homotopía

Deformación continua entre dos funciones continuas.

Los dos caminos discontinuos que se muestran arriba son homotópicos en relación con sus puntos finales. La animación representa una posible homotopía.

En topología , una rama de las matemáticas , dos funciones continuas de un espacio topológico a otro se llaman homotópicas (del griego antiguo : ὁμός homós "igual, similar" y τόπος tópos "lugar") si una puede "deformarse continuamente" en la otra. , tal deformación se llama homotopía ( / h ə ˈ m ɒ t ə p iː / , [ ^1] hə- MO -tə-pee ; / ˈ h oʊ m oʊ ˌ t oʊ p iː / , ^[2] HOH - moh-toh-pee ) entre las dos funciones. Un uso notable de la homotopía es la definición de grupos de homotopía y grupos de cohomotopía , invariantes importantes en topología algebraica . ^[3]

En la práctica, existen dificultades técnicas al utilizar homotopías con determinados espacios. Los topólogos algebraicos trabajan con espacios generados de forma compacta , complejos CW o espectros .

Definicion formal

Una homotopía entre dos incrustaciones del toroide en R ³ : como "la superficie de un donut" y como "la superficie de una taza de café". Este también es un ejemplo de isotopía.

Formalmente, una homotopía entre dos funciones continuas f y g desde un espacio topológico X a un espacio topológico Y se define como una función continua del producto del espacio X con el intervalo unitario [0, 1] a Y tal que y para todo . ${\displaystyle H:X\times [0,1]\to Y}$ ${\displaystyle H(x,0)=f(x)}$ ${\displaystyle H(x,1)=g(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$

Si pensamos en el segundo parámetro de H como tiempo, entonces H describe una deformación continua de f en g : en el tiempo 0 tenemos la función f y en el tiempo 1 tenemos la función g . También podemos pensar en el segundo parámetro como un "control deslizante" que nos permite realizar una transición suave de f a g a medida que el control deslizante se mueve de 0 a 1, y viceversa.

Una notación alternativa es decir que una homotopía entre dos funciones continuas es una familia de funciones continuas tales que y , y el mapa es continuo desde hasta . Las dos versiones coinciden en ambientación . No es suficiente exigir que cada mapa sea continuo. ^[4] ${\displaystyle f,g:X\to Y}$ ${\displaystyle h_{t}:X\to Y}$ ${\displaystyle t\in [0,1]}$ ${\displaystyle h_{0}=f}$ ${\displaystyle h_{1}=g}$ ${\displaystyle (x,t)\mapsto h_{t}(x)}$ ${\displaystyle X\times [0,1]}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle h_{t}(x)=H(x,t)}$ ${\displaystyle h_{t}(x)}$

La animación que se muestra arriba a la derecha proporciona un ejemplo de una homotopía entre dos incrustaciones , f y g , del toroide en R ³ . X es el toro, Y es R ³ , f es alguna función continua desde el toro hasta R ³ que lleva el toro a la superficie incrustada en forma de donut con la que comienza la animación; g es una función continua que lleva el toro a la forma de la superficie incrustada de una taza de café. La animación muestra la imagen de ht (X) en función del parámetro _t , donde t varía con el tiempo de 0 a 1 en cada ciclo del bucle de animación. Hace una pausa, luego muestra la imagen a medida que t varía de 1 a 0, hace una pausa y repite este ciclo.

Propiedades

Se dice que las funciones continuas f y g son homotópicas si y solo si hay una homotopía H que lleva f a g como se describe anteriormente. Ser homotópico es una relación de equivalencia en el conjunto de todas las funciones continuas de X a Y. Esta relación de homotopía es compatible con la composición de funciones en el siguiente sentido: si f ₁ , g ₁  : X → Y son homotópicos, y f ₂ , g ₂  : Y → Z son homotópicos, entonces sus composiciones f ₂  ∘  f ₁ y g ₂  ∘  g ₁  : X → Z también son homotópicos.

