógico ), ${\displaystyle \neg (P\rightarrow Q)}$

" No es el caso de que si está lloviendo entonces me pongo el abrigo ", o de manera equivalente, " A veces, cuando llueve, no me pongo el abrigo ". Si la negación es verdadera, entonces la proposición original ( y por extensión el contrapositivo) es falso.

Tenga en cuenta que si es verdadero y se da uno que es falso (es decir, ), entonces se puede concluir lógicamente que también debe ser falso (es decir, ). Esto a menudo se denomina ley de contrapositiva o regla de inferencia modus tollens . ^[3] ${\displaystyle P\rightarrow Q}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \neg P}$

Explicación intuitiva

En el diagrama de Euler que se muestra, si algo está en A, también debe estar en B. Entonces podemos interpretar "todo A está en B" como:

${\displaystyle A\to B}$

También está claro que cualquier cosa que no esté dentro de B (la región azul) tampoco puede estar dentro de A. Esta afirmación, que se puede expresar como:

${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

es la contrapositiva de la afirmación anterior. Por lo tanto, se puede decir que

${\displaystyle (A\to B)\leftrightarrow (\neg B\to \neg A).}$

En la práctica, esta equivalencia se puede utilizar para facilitar la demostración de una afirmación. Por ejemplo, si uno desea demostrar que todas las niñas en los Estados Unidos (A) tienen cabello castaño (B), puede intentar demostrarlo directamente comprobando que todas las niñas en los Estados Unidos efectivamente tienen cabello castaño, o intentar demostrar que todas las niñas en los Estados Unidos tienen cabello castaño (B). Pruébelo verificando que todas las niñas sin cabello castaño estén fuera de los EE. UU. En particular, si uno encontrara al menos una chica sin cabello castaño en los EE. UU., entonces lo habría refutado , y de manera equivalente . ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$ ${\displaystyle A\to B}$

En general, para cualquier declaración donde A implica B , no B siempre implica no A. Como resultado, probar o refutar cualquiera de estas afirmaciones automáticamente prueba o refuta la otra, ya que son lógicamente equivalentes entre sí.

Definicion formal

Una proposición Q está implicada por una proposición P cuando se cumple la siguiente relación:

${\displaystyle (P\to Q)}$

Esto establece que "si , entonces ", o "si Sócrates es un hombre , entonces Sócrates es humano ". En un condicional como este, es el antecedente y es el consecuente . Un enunciado es contrapositivo del otro sólo cuando su antecedente es el consecuente negado del otro, y viceversa. Así, un contrapositivo generalmente toma la forma de: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle (\neg Q\to \neg P).}$

Es decir, "Si no- , entonces no- ", o, más claramente, "Si no es el caso, entonces P no es el caso". Usando nuestro ejemplo, esto se traduce como "Si Sócrates no es humano , entonces Sócrates no es un hombre ". Se dice que esta afirmación está contrapuesta a la original y es lógicamente equivalente a ella. Por su equivalencia lógica , afirmar uno efectivamente afirma el otro; cuando uno es verdadero , el otro también es verdadero, y cuando uno es falso, el otro también es falso. ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

En rigor, una contraposición sólo puede existir en dos condicionales simples. Sin embargo, también puede existir una contraposición en dos condicionales universales complejos, si son similares. Por lo tanto , o "Todos los s son s", se contrapone a o "Todos los no -s son no- s". ^[4] ${\displaystyle \forall {x}(P{x}\to Q{x})}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle \forall {x}(\neg Q{x}\to \neg P{x})}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$

Notación secuencial

La regla de transposición puede expresarse como un secuente :

${\displaystyle (P\to Q)\vdash (\neg Q\to \neg P),}$

donde hay un símbolo metalógico que significa que es una consecuencia sintáctica de en algún sistema lógico; o como regla de inferencia: ${\displaystyle \vdash }$ ${\displaystyle (\neg Q\to \neg P)}$ ${\displaystyle (P\to Q)}$

${\displaystyle {\frac {P\to Q}{\therefore \neg Q\to \neg P}},}$

donde la regla es que siempre que aparezca una instancia de " " en una línea de una prueba, se puede reemplazar con " "; o como el enunciado de una tautología funcional de verdad o un teorema de lógica proposicional. El principio fue enunciado como un teorema de la lógica proposicional por Russell y Whitehead en Principia Mathematica como ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

${\displaystyle (P\to Q)\to (\neg Q\to \neg P),}$

donde y son proposiciones expresadas en algún sistema formal . ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

