En teoría de la representación y teoría algebraica de números , el programa Langlands es una red de conjeturas de gran alcance y consecuencias sobre las conexiones entre la teoría de números y la geometría . Propuesto por Robert Langlands (1967, 1970), busca relacionar los grupos de Galois en la teoría algebraica de números con las formas automórficas y la teoría de representación de grupos algebraicos sobre campos locales y adeles . Ampliamente considerado como el mayor proyecto de la investigación matemática moderna, el programa Langlands ha sido descrito por Edward Frenkel como "una especie de gran teoría unificada de las matemáticas". [1]
El programa Langlands consta de algunas abstracciones teóricas muy complicadas, que pueden resultar difíciles de comprender incluso para los matemáticos especialistas. Para simplificar demasiado, el lema fundamental del proyecto postula una conexión directa entre la representación fundamental generalizada de un campo finito con su extensión de grupo a las formas automórficas bajo las cuales es invariante . Esto se logra mediante la abstracción hacia una integración de dimensiones superiores , mediante una equivalencia con un determinado grupo analítico como una extensión absoluta de su álgebra . En consecuencia, esto permite una construcción analítica funcional de poderosas transformaciones de invariancia para un campo numérico a su propia estructura algebraica .
El significado de tal construcción tiene matices, pero sus soluciones específicas y generalizaciones son muy poderosas. La consecuencia para la prueba de existencia de tales objetos teóricos implica un método analítico para construir el mapeo categórico de estructuras fundamentales para prácticamente cualquier campo numérico . Como análogo a la posible distribución exacta de números primos , el programa Langlands permite una herramienta general potencial para la resolución de invariancia a nivel de estructuras algebraicas generalizadas . Esto a su vez permite un análisis algo unificado de los objetos aritméticos a través de sus funciones automórficas . En pocas palabras, la filosofía de Langlands permite un análisis general de la estructuración de las abstracciones de números. Naturalmente, esta descripción es a la vez una reducción y una generalización excesiva de los teoremas propios del programa, pero estos análogos matemáticos proporcionan la base de su conceptualización.
En un contexto muy amplio, el programa se basó en ideas existentes: la filosofía de las formas cúspides formulada unos años antes por Harish-Chandra y Gelfand (1963), el trabajo y el enfoque de Harish-Chandra sobre grupos de Lie semisimples y, en términos técnicos, la fórmula de trazas de Selberg y otros.
Lo que inicialmente fue muy nuevo en el trabajo de Langlands, además de la profundidad técnica, fue la conexión directa propuesta con la teoría de números, junto con la rica estructura organizativa hipotetizada (la llamada funtorialidad ).
Por ejemplo, en el trabajo de Harish-Chandra se encuentra el principio de que lo que se puede hacer para un grupo de Lie semisimple (o reductivo) , se debe hacer para todos. Por lo tanto, una vez reconocido el papel de algunos grupos de Lie de baja dimensión como GL(2) en la teoría de formas modulares, y en retrospectiva GL(1) en la teoría de campos de clases , se abrió el camino al menos a la especulación sobre GL. ( norte ) para general norte > 2.
La idea de la forma de cúspide surgió de las cúspides de las curvas modulares , pero también tenía un significado visible en la teoría espectral como " espectro discreto ", en contraste con el " espectro continuo " de la serie de Eisenstein . Se vuelve mucho más técnico para grupos de Lie más grandes, porque los subgrupos parabólicos son más numerosos.
En todos estos enfoques no faltaron métodos técnicos, a menudo de naturaleza inductiva y basados, entre otras cosas, en descomposiciones de Levi , pero el campo era –y es– muy exigente. [2]
Y del lado de las formas modulares, había ejemplos como las formas modulares de Hilbert , las formas modulares de Siegel y las series theta .
Hay varias conjeturas de Langlands relacionadas. Hay muchos grupos diferentes en muchos campos diferentes para los cuales se pueden formular, y para cada campo hay varias versiones diferentes de las conjeturas. [3] Algunas versiones [ ¿cuáles? ] de las conjeturas de Langlands son vagas o dependen de objetos como los grupos de Langlands , cuya existencia no está probada, o del grupo L que tiene varias definiciones no equivalentes. Además, las conjeturas de Langlands han evolucionado desde que Langlands las formuló por primera vez en 1967.
Hay diferentes tipos de objetos para los que se pueden formular las conjeturas de Langlands:
Hay varias formas diferentes de plantear las conjeturas de Langlands, que están estrechamente relacionadas pero no son obviamente equivalentes.