Ejemplos

• Si están dados por y , entonces el mapa dado por es una homotopía entre ellos. ${\displaystyle f,g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle f(x):=\left(x,x^{3}\right)}$ ${\displaystyle g(x)=\left(x,e^{x}\right)}$ ${\displaystyle H:\mathbb {R} \times [0,1]\to \mathbb {R} ^{2}}$ ${\displaystyle H(x,t)=\left(x,(1-t)x^{3}+te^{x}\right)}$
• De manera más general, si es un subconjunto convexo del espacio euclidiano y son caminos con los mismos puntos finales, entonces existe una homotopía lineal ^[5] (u homotopía rectilínea ) dada por ${\displaystyle C\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f,g:[0,1]\to C}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:[0,1]\times [0,1]&\longrightarrow C\\(s,t)&\longmapsto (1-t)f(s)+tg(s).\end{aligned}}}$

• Sea la función identidad en la unidad n - disco ; es decir, el conjunto . Sea la función constante que envía cada punto al origen . Entonces la siguiente es una homotopía entre ellos: ${\displaystyle \operatorname {id} _{B^{n}}:B^{n}\to B^{n}}$ ${\displaystyle B^{n}:=\left\{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\leq 1\right\}}$ ${\displaystyle c_{\vec {0}}:B^{n}\to B^{n}}$ ${\displaystyle c_{\vec {0}}(x):={\vec {0}}}$

  ${\displaystyle {\begin{aligned}H:B^{n}\times [0,1]&\longrightarrow B^{n}\\(x,t)&\longmapsto (1-t)x.\end{aligned}}}$

Equivalencia de homotopía

Dados dos espacios topológicos X e Y , una equivalencia de homotopía entre X e Y es un par de mapas continuos f  : X → Y y g  : Y → X , tales que g  ∘  f es homotópico al mapa de identidad id _X y f  ∘  g es homotópico de id _Y . Si tal par existe, entonces se dice que X e Y son equivalentes de homotopía , o del mismo tipo de homotopía . Intuitivamente, dos espacios X e Y son equivalentes en homotopía si pueden transformarse uno en otro mediante operaciones de flexión, contracción y expansión. Los espacios que son equivalentes en homotopía a un punto se llaman contráctiles .

Equivalencia de homotopía versus homeomorfismo

Un homeomorfismo es un caso especial de equivalencia de homotopía, en el que g  ∘  f es igual al mapa de identidad id _X (no solo homotópico), y f  ∘  g es igual a id _Y. ^{[6] : 0:53:00} Por lo tanto, si X e Y son homeomórficos, entonces son equivalentes a la homotopía, pero lo contrario no es cierto. Algunos ejemplos:

• Un disco sólido es homotópico equivalente a un solo punto, ya que puede deformar el disco a lo largo de líneas radiales continuamente hasta un solo punto. Sin embargo, no son homeomórficos, ya que no existe biyección entre ellos (ya que uno es un conjunto infinito, mientras que el otro es finito).
• La tira de Möbius y una tira no retorcida (cerrada) son equivalentes de homotopía, ya que puedes deformar ambas tiras continuamente hasta formar un círculo. Pero no son homeomórficos.

Ejemplos

• El primer ejemplo de equivalencia de homotopía es con un punto, denotado . La parte que hay que comprobar es la existencia de una homotopía entre y , la proyección de sobre el origen. Esto se puede describir como . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\simeq \{0\}}$ ${\displaystyle H:I\times \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$ ${\displaystyle p_{0}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle H(t,\cdot )=t\cdot p_{0}+(1-t)\cdot \operatorname {id} _{\mathbb {R} ^{n}}}$
• Existe una equivalencia de homotopía entre (la 1 esfera ) y . ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}-\{0\}}$
  • Más generalmente, . ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\{0\}\simeq S^{n-1}}$
• Cualquier haz de fibras con homotopía de fibras equivalente a un punto tiene espacios totales y de base de homotopía equivalente. Esto generaliza los dos ejemplos anteriores ya que es un haz de fibras con fibra . ${\displaystyle \pi :E\to B}$ ${\displaystyle F_{b}}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {R} ^{n}-\{0\}\to S^{n-1}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _{>0}}$
• Cada haz de vectores es un haz de fibras con una homotopía de fibras equivalente a un punto.
• ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}\simeq S^{n-k-1}}$para cualquiera , escribiendo como el espacio total del haz de fibras y luego aplicando las equivalencias de homotopía anteriores. ${\displaystyle 0\leq k<n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}-\mathbb {R} ^{k}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}\times (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})\to (\mathbb {R} ^{n-k}-\{0\})}$
• Si un subcomplejo de un complejo CW es contráctil, entonces el espacio cociente es homotópico equivalente a . ^[7] ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X/A}$ ${\displaystyle X}$
• Una retracción de deformación es una equivalencia de homotopía.