Pruebas

Prueba simple por definición de condicional

En lógica de primer orden , el condicional se define como:

${\displaystyle A\to B\,\leftrightarrow \,\neg A\lor B}$

que puede hacerse equivalente a su contrapositivo, de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}\neg A\lor B\,&\,\leftrightarrow B\lor \neg A\\\,&\,\leftrightarrow \neg B\to \neg A\end{aligned}}}$

Prueba simple por contradicción

Dejar:

${\displaystyle (A\to B)\land \neg B}$

Se da que, si A es verdadera, entonces B es verdadera, y también se da que B no es verdadera. Entonces podemos demostrar que A no debe ser verdadero por contradicción. Porque si A fuera verdadero, entonces B también tendría que ser verdadero (por Modus Ponens ). Sin embargo, dado que B no es cierto, tenemos una contradicción. Por lo tanto, A no es verdadera (asumiendo que estamos tratando con afirmaciones bivalentes que son verdaderas o falsas):

${\displaystyle (A\to B)\to (\neg B\to \neg A)}$

Podemos aplicar el mismo proceso al revés, comenzando con los supuestos de que:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\land A}$

Aquí también sabemos que B es verdadero o no. Si B no es cierto, entonces A tampoco lo es. Sin embargo, dado que A es verdadero, entonces la suposición de que B no es verdadero conduce a una contradicción, lo que significa que no es cierto que B no sea verdadero. Por tanto, B debe ser cierto:

${\displaystyle (\neg B\to \neg A)\to (A\to B)}$

Combinando los dos enunciados probados, obtenemos la buscada equivalencia lógica entre un condicional y su contrapositivo:

${\displaystyle (A\to B)\equiv (\neg B\to \neg A)}$

Pruebas más rigurosas de la equivalencia de los contrapositivos

La equivalencia lógica entre dos proposiciones significa que son verdaderas juntas o falsas juntas. Para demostrar que los contrapositivos son lógicamente equivalentes , debemos comprender cuándo la implicación material es verdadera o falsa.

${\displaystyle P\to Q}$

Esto sólo es falso cuando es verdadero y es falso. Por lo tanto, podemos reducir esta proposición al enunciado "Falso cuando y no- " (es decir, "Verdadero cuando no es el caso que y no- "): ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg (P\land \neg Q)}$

Los elementos de una conjunción se pueden invertir sin efecto (por conmutatividad ):

${\displaystyle \neg (\neg Q\land P)}$

Definimos como igual a " ", y como igual a (de esto, es igual a , que es igual a justo ): ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle \neg Q}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \neg P}$ ${\displaystyle \neg S}$ ${\displaystyle \neg \neg P}$ ${\displaystyle P}$

${\displaystyle \neg (R\land \neg S)}$

Esto dice "No es el caso que ( R es verdadero y S es falso)", que es la definición de un condicional material. Entonces podemos hacer esta sustitución:

${\displaystyle R\to S}$

Al revertir R y S nuevamente en y , obtenemos el contrapositivo deseado: ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle Q}$

${\displaystyle \neg Q\to \neg P}$

En el sistema de cálculo proposicional clásico

En los sistemas deductivos de lógica proposicional al estilo de Hilbert, sólo un lado de la transposición se toma como axioma y el otro como teorema. Describimos una demostración de este teorema en el sistema de tres axiomas propuesto por Jan Łukasiewicz :

A1. ${\displaystyle \phi \to \left(\psi \to \phi \right)}$

A2. ${\displaystyle \left(\phi \to \left(\psi \rightarrow \xi \right)\right)\to \left(\left(\phi \to \psi \right)\to \left(\phi \to \xi \right)\right)}$

A3. ${\displaystyle \left(\lnot \phi \to \lnot \psi \right)\to \left(\psi \to \phi \right)}$

(A3) ya da una de las direcciones de la transposición. El otro lado, se prueba a continuación, utilizando los siguientes lemas probados aquí : ${\displaystyle (\psi \to \phi )\to (\neg \phi \to \neg \psi )}$

(DN1) - Doble negación (una dirección) ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$

(DN2) - Doble negación (otra dirección) ${\displaystyle p\to \neg \neg p}$

(HS1) - una forma de silogismo hipotético ${\displaystyle (q\to r)\to ((p\to q)\to (p\to r))}$

(HS2) - otra forma de silogismo hipotético. ${\displaystyle (p\to q)\to ((q\to r)\to (p\to r))}$

También utilizamos el método del metateorema del silogismo hipotético como abreviatura de varios pasos de demostración.

