Regla de inferencia

En lógica y filosofía de la lógica , específicamente en el razonamiento deductivo , una regla de inferencia , regla de inferencia o regla de transformación es una forma lógica que consiste en una función que toma premisas, analiza su sintaxis y devuelve una conclusión (o conclusiones ).

Por ejemplo, la regla de inferencia llamada modus ponens toma dos premisas, una en la forma "Si p entonces q" y otra en la forma "p", y devuelve la conclusión "q". La regla es válida con respecto a la semántica de la lógica clásica (así como a la semántica de muchas otras lógicas no clásicas ), en el sentido de que si las premisas son verdaderas (según una interpretación), entonces también lo es la conclusión.

Por lo general, una regla de inferencia preserva la verdad, una propiedad semántica. En la lógica multivaluada , preserva una designación general. Pero la acción de una regla de inferencia es puramente sintáctica y no necesita preservar ninguna propiedad semántica: cualquier función de conjuntos de fórmulas a fórmulas cuenta como una regla de inferencia. Por lo general, solo son importantes las reglas que son recursivas ; es decir, reglas tales que existe un procedimiento efectivo para determinar si una fórmula dada es la conclusión de un conjunto dado de fórmulas de acuerdo con la regla. Un ejemplo de una regla que no es efectiva en este sentido es la regla infinitaria ω . ^[1]

Las reglas de inferencia más populares en lógica proposicional incluyen modus ponens , modus tollens y contraposición . La lógica de predicados de primer orden utiliza reglas de inferencia para tratar con cuantificadores lógicos .

Formulario estándar

En lógica formal (y muchas áreas relacionadas), las reglas de inferencia suelen darse en la siguiente forma estándar:

  Premisa #1
  Premisa #2
        ...
  Premisa #n
  Conclusión

Esta expresión establece que siempre que en el curso de una derivación lógica se hayan obtenido las premisas dadas, también se puede dar por sentada la conclusión especificada. El lenguaje formal exacto que se utiliza para describir tanto las premisas como las conclusiones depende del contexto real de las derivaciones. En un caso simple, se pueden utilizar fórmulas lógicas, como en:

A\to B

{\underline {A\quad \quad \quad }}\,\!

B\!

Esta es la regla del modus ponens de la lógica proposicional . Las reglas de inferencia se formulan a menudo como esquemas que emplean metavariables . ^[2] En la regla (esquema) anterior, las metavariables A y B pueden instanciarse en cualquier elemento del universo (o a veces, por convención, un subconjunto restringido como las proposiciones ) para formar un conjunto infinito de reglas de inferencia.

Un sistema de pruebas se forma a partir de un conjunto de reglas encadenadas para formar pruebas, también llamadas derivaciones . Toda derivación tiene una única conclusión final, que es el enunciado demostrado o derivado. Si en la derivación no se satisfacen las premisas, entonces la derivación es una prueba de un enunciado hipotético : " si las premisas se cumplen, entonces la conclusión se cumple".

Ejemplo: Sistemas de Hilbert para dos lógicas proposicionales

En un sistema de Hilbert , las premisas y la conclusión de las reglas de inferencia son simplemente fórmulas de algún lenguaje, que generalmente emplean metavariables. Para que la presentación sea más compacta y para enfatizar la distinción entre axiomas y reglas de inferencia, esta sección utiliza la notación secuencial ( ) en lugar de una presentación vertical de las reglas. En esta notación, $\vdash$

${\begin{array}{c}{\text{Premise }}1\\{\text{Premise }}2\\\hline {\text{Conclusion}}\end{array}}$

se escribe como . $({\text{Premise }}1),({\text{Premise }}2)\vdash ({\text{Conclusion}})$

El lenguaje formal de la lógica proposicional clásica se puede expresar utilizando únicamente la negación (¬), la implicación (→) y símbolos proposicionales. Una axiomatización bien conocida, que comprende tres esquemas axiomáticos y una regla de inferencia ( modus ponens ), es:

(CA1) ⊢ A → ( B → A ) 
(CA2) ⊢ ( A → ( B → C )) → (( A → B ) → ( A → C )) 
(CA3) ⊢ (¬ A → ¬ B ) → ( B → A ) 
(MP) A , A → B ⊢ B

Puede parecer redundante tener dos nociones de inferencia en este caso, ⊢ y →. En la lógica proposicional clásica, de hecho coinciden; el teorema de deducción establece que A ⊢ B si y solo si ⊢ A → B . Sin embargo, hay una distinción que vale la pena enfatizar incluso en este caso: la primera notación describe una deducción , es decir, una actividad de pasar de oraciones a oraciones, mientras que A → B es simplemente una fórmula hecha con un conectivo lógico , implicación en este caso. Sin una regla de inferencia (como modus ponens en este caso), no hay deducción ni inferencia. Este punto se ilustra en el diálogo de Lewis Carroll llamado " Lo que la tortuga le dijo a Aquiles ", ^[3] así como en los intentos posteriores de Bertrand Russell y Peter Winch de resolver la paradoja introducida en el diálogo.