Homotopía nula

Se dice que una función es homotópica nula ${\displaystyle f}$ si es homotópico a una función constante. (La homotopía de a una función constante a veces se denomina homotopía nula ). Por ejemplo, una aplicación desde el círculo unitario a cualquier espacio es homotópica nula precisamente cuando se puede extender continuamente a una aplicación desde el disco unitario a ese está de acuerdo con el límite. ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle S^{1}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle D^{2}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

De estas definiciones se deduce que un espacio es contráctil si y sólo si el mapa de identidad de hacia sí mismo, que es siempre una equivalencia de homotopía, es homotópico nulo. ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

Invariancia

La equivalencia de homotopía es importante porque en topología algebraica muchos conceptos son invariantes de homotopía , es decir, respetan la relación de equivalencia de homotopía. Por ejemplo, si X e Y son espacios equivalentes de homotopía, entonces:

• X está conectado por camino si y sólo si Y lo está.
• X es simplemente conexo si y sólo si Y lo es.
• Los grupos de homología y cohomología (singular) de X e Y son isomórficos .
• Si X e Y están conectados por caminos, entonces los grupos fundamentales de X e Y son isomorfos, al igual que los grupos de homotopía superior . (Sin el supuesto de conectividad de caminos, uno tiene π ₁ ( X ,  x ₀ ) isomorfo a π ₁ ( Y , f ( x ₀ )) donde f  : X → Y es una equivalencia de homotopía y x ₀ ∈ X .)

Un ejemplo de invariante algebraico de espacios topológicos que no es invariante de homotopía es la homología con soporte compacto (que es, en términos generales, la homología de la compactificación , y la compactificación no es invariante de homotopía).

Variantes

Homotopía relativa

Para definir el grupo fundamental , se necesita la noción de homotopía relativa a un subespacio . Son homotopías que mantienen fijos los elementos del subespacio. Formalmente: si f y g son aplicaciones continuas de X a Y y K es un subconjunto de X , entonces decimos que f y g son homotópicos relativos a K si existe una homotopía H  : X × [0, 1] → Y entre f y g tales que H ( k ,  t ) = f ( k ) = g ( k ) para todo k ∈ K y t ∈ [0, 1]. Además, si g es una retracción de X a K y f es el mapa de identidad, esto se conoce como retracción de deformación fuerte de X a K. Cuando K es un punto, se utiliza el término homotopía puntiaguda .

isotopía

El nudo desatado no es equivalente al nudo trébol ya que uno no puede deformarse en el otro a través de un camino continuo de homeomorfismos del espacio ambiental. Por tanto, no son isotópicos ambientales.

Cuando dos funciones continuas f y g dadas desde el espacio topológico X al espacio topológico Y son incrustaciones , uno puede preguntarse si pueden conectarse "a través de incrustaciones". Esto da lugar al concepto de isotopía , que es una homotopía, H , en la notación utilizada antes, de modo que para cada t fija , H ( x ,  t ) da una incrustación. ^[8]

Un concepto relacionado, pero diferente, es el de isotopía ambiental .

Exigir que dos incrustaciones sean isotópicas es un requisito más estricto que el de que sean homotópicas. Por ejemplo, el mapa del intervalo [−1, 1] a los números reales definidos por f ( x ) = − x no es isotópico de la identidad g ( x ) = x . Cualquier homotopía desde f hasta la identidad tendría que intercambiar los puntos finales, lo que significaría que tendrían que "pasarse" entre sí. Además, f ha cambiado la orientación del intervalo y g no, lo cual es imposible bajo una isotopía. Sin embargo, los mapas son homotópicos; una homotopía de f a la identidad es H : [−1, 1] × [0, 1] → [−1, 1] dada por H ( x ,  y ) = 2 yx  −  x .