La prueba es como sigue:

1. ${\displaystyle q\to \neg \neg q}$       (instancia del (DN2))
2. ${\displaystyle (q\to \neg \neg q)\to ((p\to q)\to (p\to \neg \neg q))}$       (instancia del (HS1)
3. ${\displaystyle (p\to q)\to (p\to \neg \neg q)}$       (de (1) y (2) por modus ponens)
4. ${\displaystyle \neg \neg p\to p}$       (instancia del (DN1))
5. ${\displaystyle (\neg \neg p\to p)\to ((p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q))}$       (instancia del (HS2))
6. ${\displaystyle (p\to \neg \neg q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$       (de (4) y (5) por modus ponens)
7. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg \neg p\to \neg \neg q)}$       (de (3) y (6) usando el metateorema del silogismo hipotético)
8. ${\displaystyle (\neg \neg p\to \neg \neg q)\to (\neg q\to \neg p)}$       (instancia de (A3))
9. ${\displaystyle (p\to q)\to (\neg q\to \neg p)}$       (de (7) y (8) usando el metateorema del silogismo hipotético)

Comparaciones

Ejemplos

Tomemos como ejemplo la afirmación " Todos los objetos rojos tienen color ". Esto se puede expresar de manera equivalente como " Si un objeto es rojo, entonces tiene color " .

• El contrapositivo es " Si un objeto no tiene color, entonces no es rojo ". Esto se desprende lógicamente de nuestra afirmación inicial y, al igual que ésta, es evidentemente cierto.
• Lo inverso es " Si un objeto no es rojo, entonces no tiene color ". Un objeto que es azul no es rojo y aún tiene color. Por tanto, en este caso lo inverso es falso.
• Lo contrario es " Si un objeto tiene color, entonces es rojo ". Los objetos pueden tener otros colores, por lo que lo contrario de nuestra afirmación es falso.
• La negación es " Existe un objeto rojo que no tiene color ". Esta afirmación es falsa porque la afirmación inicial que niega es verdadera.

En otras palabras, el contrapositivo es lógicamente equivalente a un enunciado condicional dado , aunque no es suficiente para un bicondicional .

De manera similar, tomemos la afirmación " Todos los cuadriláteros tienen cuatro lados ", o expresada de manera equivalente " Si un polígono es un cuadrilátero, entonces tiene cuatro lados " .

• El contrapositivo es " Si un polígono no tiene cuatro lados, entonces no es un cuadrilátero ". Esto se sigue lógicamente y, por regla general, los contrapositivos comparten el valor de verdad de su condicional.
• La inversa es " Si un polígono no es un cuadrilátero, entonces no tiene cuatro lados ". En este caso, a diferencia del último ejemplo, la inversa de la afirmación es verdadera.
• Lo contrario es " Si un polígono tiene cuatro lados, entonces es un cuadrilátero ". Nuevamente, en este caso, a diferencia del último ejemplo, lo contrario de la afirmación es verdadero.
• La negación es " Existe al menos un cuadrilátero que no tiene cuatro lados ". Esta afirmación es claramente falsa.

Dado que tanto el enunciado como el inverso son verdaderos, se llama bicondicional y se puede expresar como " Un polígono es un cuadrilátero si, y sólo si, tiene cuatro lados ". (La frase si y sólo si a veces se abrevia como iff .) Es decir, tener cuatro lados es necesario para ser un cuadrilátero y por sí solo es suficiente para considerarlo un cuadrilátero.

Verdad

• Si un enunciado es verdadero, entonces su contrapositivo es verdadero (y viceversa).
• Si un enunciado es falso, entonces su contrapositivo es falso (y viceversa).
• Si lo inverso de una afirmación es verdadero, entonces su inverso es verdadero (y viceversa).
• Si la inversa de una afirmación es falsa, entonces su inversa es falsa (y viceversa).
• Si la negación de un enunciado es falsa, entonces el enunciado es verdadero (y viceversa).
• Si un enunciado (o su contrapositivo) y el inverso (o el inverso) son ambos verdaderos o ambos falsos, entonces se conoce como bicondicional lógico .

Lógica tradicional

En la lógica tradicional , la contraposición es una forma de inferencia inmediata en la que una proposición se infiere de otra y donde la primera tiene por sujeto el contradictorio del predicado de la proposición lógica original . En algunos casos, la contraposición implica un cambio de la cualidad de la primera (es decir, afirmación o negación). ^[5] Para su expresión simbólica en la lógica moderna, véase la regla de transposición . La contraposición también tiene una aplicación filosófica distinta de los otros procesos de inferencia tradicionales de conversión y obversión donde la equivocación varía con los diferentes tipos de proposiciones.

