Conjetura de la suma de potencias de Euler

Conjetura refutada en teoría de números

En teoría de números , la conjetura de Euler es una conjetura refutada relacionada con el último teorema de Fermat . Fue propuesto por Leonhard Euler en 1769. Afirma que para todos los números enteros n y k mayores que 1, si la suma de n muchas k -ésimas potencias de enteros positivos es en sí misma una k- ésima potencia, entonces n es mayor o igual que k :

$${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}+\dots +a_{n}^{k}=b^{k}\implies n\geq k}$$

La conjetura representa un intento de generalizar el último teorema de Fermat, que es el caso especial n = 2 : si entonces 2 ≥ k . ${\displaystyle a_{1}^{k}+a_{2}^{k}=b^{k},}$

Aunque la conjetura es válida para el caso k = 3 (que se deriva del último teorema de Fermat para las terceras potencias), fue refutada para k = 4 y k = 5 . Se desconoce si la conjetura falla o se cumple para cualquier valor k ≥ 6 .

Fondo

Euler era consciente de la igualdad 59 ⁴ + 158 ⁴ = 133 ⁴ + 134 ⁴ que implica sumas de cuatro cuartas potencias; Sin embargo, este no es un contraejemplo porque ningún término está aislado en un lado de la ecuación. También proporcionó una solución completa al problema de los cuatro cubos como en el número de Platón 3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ o el taxi número 1729. ^{[1] [2]} La solución general de la ecuación es ${\displaystyle x_{1}^{3}+x_{2}^{3}=x_{3}^{3}+x_{4}^{3}}$

$${\displaystyle {\begin{aligned}x_{1}&=1-(a-3b)(a^{2}+3b^{2})\\[2pt]x_{2}&=(a+3b)(a^{2}+3b^{2})-1\\[2pt]x_{3}&=(a+3b)-(a^{2}+3b^{2})^{2}\\[2pt]x_{4}&=(a^{2}+3b^{2})^{2}-(a-3b)\end{aligned}}}$$

donde a y b son números enteros cualesquiera.

Contraejemplos

La conjetura de Euler fue refutada por LJ Lander y TR Parkin en 1966 cuando, mediante una búsqueda directa por computadora en un CDC 6600 , encontraron un contraejemplo para k = 5 . ^[3] Esto fue publicado en un artículo que comprende solo dos oraciones. ^[3] Se conocen un total de tres contraejemplos primitivos (es decir, en los que no todos los sumandos tienen un factor común):

$${\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\14132^{5}&=(-220)^{5}+5027^{5}+6237^{5}+14068^{5}\\85359^{5}&=55^{5}+3183^{5}+28969^{5}+85282^{5}\end{aligned}}}$$

En 1988, Noam Elkies publicó un método para construir una secuencia infinita de contraejemplos para el caso k = 4 . ^[4] Su contraejemplo más pequeño fue

$${\displaystyle 20615673^{4}=2682440^{4}[phone]^{4}[phone]^{4}.}$$

Un caso particular de las soluciones de Elkies se puede reducir a la identidad ^{[5] [6]}

$${\displaystyle (85v^{2}+484v-313)^{4}+(68v^{2}-586v+10)^{4}+(2u)^{4}=(357v^{2}-204v+363)^{4},}$$

$${\displaystyle u^{2}=22030+28849v-56158v^{2}+36941v^{3}-31790v^{4}.}$$

curva elípticapunto racionalv ₁ = −31/467v ₁

En 1988, Roger Frye encontró el contraejemplo más pequeño posible.

$${\displaystyle 95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}=422481^{4}}$$

k = 4^[7]

Generalizaciones

Una interpretación del número de Platón, 3³ + 4³ + 5³ = 6³

En 1967, LJ Lander, TR Parkin y John Selfridge conjeturaron ^[8] que si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=\sum _{j=1}^{m}b_{j}^{k}}$,

donde a _i ≠ b _j son enteros positivos para todos 1 ≤ i ≤ n y 1 ≤ j ≤ m , entonces m + n ≥ k . En el caso especial m = 1 , la conjetura establece que si

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}^{k}=b^{k}}$

(bajo las condiciones dadas anteriormente) entonces n ≥ k − 1 .

El caso especial puede describirse como el problema de dividir una potencia perfecta en pocas potencias similares. Para k = 4, 5, 7, 8 y n = k o k − 1 , existen muchas soluciones conocidas. Algunos de estos se enumeran a continuación.

Consulte OEIS : A347773 para obtener más datos.

k = 3

3 ³ + 4 ³ + 5 ³ = 6 ³ ( el número de Platón 216)

Este es el caso a = 1 , b = 0 de la fórmula de Srinivasa Ramanujan ^[9]

$${\displaystyle (3a^{2}+5ab-5b^{2})^{3}+(4a^{2}-4ab+6b^{2})^{3}+(5a^{2}-5ab-3b^{2})^{3}=(6a^{2}-4ab+4b^{2})^{3}}$$

Un cubo como suma de tres cubos también se puede parametrizar de dos maneras: ^[9]

$${\displaystyle {\begin{aligned}a^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}&=b^{3}(a^{3}+b^{3})^{3}+a^{3}(a^{3}-2b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}-b^{3})^{3}\\[6pt]a^{3}(a^{3}+2b^{3})^{3}&=a^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(a^{3}-b^{3})^{3}+b^{3}(2a^{3}+b^{3})^{3}\end{aligned}}}$$