El punto de partida del programa puede verse como la ley de reciprocidad de Emil Artin , que generaliza la reciprocidad cuadrática . La ley de reciprocidad de Artin se aplica a una extensión de Galois de un campo numérico algebraico cuyo grupo de Galois es abeliano ; asigna funciones L a las representaciones unidimensionales de este grupo de Galois y afirma que estas funciones L son idénticas a ciertas series L de Dirichlet o series más generales (es decir, ciertos análogos de la función zeta de Riemann ) construidas a partir de Hecke. caracteres . La correspondencia precisa entre estos diferentes tipos de funciones L constituye la ley de reciprocidad de Artin.
Para los grupos de Galois no abelianos y sus representaciones de dimensiones superiores, aún se pueden definir funciones L de forma natural: funciones L de Artin .
La idea de Langlands fue encontrar la generalización adecuada de las funciones L de Dirichlet , que permitiría la formulación de la afirmación de Artin en este contexto más general. Hecke había relacionado anteriormente las funciones L de Dirichlet con formas automórficas ( funciones holomorfas en el semiplano superior de (los números complejos ) que satisfacen ciertas ecuaciones funcionales). Langlands luego los generalizó a representaciones cuspidales automórficas , que son ciertas representaciones irreducibles de dimensión infinita del grupo lineal general GL ( n ) sobre el anillo de Adele de (los números racionales ). (Este anillo realiza un seguimiento simultáneo de todas las terminaciones de ver números p -ádicos ).
Langlands adjuntó funciones L automórficas a estas representaciones automórficas y conjeturó que cada función L de Artin que surge de una representación de dimensión finita del grupo de Galois de un campo numérico es igual a una que surge de una representación cuspidal automórfica. Esto se conoce como su " conjetura de reciprocidad ".
En términos generales, la conjetura de reciprocidad da una correspondencia entre las representaciones automórficas de un grupo reductivo y los homomorfismos de un grupo de Langlands a un grupo L. Existen numerosas variaciones de esto, en parte porque las definiciones de grupo Langlands y grupo L no son fijas.
En campos locales, se espera que esto proporcione una parametrización de L -paquetes de representaciones irreducibles admisibles de un grupo reductor en el campo local. Por ejemplo, sobre los números reales, esta correspondencia es la clasificación de Langlands de representaciones de grupos reductivos reales. Sobre los campos globales , debería dar una parametrización de formas automórficas.
La conjetura de functorialidad establece que se espera que un homomorfismo adecuado de L -grupos dé una correspondencia entre formas automórficas (en el caso global) o representaciones (en el caso local). En términos generales, la conjetura de reciprocidad de Langlands es el caso especial de la conjetura de funtorialidad cuando uno de los grupos reductivos es trivial.
Langlands generalizó la idea de funcionalidad: en lugar de utilizar el grupo lineal general GL( n ), se pueden utilizar otros grupos reductivos conectados. Además, dado tal grupo G , Langlands construye el grupo dual de Langlands L G , y luego, para cada representación cúspide automórfica de G y cada representación de dimensión finita de L G , define una función L. Una de sus conjeturas afirma que estas L -funciones satisfacen una determinada ecuación funcional que generaliza las de otras L -funciones conocidas .
Luego pasa a formular un "principio de funcionalidad" muy general. Dados dos grupos reductivos y un morfismo (de buen comportamiento) entre sus correspondientes L -grupos, esta conjetura relaciona sus representaciones automórficas de una manera que es compatible con sus L -funciones. Esta conjetura de funtorialidad implica todas las demás conjeturas presentadas hasta ahora. Tiene la naturaleza de una construcción de representación inducida : lo que en la teoría más tradicional de las formas automórficas se había llamado un " levantamiento ", conocido en casos especiales, y por lo tanto es covariante (mientras que una representación restringida es contravariante). Los intentos de especificar una construcción directa sólo han producido algunos resultados condicionales.
Todas estas conjeturas se pueden formular para campos más generales en lugar de : campos numéricos algebraicos (el caso original y más importante), campos locales y campos funcionales ( extensiones finitas de F p ( t ) donde p es un primo y F p ( t ) es el campo de funciones racionales sobre el campo finito con p elementos).
El llamado programa Langlands geométrico, sugerido por Gérard Laumon siguiendo ideas de Vladimir Drinfeld , surge de una reformulación geométrica del programa Langlands habitual que intenta relacionar algo más que representaciones irreductibles. En casos simples, relaciona representaciones l -ádicas del grupo fundamental étale de una curva algebraica con objetos de la categoría derivada de gavillas l -ádicas en la pila de módulos de haces de vectores sobre la curva.
Las conjeturas de Langlands para GL(1, K ) se derivan de (y son esencialmente equivalentes a) la teoría de campos de clases .