En la lógica tradicional , el proceso de contraposición es un esquema compuesto de varios pasos de inferencia que involucran proposiciones y clases categóricas . ^[6] Una proposición categórica contiene un sujeto y un predicado donde el impacto existencial de la cópula implica que la proposición se refiere a una clase con al menos un miembro , en contraste con la forma condicional de las proposiciones hipotéticas o materialmente implicativas , que son compuestos de otras proposiciones, por ejemplo, "Si P, entonces Q" (P y Q son ambas proposiciones), y su impacto existencial depende de otras proposiciones donde se ejemplifica la existencia de cuantificación (ejemplificación existencial), no de las proposiciones hipotéticas o materialmente implicativas en sí mismas.

La contraposición completa es el intercambio y la negación simultáneos del sujeto y el predicado, y es válida sólo para las proposiciones de tipo "A" y tipo "O" de la lógica aristotélica , mientras que es condicionalmente válida para las proposiciones de tipo "E" si se produce un cambio en la cantidad. Se hace de lo universal a lo particular ( contraposición parcial ). Dado que el anverso válido se obtiene para los cuatro tipos (tipos A, E, I y O) de proposiciones tradicionales, lo que produce proposiciones con el predicado contradictorio del predicado original, la contraposición (completa) se obtiene convirtiendo el obverso de la proposición original. . Para las declaraciones "E", se puede obtener una contraposición parcial realizando además un cambio en la cantidad. Debido a que en la definición de contraposición no se dice nada con respecto al predicado de la proposición inferida , ésta puede ser el sujeto original o su contradictorio, resultando dos contrapositivos que son los obversos uno del otro en la "A", "O". ", y proposiciones tipo "E". ^[7]

Por ejemplo: de una proposición categórica original tipo 'A',

Todos los residentes son votantes ,

que presupone que todas las clases tienen miembros y el significado existencial se presume en forma de proposiciones categóricas, se puede derivar primero por obversión la proposición de tipo 'E',

Ningún residente es no votante .

La contrapositiva de la proposición original se deriva luego mediante conversión a otra proposición de tipo 'E',

Ningún no votante es residente .

El proceso se completa con una mayor obversión que da como resultado la proposición de tipo 'A' que es la contrapositiva obvertida de la proposición original.

Todos los no votantes son no residentes .

El esquema de contraposición: ^[8]

Observe que la contraposición es una forma válida de inferencia inmediata sólo cuando se aplica a las proposiciones "A" y "O". No es válido para proposiciones "I", donde el anverso es una proposición "O" que no tiene un inverso válido . La contraposición de la proposición "E" sólo es válida con limitaciones ( per accidens ). Esto se debe a que el anverso de la proposición "E" es una proposición "A" que no puede convertirse válidamente excepto por limitación, es decir, contraposición más un cambio en la cantidad de la proposición de universal a particular .

Además, observe que la contraposición es un método de inferencia que puede requerir el uso de otras reglas de inferencia. El contrapositivo es producto del método de contraposición, con diferentes resultados dependiendo de si la contraposición es total o parcial. Las sucesivas aplicaciones de conversión y obversión dentro del proceso de contraposición pueden recibir diversos nombres.

El proceso de equivalencia lógica de un enunciado y su contrapositivo tal como se define en la lógica de clases tradicional no es uno de los axiomas de la lógica proposicional . En la lógica tradicional se infiere más de un contrapositivo de cada enunciado original. Con respecto a la proposición "A", esto se elude en el simbolismo de la lógica moderna mediante la regla de transposición o ley de contraposición. En su uso técnico dentro del campo de la lógica filosófica, el término "contraposición" puede ser limitado por los lógicos (por ejemplo, Irving Copi , Susan Stebbing ) a la lógica tradicional y las proposiciones categóricas. En este sentido, el uso del término "contraposición" suele denominarse "transposición" cuando se aplica a proposiciones hipotéticas o implicaciones materiales.

Forma de transposición

En la proposición inferida, el consecuente es el contradictorio del antecedente de la proposición original, y el antecedente de la proposición inferida es el contradictorio del consecuente de la proposición original. El símbolo de implicación material significa la proposición como una forma hipotética o "si-entonces", por ejemplo, "si P , entonces Q ".