El número 2 100 000 ³ se puede expresar como la suma de tres cubos de nueve formas diferentes. ^[9]

k = 4

$${\displaystyle {\begin{aligned}422481^{4}&=95800^{4}+217519^{4}+414560^{4}\\[4pt]353^{4}&=30^{4}+120^{4}+272^{4}+315^{4}\end{aligned}}}$$

^[4][8]

k = 5

$${\displaystyle {\begin{aligned}144^{5}&=27^{5}+84^{5}+110^{5}+133^{5}\\[2pt]72^{5}&=19^{5}+43^{5}+46^{5}+47^{5}+67^{5}\\[2pt]94^{5}&=21^{5}+23^{5}+37^{5}+79^{5}+84^{5}\\[2pt]107^{5}&=7^{5}+43^{5}+57^{5}+80^{5}+100^{5}\end{aligned}}}$$

(Lander y Parkin, 1966); ^{[10] [11] [12]} (Lander, Parkin, Selfridge, más pequeño, 1967); ^[8] (Lander, Parkin, Selfridge, segundo más pequeño, 1967); ^[8] (Sastry, 1934, tercero más pequeño). ^[8]

k = 6

A partir de 2002, no existen soluciones para k = 6 cuyo término final sea ≤ 730000. ^[13]

k = 7

$${\displaystyle 568^{7}=127^{7}+258^{7}+266^{7}+413^{7}+430^{7}+439^{7}+525^{7}}$$

(M. Dodrill, 1999). ^[14]

k = 8

$${\displaystyle 1409^{8}=90^{8}+223^{8}+478^{8}+524^{8}+748^{8}+1088^{8}+1190^{8}+1324^{8}}$$

(S. Chase, 2000). ^[15]

Ver también

• Ecuación de Jacobi-Madden
• Problema de Prouhet-Tarry-Escott
• La conjetura de Beal.
• cuádruple pitagórico
• Número de taxi generalizado
• Sumas de potencias , una lista de conjeturas y teoremas relacionados

Referencias

1. Dunham, William, ed. (2007). El genio de Euler: reflexiones sobre su vida y obra. La MAA. pag. 220.ISBN _ 978-0-88385-558-4.
2. Tito, III, Piezas (2005). "La conjetura ampliada de Euler".
3. Lander, LJ; Parkin, TR (1966). "Contraejemplo de la conjetura de Euler sobre sumas de potencias similares". Toro. América. Matemáticas. Soc . 72 (6): 1079. doi : 10.1090/S0002-9904-1966-11654-3 .
4. Elkies, Noam (1988). "En A4 + B4 + C4 = D4" (PDF) . Matemáticas de la Computación . 51 (184): 825–835. doi : 10.1090/S0025-5718-1988-0930224-9 . JSTOR  2008781. SEÑOR  0930224.
5. "a4 + b4 + c4 de Elkies = d4".
6. Piezas III, Tito (2010). "Sumas de tres cuartas potencias (parte 1)". Una colección de identidades algebraicas . Consultado el 11 de abril de 2022 .
7. Frye, Roger E. (1988), "Encontrar 95800 ⁴ + 217519 ⁴ + 414560 ⁴ = 422481 ⁴ en la máquina de conexión", Actas de supercomputación 88, Vol.II: Ciencia y aplicaciones , págs. 106-116, doi : 10.1109/SUPERC.1988.74138, S2CID  58501120
8. Lander, LJ; Parkin, TR; Selfridge, JL (1967). "Un estudio de sumas iguales de poderes similares". Matemáticas de la Computación . 21 (99): 446–459. doi : 10.1090/S0025-5718-1967-0222008-0 . JSTOR  2003249.
9. "MathWorld: ecuación diofántica - terceras potencias".
10. Burkard Polster (24 de marzo de 2018). "Los últimos teoremas de Euler y Fermat, los Simpson y CDC6600". Video de Youtube ). Archivado desde el original el 11 de diciembre de 2021 . Consultado el 24 de marzo de 2018 .
11. "MathWorld: ecuación diofántica - quinta potencia".
12. "Una tabla de quintas potencias iguales a sumas de cinco quintas potencias".
13. Giovanni Resta y Jean-Charles Meyrignac (2002). Las soluciones más pequeñas a la ecuación diofántica a 6 + b 6 + c 6 + d 6 + e 6 = x 6 + y 6 {\displaystyle a^{6}+b^{6}+c^{6}+d^ {6}+e^{6}=x^{6}+y^{6}}, Matemáticas de la Computación, v.72, pág. 1054 (Ver sección de trabajo adicional ).
14. "MathWorld: Ecuación diofántica - Séptima potencia".
15. "MathWorld: ecuación diofántica - octava potencia".

enlaces externos

• Tito Piezas III, Una colección de identidades algebraicas
• Jaroslaw Wroblewski, Sumas iguales de potencias similares
• Ed Pegg Jr., Juegos de Matemáticas, Sumas de Poderes
• James Waldby, Una tabla de quintas potencias igual a una quinta potencia (2009)
• R. Gerbicz, J.-C. Meyrignac, U. Beckert, Todas las soluciones de la ecuación diofántica a6 + b6 = c6 + d6 + e6 + f6 + g6 para a,b,c,d,e,f,g < 250000 encontradas con un proyecto Boinc distribuido
• EulerNet: cálculo de sumas iguales mínimas de potencias similares
• Weisstein, Eric W. "Conjetura de la suma de potencias de Euler". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Conjetura cuártica de Euler". MundoMatemático .
• Weisstein, Eric W. "Ecuación diofántica: cuartas potencias". MundoMatemático .
• La conjetura de Euler en biblioteca.thinkquest.org
• ¡Una explicación sencilla de la conjetura de Euler en matemáticas es buena para ti!