Ruta (topología)

Función continua cuyo dominio es un intervalo unitario cerrado

Los puntos trazados por una ruta desde hacia adentro Sin embargo, diferentes rutas pueden rastrear el mismo conjunto de puntos. ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}.}$

En matemáticas , un camino en un espacio topológico es una función continua desde un intervalo cerrado hasta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Los caminos juegan un papel importante en los campos de la topología y el análisis matemático . Por ejemplo, un espacio topológico para el cual existe un camino que conecta dos puntos cualesquiera se dice que está conectado por camino . Cualquier espacio puede dividirse en componentes conectados por caminos . El conjunto de componentes de un espacio conectados por caminos a menudo se denota ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi _{0}(X).}$

También se pueden definir caminos y bucles en espacios puntiagudos , que son importantes en la teoría de la homotopía . Si es un espacio topológico con punto base, entonces un camino es aquel cuyo punto inicial es . Asimismo, un bucle de entrada es aquel que se basa en . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$

Definición

Una curva en un espacio topológico es una función continua de un intervalo no vacío y no degenerado. Un camino en es una curva cuyo dominio es un intervalo compacto no degenerado (es decir, son números reales ), donde se llama punto inicial del trayectoria y se llama punto terminal . Un camino desde a es un camino cuyo punto inicial es y cuyo punto terminal es. Cada intervalo compacto no degenerado es homeomorfo , por lo que a veces un camino se define, especialmente en la teoría de la homotopía, como una función continua desde el intervalo unitario cerrado hasta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:J\to X}$ ${\displaystyle J\subseteq \mathbb {R} .}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f:[a,b]\to X}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle a<b}$ ${\displaystyle f(a)}$ ${\displaystyle f(b)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y.}$ ${\displaystyle [a,b]}$ ${\displaystyle [0,1],}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I:=[0,1]}$ ${\displaystyle X.}$ Un arco o arco C ⁰ es un camino que también es una incrustación topológica . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Es importante destacar que una ruta no es sólo un subconjunto de lo que "parece" una curva , sino que también incluye una parametrización . Por ejemplo, los mapas y representan dos caminos diferentes de 0 a 1 en la línea real. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle g(x)=x^{2}}$

Un bucle en un espacio basado en es un camino desde hacia Un bucle puede considerarse igualmente como un mapa con o como un mapa continuo desde el círculo unitario hasta ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x.}$ ${\displaystyle f:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle f(0)=f(1)}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle f:S^{1}\to X.}$

Esto se debe a que el espacio cociente de cuando se identifica con El conjunto de todos los bucles forma un espacio llamado espacio de bucle de ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$

Homotopía de caminos

Una homotopía entre dos caminos.

Los caminos y bucles son temas centrales de estudio en la rama de la topología algebraica llamada teoría de la homotopía . Una homotopía de caminos precisa la noción de deformar continuamente un camino manteniendo fijos sus puntos finales.

Específicamente, una homotopía de caminos, o homotopía de caminos , es una familia de caminos indexados de tal manera que ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{t}:[0,1]\to X}$ ${\displaystyle I=[0,1]}$

• ${\displaystyle f_{t}(0)=x_{0}}$y están arreglados. ${\displaystyle f_{t}(1)=x_{1}}$
• el mapa dado por es continuo. ${\displaystyle F:[0,1]\times [0,1]\to X}$ ${\displaystyle F(s,t)=f_{t}(s)}$

Los caminos y conectados por una homotopía se dice que son homotópicos (o más precisamente camino-homotópico , para distinguir entre la relación definida en todas las funciones continuas entre espacios fijos). También se puede definir una homotopía de bucles que mantengan fijo el punto base. ${\displaystyle f_{0}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

La relación de ser homotópico es una relación de equivalencia en caminos en un espacio topológico. La clase de equivalencia de un camino bajo esta relación se llama clase de homotopía , a menudo denotada ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle [f].}$