El enunciado bicondicional de la regla de transposición (↔) se refiere a la relación entre proposiciones hipotéticas (→) , donde cada proposición incluye un término antecedente y consecuente. Como cuestión de inferencia lógica, transponer o convertir los términos de una proposición requiere la conversión de los términos de las proposiciones en ambos lados de la relación bicondicional, lo que significa que transponer o convertir ( P → Q ) a ( Q → P ) requiere que la otra proposición, (¬ Q → ¬ P ), debe transponerse o convertirse a (¬ P → ¬ Q ). De lo contrario, convertir los términos de una proposición y no la otra invalida la regla, violando la condición suficiente y la condición necesaria de los términos de las proposiciones, donde la violación es que la proposición cambiada comete la falacia de negar el antecedente o afirmar el consecuente. mediante conversión ilícita .

La verdad de la regla de transposición depende de las relaciones de condición suficiente y condición necesaria en lógica.

Condición suficiente

En la proposición "Si P , entonces Q ", la aparición de P es razón suficiente para la aparición de Q. P , como individuo o clase, implica materialmente a Q , pero la relación de Q con P es tal que la proposición inversa "Si Q , entonces P " no tiene necesariamente una condición suficiente. La regla de inferencia para una condición suficiente es modus ponens , que es un argumento a favor de la implicación condicional:

1. Premisa (1): Si P , entonces Q
2. Premisa (2): P
3. Conclusión: Por lo tanto, Q

Condición necesaria

Dado que lo contrario de la premisa (1) no es válido, todo lo que se puede afirmar de la relación de P y Q es que en ausencia de Q , P no ocurre, lo que significa que Q es la condición necesaria para P. La regla de inferencia para la condición necesaria es modus tollens :

1. Premisa (1): Si P , entonces Q
2. Premisa (2): no Q
3. Conclusión: Por lo tanto, no P

Ejemplo de necesidad y suficiencia

Un ejemplo tradicionalmente utilizado por los lógicos que contrastan condiciones suficientes y necesarias es la afirmación "Si hay fuego, entonces hay oxígeno". Un ambiente oxigenado es necesario para el incendio o la combustión, pero el simple hecho de que exista un ambiente oxigenado no significa necesariamente que se esté produciendo un incendio o una combustión. Si bien se puede inferir que el fuego estipula la presencia de oxígeno, de la presencia de oxígeno no se puede inferir lo contrario: "Si hay oxígeno presente, entonces hay fuego". Todo lo que se puede inferir de la proposición original es que "si no hay oxígeno, entonces no puede haber fuego".

Relación de proposiciones

El símbolo del bicondicional ("↔") significa que la relación entre las proposiciones es a la vez necesaria y suficiente, y se verbaliza como " si y sólo si ", o, según el ejemplo "Si P , entonces Q ' si y sólo si ' si no es Q , entonces no es P ".

Las condiciones necesarias y suficientes pueden explicarse por analogía en términos de los conceptos y las reglas de inferencia inmediata de la lógica tradicional. En la proposición categórica "Todo S es P ", se dice que el término sujeto S está distribuido, es decir, todos los miembros de su clase están agotados en su expresión. A la inversa, no se puede decir que el término predicado P esté distribuido o agotado en su expresión porque es indeterminado si cada instancia de un miembro de P como clase es también miembro de S como clase. Todo lo que se puede inferir válidamente es que "algunos P son S ". Por tanto, la proposición de tipo "A" "Todo P es S " no puede inferirse mediante conversión de la proposición de tipo "A" original "Todo S es P ". Todo lo que se puede inferir es la proposición de tipo "A" "Todo lo que no es P es no S " (tenga en cuenta que ( P → Q ) y (¬ Q → ¬ P ) son proposiciones de tipo "A". Gramaticalmente, no se puede inferir "todos los mortales son hombres" de "Todos los hombres son mortales". Una proposición de tipo "A" sólo puede inferirse inmediatamente mediante conversión cuando tanto el sujeto como el predicado están distribuidos, como en la inferencia "Todos los solteros son hombres solteros" a partir de "Todos los hombres solteros son solteros".

