En el área matemática de la topología , la conjetura generalizada de Poincaré es una afirmación de que una variedad que es una esfera de homotopía es una esfera . Más precisamente, se fija una categoría de variedades: topológicas ( Top ), lineales por partes ( PL ) o diferenciables ( Diff ). Entonces la afirmación es
El nombre deriva de la conjetura de Poincaré , que se hizo para variedades (topológicas o PL) de dimensión 3, donde ser una esfera de homotopía equivale a estar simplemente conexa y cerrada . Se sabe que la conjetura generalizada de Poincaré es verdadera o falsa en varios casos, debido al trabajo de muchos topólogos distinguidos, incluidos los galardonados con la medalla Fields John Milnor , Steve Smale , Michael Freedman y Grigori Perelman .
A continuación se presenta un resumen del estado de la conjetura generalizada de Poincaré en diversos entornos.
Así, la veracidad de las conjeturas de Poincaré cambia según la categoría en la que se formulan. De manera más general, la noción de isomorfismo difiere entre las categorías Top, PL y Diff. Es lo mismo en la dimensión 3 y por debajo. En la dimensión 4, PL y Diff están de acuerdo, pero Top difiere. En dimensiones superiores a 6 todos difieren. En las dimensiones 5 y 6 cada variedad PL admite una estructura infinitamente diferenciable que se denomina compatible con Whitehead . [2]
Los casos n = 1 y 2 se conocen desde hace mucho tiempo por la clasificación de variedades en esas dimensiones.
Para una PL o una n-esfera de homotopía suave, en 1960 Stephen Smale demostró que era homeomorfa a la n -esfera y posteriormente amplió su prueba a ; [3] recibió una medalla Fields por su trabajo en 1966. Poco después del anuncio de una prueba por parte de Smale, John Stallings dio una prueba diferente para dimensiones al menos 7 de que una n -esfera de homotopía PL era homeomorfa a la n -esfera, usando la noción de "envolver". [4] EC Zeeman modificó la construcción de Stalling para que funcione en las dimensiones 5 y 6. [5] En 1962, Smale demostró que una n -esfera de homotopía PL es PL-isomorfa a la n -esfera estándar de PL para n al menos 5. [6 ] En 1966, MHA Newman extendió la envoltura PL a la situación topológica y demostró que para una homotopía topológica la n- esfera es homeomorfa a la n -esfera. [7]
Michael Freedman resolvió el caso topológico en 1982 y recibió la Medalla Fields en 1986. [8] La prueba inicial consistió en un esquema de 50 páginas, al que le faltaban muchos detalles. Freedman dio una serie de conferencias en ese momento, convenciendo a los expertos de que la prueba era correcta. En 2013, con el apoyo de Freedman, se inició un proyecto para producir una versión escrita de la prueba con los antecedentes y todos los detalles completados. El resultado del proyecto, editado por Stefan Behrens, Boldizsar Kalmar, Min Hoon Kim, Mark Powell y Arunima Ray, con contribuciones de 20 matemáticos, se publicó en agosto de 2021 en forma de un libro de 496 páginas, The Disc Embedding Theorem . [9] [10]
Grigori Perelman resolvió el caso (donde coinciden los casos topológico, PL y diferenciable) en 2003 en una secuencia de tres artículos. [11] [12] [13] Le ofrecieron una Medalla Fields en agosto de 2006 y el Premio del Milenio del Clay Mathematics Institute en marzo de 2010, pero rechazó ambos.
La conjetura generalizada de Poincaré es verdadera topológicamente, pero falsa en algunas dimensiones. Esto resulta de la construcción de esferas exóticas , variedades que son homeomorfas, pero no difeomorfas, de la esfera estándar, que pueden interpretarse como estructuras suaves no estándar en la esfera estándar (topológica).
Así, las esferas de homotopía que produjo John Milnor son homeomórficas (isomorfas superiores y, de hecho, homeomórficas lineales por partes) con respecto a la esfera estándar , pero no son difeomorfas (isomorfas diferentes) con respecto a ella y, por lo tanto, son esferas exóticas : pueden interpretarse como no. -estructuras estándar diferenciables en la esfera estándar.
Michel Kervaire y Milnor demostraron que la 7 esfera orientada tiene 28 = A001676(7) estructuras suaves diferentes (o 15 ignorando orientaciones), y en dimensiones superiores generalmente hay muchas estructuras suaves diferentes en una esfera. [14] Se sospecha que ciertas estructuras diferenciables en las 4 esferas, llamadas giros de Gluck , no son isomorfas a la estándar, pero por el momento no se conocen invariantes topológicos capaces de distinguir diferentes estructuras suaves en una 4 esferas. [15]
Para variedades lineales por partes , la conjetura de Poincaré es cierta excepto posiblemente en la dimensión 4, donde la respuesta es desconocida y equivalente al caso suave. En otras palabras, toda variedad PL compacta de dimensión no igual a 4 que sea homotópicamente equivalente a una esfera es PL isomorfa a una esfera. [2]