Langlands demostró las conjeturas de Langlands para grupos sobre los campos locales de Arquímedes (los números reales ) y (los números complejos ) dando la clasificación de Langlands de sus representaciones irreducibles.
La clasificación de Lusztig de las representaciones irreductibles de grupos de tipo Lie sobre campos finitos puede considerarse análoga a las conjeturas de Langlands para campos finitos.
La prueba de Andrew Wiles de la modularidad de curvas elípticas semiestables sobre racionales puede verse como un ejemplo de la conjetura de reciprocidad de Langlands, ya que la idea principal es relacionar las representaciones de Galois que surgen de curvas elípticas con formas modulares. Aunque los resultados de Wiles se han generalizado sustancialmente, en muchas direcciones diferentes, la conjetura completa de Langlands sigue sin demostrarse.
En 1998, Laurent Lafforgue demostró el teorema de Lafforgue verificando las conjeturas de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para campos funcionales K. Este trabajo continuó investigaciones anteriores de Drinfeld, quien demostró el caso GL(2, K ) en la década de 1980.
En 2018, Vincent Lafforgue estableció la correspondencia global de Langlands (la dirección de formas automórficas a representaciones de Galois) para grupos reductivos conectados sobre campos de funciones globales. [4] [5] [6]
Philip Kutzko (1980) demostró las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL(2, K ) sobre campos locales.
Gérard Laumon , Michael Rapoport y Ulrich Stuhler (1993) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para campos locales característicos positivos K. Su prueba utiliza un argumento global.
Michael Harris y Richard Taylor (2001) demostraron las conjeturas locales de Langlands para el grupo lineal general GL( n , K ) para la característica 0 campos locales K. Guy Henniart (2000) dio otra prueba. Ambas pruebas utilizan un argumento global. Peter Scholze (2013) dio otra prueba.
En 2008, Ngô Bảo Châu demostró el " lema fundamental ", que fue conjeturado originalmente por Langlands y Shelstad en 1983 y que era necesario en la prueba de algunas conjeturas importantes del programa Langlands. [7] [8]
Para un lector no especializado o incluso para un matemático no especializado, las abstracciones dentro del programa Langlands pueden resultar algo impenetrables. Sin embargo, existen algunas implicaciones fuertes y claras para la prueba o refutación de las conjeturas fundamentales de Langlands.
Dado que el programa plantea una poderosa conexión entre la teoría analítica de números y las generalizaciones de la geometría algebraica , la idea de "functorialidad" entre las representaciones algebraicas abstractas de campos numéricos y sus construcciones analíticas de primos da como resultado poderosas herramientas funcionales que permiten una cuantificación exacta de distribuciones primarias . Esto, a su vez, produce la capacidad de clasificar ecuaciones diofánticas y abstracciones adicionales de funciones algebraicas .
Además, si existe la reciprocidad de tales álgebras generalizadas para los objetos propuestos, y si se puede demostrar que sus funciones analíticas están bien definidas, algunos resultados muy profundos en matemáticas podrían estar al alcance de la prueba. Los ejemplos incluyen: soluciones racionales de curvas elípticas , construcción topológica de variedades algebraicas y la famosa hipótesis de Riemann . [9] Se esperaría que tales pruebas utilizaran soluciones abstractas en objetos de series analíticas generalizadas , cada una de las cuales se relaciona con la invariancia dentro de estructuras de campos numéricos.
Además, se han postulado algunas conexiones entre el programa Langlands y la teoría M , ya que sus dualidades se conectan de maneras no triviales , proporcionando posibles soluciones exactas en la teoría de supercuerdas (como se hizo de manera similar en la teoría de grupos a través de monstruosa luz de luna ).
En pocas palabras, el proyecto Langlands implica un marco de soluciones profundo y poderoso, que toca las áreas más fundamentales de las matemáticas, a través de generalizaciones de alto orden en soluciones exactas de ecuaciones algebraicas, con funciones analíticas, incluidas en formas geométricas. Permite la unificación de muchos campos matemáticos distantes en un formalismo de poderosos métodos analíticos .
Todo esto, como decía mi padre, es bastante pesado: tenemos espacios de módulos de Hitchin, simetría especular, branas A , branas B , haces automórficos... Uno puede sufrir dolor de cabeza simplemente tratando de seguirles la pista. todo. Créame, incluso entre los especialistas, muy pocas personas conocen los aspectos prácticos de todos los elementos de esta construcción.
es ahora un tema muy amplio. Existe una gran comunidad de personas trabajando en ello en diferentes campos: teoría de números, análisis armónico, geometría, teoría de representaciones, física matemática. Aunque trabajan con objetos muy diferentes, todos observan fenómenos similares.