Distinguido de la transposición

Si bien la mayoría de los autores utilizan los términos para lo mismo, algunos distinguen la transposición de la contraposición. En la lógica tradicional el proceso de razonamiento de transposición como regla de inferencia se aplica a proposiciones categóricas mediante contraposición y obversión , ^[9] una serie de inferencias inmediatas donde la regla de obversión se aplica primero a la proposición categórica original "Todo S es P " ; dando como resultado el anverso "No S es no P ". En la conversión de la proposición original a una proposición tipo "E", ambos términos quedan distribuidos. Luego se convierte el anverso, lo que da como resultado "Ningún distinto de P es S ", manteniendo la distribución de ambos términos. El "Ningún no- P es S " se obvierte nuevamente, lo que resulta en el [contrapositivo] "Todo lo que no es P es no- S ". Dado que en la definición de contraposición no se dice nada con respecto al predicado de la proposición inferida, es permisible que pueda ser el sujeto original o su contradictorio, y el término predicado de la proposición de tipo "A" resultante nuevamente no está distribuido. Esto da como resultado dos contrapositivos, uno donde el término predicado está distribuido y otro donde el término predicado no está distribuido. ^[10]

La contraposición es un tipo de inferencia inmediata en la que de una proposición categórica dada se infiere otra proposición categórica que tiene como sujeto el contradictorio del predicado original. Como en la definición de contraposición no se dice nada respecto del predicado de la proposición inferida, es lícito que pueda ser el sujeto original o su contradictorio. Esto contrasta con la forma de las proposiciones de transposición, que pueden ser una implicación material o una afirmación hipotética. La diferencia es que en su aplicación a proposiciones categóricas el resultado de la contraposición son dos contrapositivos, siendo cada uno el obverso del otro, ^[11] es decir, "Ningún no- P es S " y "Todo lo que no es P es no -S ". La distinción entre los dos contrapositivos es absorbida y eliminada en el principio de transposición, que presupone las "inferencias mediatas" ^[12] de la contraposición y también se denomina "ley de contraposición". ^[13]

Prueba por contrapositiva

Debido a que el contrapositivo de un enunciado siempre tiene el mismo valor de verdad (verdad o falsedad) que el enunciado mismo, puede ser una herramienta poderosa para demostrar teoremas matemáticos (especialmente si la verdad del contrapositivo es más fácil de establecer que la verdad del enunciado). sí mismo). Una prueba por contrapositiva es una prueba directa de la contrapositiva de un enunciado. ^[14] Sin embargo, también se pueden utilizar métodos indirectos como la prueba por contradicción con la contraposición, como, por ejemplo, en la prueba de la irracionalidad de la raíz cuadrada de 2 . Mediante la definición de número racional , se puede afirmar que " si es racional, entonces se puede expresar como una fracción irreducible ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ". Esta afirmación es cierta porque es una reformulación de una definición. La contrapositiva de esta afirmación es " Si no se puede expresar como una fracción irreducible, entonces no es racional ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ". Esta contrapositiva, como la afirmación original, también es cierta. Por lo tanto, si se puede demostrar que no se puede expresar como una fracción irreducible, entonces debe darse el caso de que no es un número racional. Esto último puede demostrarse por contradicción. ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$

El ejemplo anterior empleó la contrapositiva de una definición para demostrar un teorema. También se puede demostrar un teorema demostrando el contrapositivo del enunciado del teorema. Para demostrar que si un entero positivo N es un número no cuadrado , su raíz cuadrada es irracional , podemos demostrar de manera equivalente su contrapositivo, que si un entero positivo N tiene una raíz cuadrada que es racional, entonces N es un número cuadrado. Esto se puede demostrar estableciendo √ N igual a la expresión racional a/b siendo a y b números enteros positivos sin factor primo común, y elevando al cuadrado para obtener N = a ² / b ² y observando que dado que N es un número entero positivo b =1 de modo que N = a ² , un número cuadrado.

En matemáticas , la prueba por contrapositivo , o prueba por contraposición, es una regla de inferencia utilizada en las pruebas , donde se infiere un enunciado condicional a partir de su contrapositivo. ^[15] En otras palabras, la conclusión "si A , entonces B " se infiere construyendo una prueba de la afirmación "si no B , entonces no A ". En la mayoría de los casos, se prefiere este enfoque si el contrapositivo es más fácil de probar que el enunciado condicional original en sí.

Lógicamente, la validez de la prueba por contrapositiva se puede demostrar mediante el uso de la siguiente tabla de verdad , donde se muestra que p → q y q → p comparten los mismos valores de verdad en todos los escenarios: ${\displaystyle \lnot }$ ${\displaystyle \lnot }$

Diferencia con prueba por contradicción.