Se puede demostrar que dos homeomorfismos (que son casos especiales de incrustaciones) de la bola unitaria que coinciden en el límite son isotópicos utilizando el truco de Alexander . Por esta razón, el mapa del disco unitario en R ² definido por f ( x ,  y ) = (− x , − y ) es isotópico para una rotación de 180 grados alrededor del origen, por lo que el mapa de identidad y f son isotópicos. porque pueden conectarse mediante rotaciones.

En topología geométrica (por ejemplo, en teoría de nudos ), la idea de isotopía se utiliza para construir relaciones de equivalencia. Por ejemplo, ¿cuándo se deben considerar iguales dos nudos? Tomamos dos nudos, K ₁ y K ₂ , en un espacio tridimensional . Un nudo es una incrustación de un espacio unidimensional, el "bucle de cuerda" (o el círculo), en este espacio, y esta incrustación da un homeomorfismo entre el círculo y su imagen en el espacio de incrustación. La idea intuitiva detrás de la noción de equivalencia de nudos es que uno puede deformar una incrustación a otra a través de un camino de incrustaciones: una función continua que comienza en t  = 0 dando la incrustación K ₁ , termina en t  = 1 dando la incrustación K ₂ , con todos los valores intermedios correspondientes a incrustaciones. Esto corresponde a la definición de isotopía. Una isotopía ambiental , estudiada en este contexto, es una isotopía del espacio más grande, considerada a la luz de su acción sobre la subvariedad incrustada. Los nudos K _​​1 y K ₂ se consideran equivalentes cuando hay una isotopía ambiental que mueve K ₁ a K ₂ . Ésta es la definición apropiada en la categoría topológica.

Se utiliza un lenguaje similar para el concepto equivalente en contextos donde uno tiene una noción más fuerte de equivalencia. Por ejemplo, un camino entre dos incrustaciones suaves es una isotopía suave .

Homotopía temporal

En una variedad de Lorentz , ciertas curvas se distinguen como temporales (que representan algo que solo avanza, no retrocede, en el tiempo, en cada marco local). Una homotopía temporal entre dos curvas temporales es una homotopía tal que la curva permanece temporal durante la transformación continua de una curva a otra. Ninguna curva temporal cerrada (CTC) en una variedad de Lorentz es homotópica temporal hasta un punto (es decir, homotópica temporal nula); Por lo tanto, se dice que tal variedad está conectada múltiplemente por curvas temporales. Una variedad como la de 3 esferas puede conectarse simplemente (mediante cualquier tipo de curva) y, sin embargo, ser conectada múltiplemente en el tiempo . ^[9]

Propiedades

Propiedades de elevación y extensión.

Si tenemos una homotopía H  : X × [0,1] → Y y una cubierta p  : Y → Y y se nos da un mapa h ₀  : X → Y tal que H ₀ = p ○ h ₀ ( h ₀ se llama un levantamiento de h ₀ ), entonces podemos elevar todos los H a un mapa H  : X × [0, 1] → Y tal que p ○ H = H . La propiedad de elevación de homotopía se utiliza para caracterizar fibraciones .

Otra propiedad útil que involucra la homotopía es la propiedad de extensión de la homotopía , que caracteriza la extensión de una homotopía entre dos funciones desde un subconjunto de algún conjunto hasta el conjunto mismo. Es útil cuando se trata de cofibraciones .

Grupos

Dado que la relación de dos funciones homotópicas en relación con un subespacio es una relación de equivalencia, podemos observar las clases de equivalencia de aplicaciones entre X e Y fijos . Si fijamos , el intervalo unitario [0, 1] se cruza consigo mismo n veces y tomamos su límite como un subespacio, entonces las clases de equivalencia forman un grupo, denotado , donde está en la imagen del subespacio . ${\displaystyle f,g\colon X\to Y}$ ${\displaystyle X=[0,1]^{n}}$ ${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$ ${\displaystyle \pi _{n}(Y,y_{0})}$ ${\displaystyle y_{0}}$ ${\displaystyle \partial ([0,1]^{n})}$

Podemos definir la acción de una clase de equivalencia sobre otra, y así obtenemos un grupo. Estos grupos se denominan grupos de homotopía . En el caso , también se le llama grupo fundamental . ${\displaystyle n=1}$

Categoría de homotopía

La idea de homotopía puede convertirse en una categoría formal de la teoría de categorías . La categoría de homotopía es la categoría cuyos objetos son espacios topológicos y cuyos morfismos son clases de equivalencia de homotopía de mapas continuos. Dos espacios topológicos X e Y son isomorfos en esta categoría si y sólo si son equivalentes a la homotopía. Entonces, un funtor en la categoría de espacios topológicos es invariante de homotopía si puede expresarse como un functor en la categoría de homotopía.