Composición del camino

Se pueden componer caminos en un espacio topológico de la siguiente manera. Supongamos que es un camino desde hasta y es un camino desde hasta . La ruta se define como la ruta obtenida atravesando primero y luego atravesando : ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle y}$ ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(2s)&0\leq s\leq {\frac {1}{2}}\\g(2s-1)&{\frac {1}{2}}\leq s\leq 1.\end{cases}}}$

Claramente, la composición de la ruta solo se define cuando el punto terminal de coincide con el punto inicial de. Si se consideran todos los bucles basados ​​en un punto, entonces la composición de la ruta es una operación binaria . ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g.}$ ${\displaystyle x_{0},}$

La composición de la ruta, siempre que se defina, no es asociativa debido a la diferencia en la parametrización. Sin embargo, es asociativo hasta la homotopía de camino. Es decir, la composición de la ruta define una estructura de grupo en el conjunto de clases de bucles homotópicos basados ​​en un punto en El grupo resultante se denomina grupo fundamental de basado en generalmente denotado en ${\displaystyle [(fg)h]=[f(gh)].}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0},}$ ${\displaystyle \pi _{1}\left(X,x_{0}\right).}$

En situaciones que requieren asociatividad de la composición de la ruta "en la nariz", una ruta puede definirse como un mapa continuo desde un intervalo hasta cualquier real (dicha ruta se llama ruta de Moore ). Una ruta de este tipo tiene una La longitud definida como Composición de la ruta se define como antes con la siguiente modificación: ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,a]}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle a\geq 0.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |f|}$ ${\displaystyle a.}$

${\displaystyle fg(s)={\begin{cases}f(s)&0\leq s\leq |f|\\g(s-|f|)&|f|\leq s\leq |f|+|g|\end{cases}}}$

Mientras que con la definición anterior, y todos tienen longitud (la longitud del dominio del mapa), esta definición hace que la asociatividad falle para la definición anterior es que aunque y tienen la misma longitud, es decir, el punto medio de ocurrió entre y mientras que el punto medio de ocurrió entre y . Con esta definición modificada y tienen la misma longitud, es decir, y el mismo punto medio, que se encuentra en ambos y ; de manera más general, tienen la misma parametrización en todas partes. ${\displaystyle f,}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle fg}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |fg|=|f|+|g|.}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle 1,}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle h,}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle g}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$ ${\displaystyle |f|+|g|+|h|,}$ ${\displaystyle \left(|f|+|g|+|h|\right)/2}$ ${\displaystyle (fg)h}$ ${\displaystyle f(gh)}$

grupoide fundamental

Hay una imagen categórica de caminos que a veces resulta útil. Cualquier espacio topológico da lugar a una categoría donde los objetos son los puntos y los morfismos son las clases de caminos de homotopía. Dado que cualquier morfismo en esta categoría es un isomorfismo , esta categoría es un grupoide , el grupoide fundamental de bucles en esta categoría son los endomorfismos (todos los cuales en realidad son automorfismos ). El grupo de automorfismo de un punto en es solo el grupo fundamental basado en . De manera más general, se puede definir el grupoide fundamental en cualquier subconjunto usando clases de homotopía de caminos que unen puntos de Esto es conveniente para el teorema de Van Kampen . ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x_{0}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle A.}$

Ver también

• Curva § Topología
• Espacio conectado por caminos localmente  - Propiedad de los espacios topológicosPages displaying short descriptions of redirect targets
• Espacio de ruta (desambiguación)
• Espacio conectado por caminos  : espacio topológico que está conectadoPages displaying short descriptions of redirect targets

Referencias

• Ronald Brown , Topología y grupoides, Booksurge PLC, (2006).
• J. Peter May , Un curso conciso sobre topología algebraica, University of Chicago Press, (1999).
• James Munkres , Topología 2ed, Prentice Hall, (2000).