Prueba por contradicción : Suponga (por contradicción) quees cierto. Utilice esta suposición para demostrar una contradicción . De ello se deduce quees falso y tambiénlo es. ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle \neg A}$ ${\displaystyle A}$

Prueba por contrapositiva : Para demostrar , probar su enunciado contrapositivo, que es . ${\displaystyle A\to B}$ ${\displaystyle \neg B\to \neg A}$

Ejemplo

Sea un número entero. ${\displaystyle x}$

Para demostrar: si es par, entonces es par. ${\displaystyle x^{2}}$ ${\displaystyle x}$

Aunque se puede dar una prueba directa , optamos por probar esta afirmación por contraposición. La contrapositiva de la afirmación anterior es:

Si no es par, entonces no es par. ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Esta última afirmación se puede demostrar de la siguiente manera: supongamos que x no es par, entonces x es impar. El producto de dos números impares es impar, por tanto es impar. Por lo tanto , ni siquiera. ${\displaystyle x^{2}=x\cdot x}$ ${\displaystyle x^{2}}$

Una vez demostrado el contrapositivo, podemos inferir que el enunciado original es verdadero. ^[dieciséis]

En lógica no clásica

Lógica intuicionista

En lógica intuicionista , no se puede demostrar que la afirmación sea equivalente a . Podemos probar que implica , pero la implicación inversa, de a , requiere la ley del tercero excluido o un axioma equivalente. ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$ ${\displaystyle P\to Q}$

Lógica subjetiva

La contraposición representa un ejemplo del teorema subjetivo de Bayes en lógica subjetiva expresado como:

${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})=(\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})\,{\widetilde {\phi \,}}\,a_{P}\,,}$

donde denota un par de opiniones condicionales binomiales dadas por fuente . El parámetro denota la tasa base (también conocida como probabilidad previa ) de . Se denota el par de opiniones condicionales invertidas derivadas . La opinión condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO la fuente puede asignar cualquier opinión subjetiva al enunciado. El caso en el que es una opinión absolutamente VERDADERA es equivalente a que la fuente diga que es VERDADERA, y el caso en el que es una opinión absolutamente FALSA es equivalente a que la fuente diga que es FALSA. En el caso de que la opinión condicional sea VERDADERA absoluta, el operador subjetivo del teorema de Bayes de la lógica subjetiva produce una opinión condicional derivada FALSA absoluta y, por lo tanto, una opinión condicional derivada VERDADERA absoluta que equivale a ser VERDADERA. Por tanto, el teorema subjetivo de Bayes representa una generalización tanto de la contraposición como del teorema de Bayes . ^[17] ${\displaystyle (\omega _{Q|P}^{A},\omega _{Q|\lnot P}^{A})}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{P}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle (\omega _{P{\tilde {|}}Q}^{A},\omega _{P{\tilde {|}}\lnot Q}^{A})}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q\mid P}^{A}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \omega _{Q|P}^{A}}$ ${\displaystyle {\widetilde {\phi \,}}}$ ${\displaystyle \omega _{P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$ ${\displaystyle \omega _{\lnot P{\widetilde {|}}\lnot Q}^{A}}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

En la teoría de la probabilidad

La contraposición representa un ejemplo del teorema de Bayes que de forma específica se puede expresar como:

${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)={\frac {\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)}{\Pr(\lnot Q\mid \lnot P)\,a(\lnot P)+\Pr(\lnot Q\mid P)\,a(P)}}.}$

En la ecuación anterior, la probabilidad condicional generaliza el enunciado lógico , es decir, además de asignar VERDADERO o FALSO también podemos asignar cualquier probabilidad al enunciado. El término denota la tasa base (también conocida como la probabilidad previa ) de . Supongamos que eso equivale a ser VERDADERO y que equivale a ser FALSO. Entonces es fácil ver que cuando es decir, cuando es VERDADERO. Esto se debe a que la fracción en el lado derecho de la ecuación anterior es igual a 1 y, por lo tanto, equivale a ser VERDADERA. Por tanto, el teorema de Bayes representa una generalización de la contraposición . ^[18] ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle a(P)}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle P\to \lnot Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$ ${\displaystyle \Pr(Q\mid P)=1}$ ${\displaystyle P\to Q}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot Q\mid P)=1-\Pr(Q\mid P)=0}$ ${\displaystyle \Pr(\lnot P\mid \lnot Q)=1}$ ${\displaystyle \lnot Q\to \lnot P}$