Por ejemplo, los grupos de homología son una invariante de homotopía funcional : esto significa que si f y g de X a Y son homotópicos, entonces los homomorfismos de grupo inducidos por f y g en el nivel de los grupos de homología son los mismos: H _n ( f ) = H _norte ( gramo ) : H _norte ( X ) → H _norte ( Y ) para todo norte . Del mismo modo, si X e Y además están conectados por caminos , y la homotopía entre f y g es puntual, entonces los homomorfismos de grupo inducidos por f y g en el nivel de grupos de homotopía también son los mismos: π _n ( f ) = π _n ( gramo ) : π _norte ( X ) → π _norte ( Y ).

Aplicaciones

Basados ​​en el concepto de homotopía, se han desarrollado métodos de cálculo para ecuaciones algebraicas y diferenciales . Los métodos para ecuaciones algebraicas incluyen el método de continuación de homotopía ^[10] y el método de continuación (ver continuación numérica ). Los métodos para ecuaciones diferenciales incluyen el método de análisis de homotopía .

La teoría de la homotopía se puede utilizar como base para la teoría de la homología : se puede representar un functor de cohomología en un espacio X mediante asignaciones de X en un espacio fijo apropiado, hasta la equivalencia de homotopía. Por ejemplo, para cualquier grupo abeliano G y cualquier complejo CW basado X , el conjunto de clases de homotopía basada de mapas basados ​​desde X al  espacio de Eilenberg-MacLane está en biyección natural con el n -ésimo grupo de cohomología singular  del espacio X. . Se dice que el espectro omega de los espacios de Eilenberg-MacLane representa espacios para cohomología singular con coeficientes en G. ${\displaystyle [X,K(G,n)]}$ ${\displaystyle K(G,n)}$ ${\displaystyle H^{n}(X,G)}$

Ver también

• Equivalencia de homotopía de fibra (versión relativa de una equivalencia de homotopía)
• Homeotopía
• Teoría del tipo de homotopía
• Grupo de clases de mapeo
• Conjetura de Poincaré
• Homotopía regular

Referencias

1. "Definición y significado de homotopía" . Consultado el 22 de abril de 2022 .
2. "Se discute la teoría del tipo de homotopía: informático". YouTube . Consultado el 22 de abril de 2022 .
3. "Homotopía | matemáticas". Enciclopedia Británica . Consultado el 17 de agosto de 2019 .
4. "topología algebraica: homotopía de rutas y funciones continuas por separado". Intercambio de pilas de matemáticas .
5. Allen., Hatcher (2002). Topología algebraica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 185.ISBN​ 9780521795401. OCLC  45420394.
6. Archivado en Ghostarchive y Wayback Machine: Albin, Pierre (2019). "Historia de la topología algebraica". YouTube .
7. Allen., Hatcher (2002). Topología algebraica . Cambridge: Prensa de la Universidad de Cambridge. pag. 11.ISBN​ 9780521795401. OCLC  45420394.
8. Weisstein, Eric W. "Isotopía". MundoMatemático .
9. Monroe, cazador (1 de noviembre de 2008). "¿Son indeseables las violaciones de causalidad?". Fundamentos de la Física . 38 (11): 1065-1069. arXiv : gr-qc/0609054 . Código bibliográfico : 2008FoPh...38.1065M. doi :10.1007/s10701-008-9254-9. ISSN  0015-9018. S2CID  119707350.
10. Allgower, EL (2003). Introducción a los métodos de continuación numérica. Kurt Georg. Filadelfia: SIAM. ISBN 0-89871-544-X. OCLC  52377653.

Fuentes

• Armstrong, MA (1979). Topología básica . Saltador. ISBN 978-0-387-90839-7.
• "Homotopía", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• "Isotopía (en topología)", Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
• Spanier, Edwin (diciembre de 1994). Topología algebraica . Saltador. ISBN 978-0-387-94426-5.