En el caso de algunas lógicas no clásicas, el teorema de deducción no se cumple. Por ejemplo, la lógica trivalente de Łukasiewicz puede axiomatizarse como: ^[4]

(CA1) ⊢ A → ( B → A ) 
(LA2) ⊢ ( A → B ) → (( B → C ) → ( A → C )) 
(CA3) ⊢ (¬ A → ¬ B ) → ( B → A ) 
(LA4) ⊢ (( A → ¬ A ) → A ) → A

(MP) A , A → B ⊢ B

Esta secuencia difiere de la lógica clásica por el cambio en el axioma 2 y la adición del axioma 4. El teorema de deducción clásica no se cumple para esta lógica, sin embargo sí se cumple una forma modificada, a saber, A ⊢ B si y solo si ⊢ A → ( A → B ). ^[5]

Admisibilidad y derivabilidad

En un conjunto de reglas, una regla de inferencia podría ser redundante en el sentido de que es admisible o derivable . Una regla derivable es aquella cuya conclusión puede derivarse de sus premisas utilizando las otras reglas. Una regla admisible es aquella cuya conclusión se cumple siempre que se cumplan las premisas. Todas las reglas derivables son admisibles. Para apreciar la diferencia, considere el siguiente conjunto de reglas para definir los números naturales (el juicio afirma el hecho de que es un número natural): $n\,\,{\mathsf {nat}}$ $n$

{\begin{matrix}{\begin{array}{c}\\\hline {\mathbf {0} \,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}&{\begin{array}{c}{n\,\,{\mathsf {nat}}}\\\hline {\mathbf {s(} n\mathbf {)} \,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}\end{matrix}}

La primera regla establece que 0 es un número natural y la segunda establece que s( n ) es un número natural si n lo es. En este sistema de demostración, la siguiente regla, que demuestra que el segundo sucesor de un número natural también es un número natural, es derivable:

{\begin{array}{c}{n\,\,{\mathsf {nat}}}\\\hline {\mathbf {s(s(} n\mathbf {))} \,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}

Su derivación es la composición de dos usos de la regla del sucesor anterior. La siguiente regla para afirmar la existencia de un predecesor para cualquier número distinto de cero es simplemente admisible:

{\begin{array}{c}{\mathbf {s(} n\mathbf {)} \,\,{\mathsf {nat}}}\\\hline {n\,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}

Este es un hecho verdadero de los números naturales, como se puede demostrar por inducción . (Para demostrar que esta regla es admisible, supóngase una derivación de la premisa e indúzcase sobre ella para producir una derivación de .) Sin embargo, no es derivable, porque depende de la estructura de la derivación de la premisa. Debido a esto, la derivabilidad es estable ante adiciones al sistema de prueba, mientras que la admisibilidad no lo es. Para ver la diferencia, supongamos que se añadiera la siguiente regla sin sentido al sistema de prueba: $n\,\,{\mathsf {nat}}$

{\begin{array}{c}\\\hline {\mathbf {s(-3)} \,\,{\mathsf {nat}}}\end{array}}

En este nuevo sistema, la regla del doble sucesor todavía es derivable. Sin embargo, la regla para encontrar el predecesor ya no es admisible, porque no hay forma de derivar . La fragilidad de la admisibilidad proviene de la forma en que se prueba: dado que la prueba puede inducirse sobre la estructura de las derivaciones de las premisas, las extensiones del sistema agregan nuevos casos a esta prueba, que pueden ya no ser válidos. $\mathbf {-3} \,\,{\mathsf {nat}}$

Las reglas admisibles pueden considerarse como teoremas de un sistema de prueba. Por ejemplo, en un cálculo secuencial en el que se cumple la eliminación de cortes , la regla de corte es admisible.

Véase también

Referencias

^ Boolos, George; Burgess, John; Jeffrey, Richard C. (2007). Computabilidad y lógica. Cambridge: Cambridge University Press. p. 364. ISBN 978-0-521-87752-7.
^ John C. Reynolds (2009) [1998]. Teorías de lenguajes de programación. Cambridge University Press. pág. 12. ISBN 978-0-521-10697-9.
^ Kosta Dosen (1996). "Consecuencia lógica: un giro en el estilo". En Maria Luisa Dalla Chiara ; Kees Doets; Daniele Mundici; Johan van Benthem (eds.). Lógica y métodos científicos: Volumen uno del Décimo Congreso Internacional de Lógica, Metodología y Filosofía de la Ciencia, Florencia, agosto de 1995. Springer. pág. 290. ISBN 978-0-7923-4383-7.preimpresión (con paginación diferente)
^ Bergmann, Merrie (2008). Introducción a la lógica difusa y de múltiples valores: semántica, álgebras y sistemas de derivación . Cambridge University Press. pág. 100. ISBN. 978-0-521-88128-9.
^ Bergmann, Merrie (2008). Introducción a la lógica difusa y de múltiples valores: semántica, álgebras y sistemas de derivación . Cambridge University Press. pág. 114. ISBN 978-0-521-88128-9.