Ver también

• Reducción al absurdo
• Equivalencia lógica

Referencias

1. "Definición de CONTRAPOSITIVO". www.merriam-webster.com . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
2. "La ley de la contraposición". beisecker.faculty.unlv.edu . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
3. "Modus ponens y modus tollens | lógica". Enciclopedia Británica . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
4. "Predicados y enunciados cuantificados II". www.csm.ornl.gov . Consultado el 26 de noviembre de 2019 .
5. Brody, Bobuch A. "Glosario de términos lógicos". Enciclopedia de Filosofía . vol. 5-6, pág. 61. Macmillan, 1973. Además, Stebbing, L. Susan. Una introducción moderna a la lógica . Séptima edición, p.65-66. Harper, 1961, e Introducción a la lógica de Irving Copi , p. 141, Macmillan, 1953. Todas las fuentes dan definiciones prácticamente idénticas.
6. Introducción a la lógica de Irving Copi , págs. 123-157, Macmillan, 1953.
7. Brody, pag. 61. Macmillan, 1973. Además, Stebbing, p.65-66, Harper, 1961 y Copi, p. 141-143, Macmillan, 1953.
8. Stebbing, L. Susan. Una introducción moderna a la lógica . Séptima edición, pág. 66. Harper, 1961.
9. Stebbing 1961, págs. 65–66. Para una referencia al paso inicial de la contraposición como obversión y conversión, véase Copi 1953, p. 141.
10. Véase Stebbing 1961, págs. 65–66. Además, para referencia a las inferencias inmediatas de obversión, conversión y nuevamente obversión, véase Copi 1953, p. 141.
11. Véase Stebbing 1961, págs.66.
12. Para obtener una explicación de la absorción de la obversión y la conversión como "inferencias mediatas", consulte: Copi 1979, págs.
13. Antes de 1973.
14. Smith, Douglas; Eggen, Mauricio; St. Andre, Richard (2001), Una transición a las matemáticas avanzadas (5ª ed.), Brooks/Cole, p. 37, ISBN 0-534-38214-2
15. Cusick, Larry. "Pruebas por contrapositiva". zimmer.csufresno.edu . Consultado el 26 de octubre de 2019 .
16. Franklin, J .; A. Daoud (2011). Prueba en matemáticas: una introducción. Sídney: Libros de Kew. ISBN 978-0-646-54509-7.(pág. 50).
17. Audun Jøsang 2016:92
18. Audun Jøsang 2016:2

• Brody, Bobuch A. (1973). "Glosario de términos lógicos". Enciclopedia de Filosofía . vol. 5–6. Macmillan. pag. 61 y sigs.
• Copi, Irving M. (1953). Introducción a la Lógica. Macmillan.
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl (2005). Introducción a la Lógica . Prentice Hall.
• Copi, Irving M.; Cohen, Carl; Rodych, Víctor (2016). Introducción a la Lógica. Taylor y Francisco. ISBN 978-1-315-51087-3.
• Copi, Irving M. (1979). Lógica simbólica (5ª ed.). MacMillan.
• Hurley, Patrick J. (2011). Una introducción concisa a la lógica (11ª ed.). Aprendizaje Cengage. ISBN 9780840034175.
• Moore, Brooke Noel; Parker, Richard Burl (2020) [1986]. Pensamiento crítico (13ª ed.). Ciudad de Nueva York: McGraw-Hill Education. ISBN 978-1-260-80787-5. OCLC  1122695276.
• Antes, Arthur Norman (1973). "Lógica Tradicional". Enciclopedia de Filosofía . vol. 5. Macmillan.
• Stebbing, L. Susan (1961). Una introducción moderna a la lógica (7ª ed.). Harper.

Fuentes

• Audun Jøsang, 2016, Lógica subjetiva; Un formalismo para el razonamiento bajo incertidumbre Springer, Cham, ISBN 978-3-319-42337-1 
• Blumberg, Albert E. "Lógica moderna". Enciclopedia de Filosofía , Vol.5, Macmillan, 1973.
• Brody, Bobuch A. "Glosario de términos lógicos". Enciclopedia de Filosofía. vol. 5-6, pág. 61. Macmillan, 1973.
• Copia, Irving. Introducción a la Lógica . MacMillan, 1953.
• Copia, Irving. Lógica Simbólica . MacMillan, 1979, quinta edición.
• Prior, UNA "Lógica, Tradicional". Enciclopedia de Filosofía , Vol.5, Macmillan, 1973.
• Stebbing, Susan. Una introducción moderna a la lógica . Compañía Cromwell, 1931.

enlaces externos

• Medios relacionados con la contraposición en Wikimedia Commons
• Transposición inadecuada (archivos de falacias)